山西省太原市2025届高三数学上学期期末考试试题文含解析

PAGE22-山西省太原市2025届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1.设集合，，则下列图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合B表示函数的定义域，故.故图中阴影部分所表示的集合为，故选B.2.若复数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】试题分析：因为所以，故选C.考点：复数的概念与运算.3.命题“若，则”的否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】依据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”故选B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据，然后利用两角和的正切公式，结合特别角的正切值，可得结果.【详解】由，所以则所以故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，关键在于将非特别角转化为特别角，识记公式，细心计算，属基础题.5.已知等比数列中，若成等差数列，则公比（）A.1 B.1或2 C.2或-1 D.-1【答案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由题设得：因为，所以，解得：或故选C.考点：等差数列与等比数列.6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）A. B.2 C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】依据三视图的还原以及直观想象，可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，然后依据长对正，高平齐，宽相等，可知四棱锥的底面边长以及高度结合锥体体积公式，可得结果.【详解】由图可知：几何体是底面为正方形的四棱锥且底面边长为3，四棱锥的高为1所以该四棱锥的体积为：故选：C【点睛】本题主要考查三视图的还原，考验空间想象实力以及对常见几何体的三视图的相识，属基础题.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值为2，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】采纳依次计算，第一次：，其次次：，…依次类推，直到，简洁计算，可得结果.【详解】当输入的值为2时第一次：其次次：第三次：第四次：第五次：第六次：则当时，，输出结果.所以即故选：A【点睛】本题考查程序框图，对这种问题按部就班，依次计算，驾驭该算法的功能，细心计算，属基础题.8.函数的最大值是（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】依据，利用两角和的余弦公式绽开化简，可得，依据余弦函数的性质，可得结果.【详解】所以所以即由所以可知故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，重在于对公式的识记，属基础题.9.已知三个村庄所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且.现在内任取一点建一大型的超市，则点到三个村庄的距离都不小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采纳数形结合，计算，以及“点到三个村庄的距离都不小于”这部分区域的面积，然后结合几何概型，可得结果.【详解】由题可知：所以该三角形为直角三角形分别以作为圆心，作半径为2的圆如图所以则“点到三个村庄距离都不小于”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为又三角形内角和为，所以设点到三个村庄的距离都不小于的概率为所以故选：D【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解实力，属基础题.10.若对随意的实数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数探讨函数在单调性，并计算，可得结果.详解】令，则，令若时，若时，所以可知函数在递减，在递增所以由对随意的实数恒成立所以故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数探讨函数性质，属基础题.11.在四棱锥中，底面，为正方形，//，己四棱锥与四棱锥的外接球的半径分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】假设正方形的边长，然后利用勾股定理计算，依据墙角模型以及直观想象，可知分别为四棱锥与四棱锥的外接球直径，最终计算可得结果.【详解】设正方形的边长为如图由底面，//所以底面又所以可知依据墙角模型，将四棱锥补全是长方体为该长方体的一条体对角线所以四棱锥的外接球的直径为同理四棱锥的外接球的直径为所以所以故选：B【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，熟识墙角模型，可快速找到外接球的球心，属基础题.12.已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采纳数形结合的方法，作出图像，依据直线过定点以及两函数图像有3个交点，可得结果.【详解】由方程有且仅有3个实数解等价于函数，图像有3个交点且直线过定点如图依据图形可知：当直线与相切时设切点，又，所以在点处的切线方程：又过定点，代入上式，可得所以当直线过点时则所以可知故选：D【点睛】本题考依据方程根的个数求参数，娴熟运用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析实力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数的图象过点，则实数_________.【答案】【解析】【分析】依据对数的运算，干脆代值计算即可..【详解】由题可知：则故答案为：【点睛】本题考查对数式的运算，属基础题.14.若满意，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线在可行域中平移，依据或含式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简洁计算，可得结果.【详解】如图令，可得目标函数的一条等值线则将移至点处，目标函数取最小值所以最优解为点则故答案为：【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解或含式子的意义，然后运用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最终计算，可得结果.15.若，则由小到大排列为_______________.【答案】【解析】【分析】依据指数函数、幂函数、对数函数的单调性以及借助特别值1进行比较大小，可得结果.【详解】由，且单调递减所以又在递增，所以所以由单调递减，所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，熟识基本函数的单调性以及借助中间值比较大小，比如中间值常用：0，1，属基础题.16.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________.【答案】【解析】【分析】利用建系的方法，假设，依据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最终依据点坐标，可得结果.【详解】设，则如图由题可知：，由所以，则所以，又所以所以即所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分运用条件，考验分析实力，属难题.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.为提高产品质量，某企业质量管理部门常常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1)；中位数为82.5.(2)【解析】【分析】（1）依据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采纳列举法表示出全部基本领件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得，；设综合评分的中位数为，则，解得，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；从这5个产品中随机抽取2个，基本领件为：、、、、、、、、、共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事务为：、、、、、共6种，所以所求的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图中详细数值的求解，中位数的计算，求解详细事务对应的概率，属于中档题18.在中，对应的边为.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先依据正弦定理化边为角，再依据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）依据余弦定理求，代入条件求得，解得，最终依据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件，得，又由，得.由，得，故.（Ⅱ）解：在中，由余弦定理及，有，故.由得，因为，故.因此，.所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就须要依据正、余弦定理结合已知条件敏捷转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列的前项和为，满意.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求的值.【答案】（I）见解析；（II）【解析】【分析】（I）计算，依据关系，可得，然后运用配凑法，可得结果.（II）依据（1）的结果，可得，然后计算，利用等比数列的前和公式，可得结果.【详解】（I）由①当时，可得当时，则②则①-②：则又所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列（II）由（I）可知：所以记所以又所以【点睛】本题考查的关系证明等比数列以及等比数列的前和公式，娴熟公式，以及驾驭之间的关系，属基础题.20.如图，三棱柱中，底面，点是棱的中点，，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）连接交于点，连，依据中位线定理可得//，然后依据线面平行的判定定理，可得结果.（Ⅱ）计算，依据等体积法，，可得结果.【详解】（Ⅰ）在三棱柱中连接交于点，连如图由四边形为平行四边形，则为中点又点是棱的中点，所以//因为平面，平面所以//平面（Ⅱ）设点到平面的距离为由底面，底面所以，由，所以，则由平面，所以平面平面，所以所以连接，作交于点由三角形为等腰直角三角形，所以又底面，所以，又//，所以平面，所以平面由则所以【点睛】本题考查线面平行的判定以及运用等体积法求点到面的距离，识记线面平行的判定，娴熟驾驭运用等积法解决点到面的距离，细心视察，耐性计算，属中档题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线方程；（Ⅱ）若在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据导数的几何意义求解；（Ⅱ）依据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解.【详解】解：（Ⅰ）当时，，.所以，所以，，曲线在点处的切线方程为，整理得（Ⅱ）因为，.所以，依题意，在区间上存在变号零点.因为，设，所以在区间上存在变号零点.因，所以，当时，，，所以，即，所以在区间上为单调递增函数，依题意，即解得.所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是.【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.假如多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点，直线与曲线相交于点，求的值.【答案】（Ⅰ）直线的一般方程为：，曲线的直角坐标方程为：；（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）运用代入法消参，可得直线的一般方程，依据，结合二倍角的余弦公式，可得曲线的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线参数方程的标准形式，然后联立曲线的方程，可得关于参数的一元