2025高考数学一轮复习-10.7-离散型随机变量及其分布列和数字特征【课件】

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第7节离散型随机变量及其分布列和数字特征ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_______________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.1.离散型随机变量唯一的实数X(w)2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称________________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②______________________＝1.X取每一个值xi的概率p1＋p2＋…＋pn若离散型随机变量X的分布列为4.离散型随机变量的均值与方差Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝________________. (2)D(aX＋b)＝______________

(a，b为常数).aE(X)＋ba2D(X)随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.√(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(

)(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(

)1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×√√解析对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(

) A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到球的个数C则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(

)A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)3.(易错题)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1解析由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2BA选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大.则P(|X－3|＝1)＝________.5.设随机变量X的概率分布列为

1KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.例1(1)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.①求2X＋1的分布列；②求随机变量η＝|X－1|的分布列.解

①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3mX012342X＋113579②由①知m＝0.3，列表为从而2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3X01234|X－1|10123所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为η0123P0.10.30.30.3D(2)(多选)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ABD解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.例2

有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法. (1)求n的值；所以X的概率分布列为(2)求随机变量X的分布列.解因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，解随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.∴随机变量X的分布列为角度1期望、方差的计算则两人所付费用相同的概率为(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ).解

ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，所以ξ的分布列为角度2决策问题若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：解

若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.解设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，训练32022年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；所以随机变量X的分布列为(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差.解随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.1.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(

) A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚1点，第二枚6点 D.第一枚6点，第二枚1点D解析由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7.2.已知随机变量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(

)Cξ4a9P0.50.1bA.5

B.6

C.7 D.8解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(

) A.ξ＝4

B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5C解析由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，4.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于(

)A若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(

)A.q＝0.1 B.E(X)＝2，D(X)＝1.4C.E(X)＝2，D(X)＝1.8 D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.25.(多选)设离散型随机变量X的分布列为ACDX01234Pq0.40.10.20.2解析因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确.故选ACD.A.E(ξ)增大

B.E(ξ)减小C.D(ξ)先增大后减小

D.D(ξ)先减小后增大6.(多选)已知随机变量ξ的分布列如下：ACξ012Pb－aba解得b＝0.5，0≤a≤0.5，∴E(ξ)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.7.某射击选手射击环数的分布列为40%X78910P0.30.3ab解析由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.解析由分布列性质，得x＋y＝0.5.8.已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy9.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________.1解

记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列和期望.解

设事件A表示“甲被机器人社团录取为新成员”，事件B表示“乙被机器人社团录取为新成员”，事件C表示“丙被机器人社团录取为新成员”.所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率解

设事件D表示“甲、乙、丙三人都被机器人社团录取”，(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.解

X的所有可能取值为60，90，120，150.(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：参与环节笔试面试手机话费/元2030所以X的分布列为12.(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是(

)ACD设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4.由四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为13.(多选)开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，则以下论述正确的是(

)BCD解析在A中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有80%的可能选择面食套餐，故A错误；在B中，∵第1天小明选择了米饭套餐，∴p3＝0.8×0.8＋0.2×0.2＝0.68，故B