2024高考数学二轮专题复习测试专题强化练三含解析

PAGE专题强化练(三)1．(2024·济南外国语学校月考)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，ma＋b与a－2b共线，则ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4⇒m＝－eq\f(1,2).答案：D2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2) D．1解析：因为3a＋2b与λa－b垂直，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λ|a|2＋(2λ－3)a·b－2|b|2＝0.因为a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9，所以12λ－18＝0，即λ＝eq\f(3,2).答案：B＝2，|b|＝3，则(2a－b)·(a＋2b)＝()A．－10 B．－7C．－4 D．－1＋3×2×3×eq\f(1,2)－18＝－1，故选D.答案：D4．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，(a－b)·(a＋3b)＝－13，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)＝－13，得a·b＝－1，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(1,2)，因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：C5．(2024·哈尔滨师大附中模拟)已知在边长为3的等边△ABC中，eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up14(→))，则eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝()A．6 B．9C．12 D．－6解析：eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up14(→))))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|cosA＋eq\f(1,3)|eq\o(BC,\s\up14(→))|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|cosC＝3×3×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×3×3×eq\f(1,2)＝6.答案：A6．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)＝eq\r(1＋3)×eq\r(9＋m2)coseq\f(π,6)，即3＋eq\r(3)m＝eq\r(1＋3)×eq\r(9＋m2)×eq\f(\r(3),2)，两边平方化简可得m＝eq\r(3).答案：B7.(多选题)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A.eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→)) B.eq\o(MC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))C.eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→)) D.eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))解析：eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，A正确；eq\o(MC,\s\up14(→))＝eq\o(MA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→)))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))，B正确；eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(MA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DN,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))，C错误；eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，D正确．答案：ABD8．闻名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始终线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则()A.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝3eq\o(HM,\s\up14(→))＋3eq\o(MO,\s\up14(→))B.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝3eq\o(HM,\s\up14(→))－3eq\o(MO,\s\up14(→))C.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(HM,\s\up14(→))＋4eq\o(MO,\s\up14(→))D.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(HM,\s\up14(→))－4eq\o(MO,\s\up14(→))解析：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，因为O为△ABC的外心，所以OA＝OC，即O为斜边AC的中点，又因为M为BC中点，所以eq\o(AH,\s\up14(→))＝2eq\o(OM,\s\up14(→))，因为M为BC中点，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(AM,\s\up14(→))＝2(eq\o(AH,\s\up14(→))＋eq\o(HM,\s\up14(→)))＝2(2eq\o(OM,\s\up14(→))＋eq\o(HM,\s\up14(→)))＝4eq\o(OM,\s\up14(→))＋2eq\o(HM,\s\up14(→))＝2eq\o(HM,\s\up14(→))－4eq\o(MO,\s\up14(→)).答案：D9.(2024·齐齐哈尔模拟)如图，在△ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→)) B.eq\f(5,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(7,9)eq\o(BC,\s\up14(→))C.eq\f(1,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(10,9)eq\o(BC,\s\up14(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(7,9)eq\o(BC,\s\up14(→))解析：eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AQ,\s\up14(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)×eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,9)(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→)))＝eq\f(5,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(7,9)eq\o(BC,\s\up14(→)).答案：B10．(2024·武汉市部分学校在线学习摸底)已知单位向量eq\o(PA,\s\up14(→))，eq\o(PB,\s\up14(→))，eq\o(PC,\s\up14(→))满意2eq\o(PA,\s\up14(→))＋3eq\o(PB,\s\up14(→))＋3eq\o(PC,\s\up14(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))的值为()A．eq\f(8,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．1解析：因为2eq\o(PA,\s\up14(→))＋3eq\o(PB,\s\up14(→))＋3eq\o(PC,\s\up14(→))＝0，所以eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(PA,\s\up14(→))，如图，设BC中点为D，则eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up14(→))，且|eq\o(PA,\s\up14(→))|＝|eq\o(PB,\s\up14(→))|＝|eq\o(PC,\s\up14(→))|＝1，所以P，A，D三点共线，PD⊥BC，|eq\o(PD,\s\up14(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(PC,\s\up14(→))|＝eq\f(1,3)，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝eq\f(4,3)，所以△ABC为等腰三角形，＝eq\f(2\r(6),3)，所以cos∠BAC＝cos2∠CAD＝2cos2∠CAD－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AD,\s\up14(→))|,|\o(AC,\s\up14(→))|)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(AC,\s\up14(→))|cos∠BAC＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(2\r(6),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9).答案：A＝120°，AB＝AD＝1，若点E为边CD上的动点，则eq\o(AE,\s\up14(→))·eq\o(BE,\s\up14(→))的最小值为()A．eq\f(21,16) B．eq\f(3,2)C．eq\f(25,16) D．3解析：连接BD，取AD中点为O，可知△ABD为等腰三角形，而AB⊥BC，AD⊥CD，所以△BCD为等边三角形，BD＝eq\r(3).设eq\o(DE,\s\up14(→))＝teq\o(DC,\s\up14(→))(0≤t≤1)，2＝eq\f(3,2)＋eq\o(BD,\s\up14(→))·eq\o(DE,\s\up14(→))＋eq\o(DE,\s\up14(→))2＝3t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(3,2)(0≤t≤1)，所以当t＝eq\f(1,4)时，上式取最小值eq\f(21,16)，选A.答案：A12．(多选题)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内随意一点P，当eq\o(OP,\s\up14(→))＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A．线段A、B的中点的广义坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))B．A、B两点间的距离为eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)C．向量eq\o(OA,\s\up14(→))平行于向量eq\o(OB,\s\up14(→))的充要条件是x1y2＝x2y1D．向量eq\o(OA,\s\up14(→))垂直于eq\o(OB,\s\up14(→))的充要条件是x1y2＋x2y1＝0解析：依据题意得，由中点坐标公式知A正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；由向量平行的充要条件得C正确；eq\o(OA,\s\up14(→))与eq\o(OB,\s\up14(→))垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，因此D不正确；故选AC.答案：AC13．(2024·厦门模拟)已知向量a＝(x，2)，b＝(2，1)，且a∥b，则|a|＝______．解析：由a∥b得，x·1－2×2＝0，即x＝4，所以|a|＝eq\r(42＋22)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)14．(2024·武汉外国语学校模拟)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，－1)．若(a－μb)⊥b，则实数μ的值为________．解析：由题意知a－μb＝(－3－2μ，2＋μ)，若(a－μb)⊥b，则2(－3－2μ)＋(2＋μ)·(－1)＝0，化简得－8＝5μ，解得μ＝－eq\f(8,5).答案：－eq\f(8,5)15.(2024·南通如皋中学检测)