2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【课件】

第七章立体几何与空间向量第1节基本立体图形、简单几何体的

表面积与体积ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1(1)多面体的结构特征1.空间几何体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相______且______多边形互相______且______平行全等平行相似侧棱____________相交于______，但不一定相等延长线交于______侧面形状____________________梯形平行且相等一点一点平行四边形三角形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，______于底面相交于______延长线交于____

轴截面__________________等腰梯形圆面侧面展开图____________扇环

垂直一点一点矩形等腰三角形矩形扇形(1)画法：常用____________.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面______.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______.2.直观图斜二测画法45°(或135°)垂直平行于不变一半3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝___________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积×解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误.(4)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

) (3)菱形的直观图仍是菱形.(

) (4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(

)×××BC3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(

)所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

)A解析对于A，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；对于B，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一个大圆，故正确；对于C，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；对于D，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.5.(多选)下列说法中正确的是(

) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆 C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形 D.梯形的直观图可以是平行四边形BC小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(

)6.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：B0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨A.小雨

B.中雨

C.大雨 D.暴雨KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2例1(1)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是(

) A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C.长方体是直平行六面体 D.存在每个面都是直角三角形的四面体CD角度1空间几何体的结构特征解析A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；C正确；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.解析对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.综上，命题ABC不正确.(2)(多选)给出下列四个命题，不正确的是(

)A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱ABC解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，例2

一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(

)角度2直观图B解析圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，角度3展开图又∠POP′为△POP′一内角，解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；训练1(1)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是(

) A.0 B.1

C.2 D.3A③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.1由于侧面展开图为半圆，因此r＝1.解析如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.D′C′＝1，A′B′＝3，则直观图A′B′C′D′的面积解析如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，AC角度1表面积和侧面积解析如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵AC与圆锥底面所成的角是30°，解析如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得例5(1)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.角度2体积1又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC解析连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，训练2(1)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(

)D(2)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.39π解析∵ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.(3)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为________.角度1外接球解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，例6(1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.则垂足为BC的中点M.解析如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.64π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.例7

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.角度2内切球解析平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，训练3(1)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(

)C∵正方体棱长为1，∴内切圆半径r＝tan30°·AE解析如图所示.∵BP⊥PC，AO⊥平面PBC，∴三棱锥A－PBC的外接球球心M在AO上，又球M的表面积为64π，∴r外＝4，在Rt△MOB中，24π或8π∴MO＝2，MA＝4，∴AO＝6或AO＝2，三棱锥外接球球心的确定方法空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.解析根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示.例1(1)在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________.20π一、补形法之一——存在侧棱与底面垂直该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点.即外接球的半径为体对角线长的一半.此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.解析由题意得底面BCD为等边三角形，又AB⊥平面BCD，所以可将三棱锥A－BCD放置于直棱柱的一角，如图所示，该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，球心为直三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点.设直三棱柱上下底面外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，O2B，则O为外接球的球心，OB为外接球的半径，O2B为△BCD外接圆的半径，OO2＝1.8π所以外接球的表面积S＝4π·OB2＝8π.解析考虑到三棱锥A－BCD对棱相等，可利用长方体面对角线相等，将该三棱锥放置于长方体内，三组对棱即为长方体的三组面对角线，如图所示.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心在长方体对角线的中点，即外接球的半径为体对角线长的一半.设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，二、补形法之二——对棱相等所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC为直角三角形.故△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点.取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.三、借助三角形外心确定球心位置该三棱锥外接球的球心在线段PO1上.设球心为O，连接OA，则OA＝OP，且均为外接球的半径.由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，解析如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O半径R＝OA，连接OD，在Rt△ODE中，(3)在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，BC⊥CP，PA⊥AB，∠CPA＝60°，则该三棱锥外接球的体积为________.解析如图所示，由题意知，△ABC，△PCB，△PAB均为直角三角形，而且有Rt△PCB≌Rt△PAB，则PC＝PA.在Rt△ABC中，其外接圆的圆心为斜边AC的中点，设其为O1，过点O1作直线l⊥平面ABC，该三棱锥外接球的球心在l上.不妨设球心为O，则OA＝OB＝OC＝OP.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确.1.下列说法中，正确的是(

) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等C2.一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(

)B解析设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.3.现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为(

)D解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.4.(多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(

) A.圆面

B.矩形面 C.梯形面

D.椭圆面或部分椭圆面ABD解析取AB的中点O，所以CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，B解析如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，6.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(

) A.64π B.48π C.36π D.32πA因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.解析如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，B又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，∴D1E＋CE的最小值为D1G，8.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(

)AC10.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____________cm3.解析由题意，圆柱底面半径为r，球的半径为R，11.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________.V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.12.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.118.8又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).A.12

B.25 C.30 D.3613.碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37