高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 椭圆及其标准方程

二十椭圆及其标准方程

（25分钟・50分）

一、选择题（每小题5分，共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,

有选错的得0分）

1.（多选题）已知在平面直角坐标系中，点A（-3,0）,B（3,0）,点P为一动点，且

|PA|+|PB|=2a（a20）,给出下列说法中正确的说法是（）

A.当a=2时，点P的轨迹不存在

B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3

C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，旦焦距为6

D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆

2.已知椭圆过点P（|,-4）和点Q（-g,3），则此椭圆的标准方程是（）

A.+x2=lB.—+y2=l或X2+2L=1

252525

C.L+y2=lD.以上都不对

25

3.若曲线ax2+by2=l为焦点在x轴上的椭圆，则实数a,b满足（）

A.a2>b2B.i<i

ab

C.0<a<bD.0<b<a

4.椭圆5x2+ky-5的一个焦点是（0,2）,那么k=（）

A.-lB.1C.75D.一麻

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.椭圆x2+ky2=l的焦距为贝Uk=.

6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距

离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.

三、解答题（每小题10分，共20分）

7.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且

|MD|=1|PD|.

5

当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.

8.已知点P(6,8)是椭圆立+以1(a>b>0)上一点，为椭圆的两焦点，若

a2b2

PF,•PF2=O.试求

(1)椭圆的方程.

(2)sinNPFR的值.

(15分钟，30分)

22

1.(5分)椭圆土+2=1上的点M到焦点E的距离为2,N为ME的中点,pliJ|ON|(0为

259

坐标原点)的值为()

A.8B.2C.4D.-

2

2.(5分)已知F,(-1,0),F/U,0)是椭圆C的两个焦点,过Fz且垂直于x轴的直线交

椭圆C于A,B两点，且|AB|=3,则椭圆C的方程为()

A.E+yJlB.吟亡=1

232

C.t+WD.==1

4354

3.(5分)已知F是椭圆5x?+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点，

则IPA|+1PF|的最大值为,最小值为.

4.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知aABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭

圆正+吐1上,则s—+s汾J______

259sinB

5.(10分)已知椭圆C:^+^=l(a>b>0)的左、右焦点分别为R,F2,点E在椭圆C上,

a2b2

且EF」FFz/EF』=±,|EF2|=—,求椭圆C的方程.

33

1.已知椭圆C：L+y2=l的焦点F(l,0),直线J:x=2,点AW/,线段AF交C于点B,若

2

FA=3FB,5!lJ|AF|=I)

A.73B.2C.72D.3

【加练•固】

已知圆E:&+1)2+/=16,点F(l,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平

分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为.

2.设F“Fz分别是椭圆L+y2=l的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).

4

⑴若P是该椭圆上的一个动点，求|PF』•|PFz|的最大值.

⑵若C为椭圆上异于B的一点，且RF,=xC*,求人的值.

(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBE的周长的最大值.

二十椭圆及其标准方程

(25分钟•50分)

一、选择题(每小题5分，共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,

有选错的得0分)

1.(多选题)已知在平面直角坐标系中，点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点，且

|PA|+|PB|=2a(a»0),给出下列说法中正确的说法是()

A.当a=2时，点P的轨迹不存在

B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3

C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6

D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆

【解析】选AC.当a=2时，2a=4〈|AB|,故点P的轨迹不存在，A正确；当a=4

时,2a=8>|AB],故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确；当a=3时，点

P的轨迹为线段AB,D错误.

2.已知椭圆过点Pg,-4)和点3),则此椭圆的标准方程是()

A.l-+x2=lB.：—+y2=l或xz+—=1

252525

2

C.—r+y2=lD.以上都不对

25

f-X+165=1,

【解析】选A.设椭圆方程为Ax2+By2=l(A>0,B>0),由题意得《芸解

隹A+9B=1,

(25

(A=1,

得1.

I25

所以此椭圆的标准方程为匕+X2=1.

25

3.若曲线ax2+by2=l为焦点在x轴上的椭圆，则实数a,b满足()

A.a2>b2B.i<i

ab

C.0<a<bD.0<b<a

%2y2

【解析】选C.由题意，曲线ax2+by2=l可化为:=1.

ab

因为曲线ax2+by2=l为焦点在x轴上的椭圆，

11

所以—>_〉0,所以b〉a>0.

ab

4.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=()

A.-1B.1C.V5D.-V5

y2

【解析】选B.由5x2+ky2=5得,x2+-5-=l.

k

因为焦点为(0,2),所以六三,b2=l,

k

所以c2=a2-b2=--l=4,所以k=l.

k

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.椭圆x2+ky-l的焦距为则k=.

2俨

【解析】椭圆x2+ky2=l转换为标准形式±+丁=1,

1k

当焦点在X轴上时,c2=l」,即2c=2Il-i=V2>解得k=2,

k\k

当焦点在y轴上时,c^2T,即2c=2I--1，

ky/k

2

解得k=-.

3

答案：2或三

3

6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距

离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.

【解析】由题意可得所以(0-7

\a-c=1.lc=1.

22

故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为土+2=1.

43

答案:兰+吐1

43

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且

|MD|=-|PD|.

5

当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.

［解析］设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xp,%),

4，

因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,1.|MD|=-|PD，所以x产x,且y=-y.

5P4

因为P在圆x2+y2=25上，

22222

所以x2+f-v)=25,整理得L+匕=1,即点M的轨迹C的方程是二十匕=1.

V4Z725162516

22

8.已知点P(6,8)是椭圆L+匕=l(a>b>0)上一点，F“R为椭圆的两焦点，若

a2b2

PF,,PF2=0.试求

(1)椭圆的方程.

(2)sinNPFE的值.

【解析】⑴因为函•PF,=0,

所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,

所以F(T0,0),F2(10,0),所以2a=1PF/+|PF21

(6+10)2+82+J(6-10)2+82=12V5.

所以a=6j5,b2=80.所以椭圆方程为三卜匕1.

18080

⑵如图所示，

过点P作PM_Lx轴,垂足为M,

则|PM|=8,|FM〕T0+6=16,

22=22=8

所以IPF』=JpM+F]MV8+16V5>

\PM\_8_x/5

所以sinZPF)F2=-

IPF1I8^5

（15分钟•30分）

22

1.（5分）椭圆二+匕=1上的点M到焦点F,的距离为2,N为明的中点,pliJIONl（0为

259

坐标原点）的值为（）

A.8B.2C.4D.-

2

【解析】选C.由椭圆定义知|MF』+|MF2|=2a=10,又|MF1=2,所以|MFz|=8,由于N为

MF,的中点，所以0N为△FiMF2的中位线,所以10用=3MB|=4.

2

2.（5分）已知F,（-1,0）,R（l,0）是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交

椭圆C于A,B两点，且|AB|=3,则椭圆C的方程为（）

2

A.^+y=l&次+亡=1

232

仁立+乙1D.心亡=1

4354

【解析】选C.设椭圆的方程为百+亡=l（a〉b>0）,

a2b2

令x=c,贝Uy=±—,SIABI=3,得更名①，

aa

又1七2=。2=1,②

22

联立①②得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为土+2L=1.

43

3.(5分)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,

则IPA|+1PF|的最大值为,最小值为.

22

【解析】椭圆方程化为土十二=1,

95

设K是椭圆的右焦点，则&(2,0),

所以|AFj=/,|PA|+|PF|=|PA|TPF1+6,

又-|AF』WIPAHPFJW|AF』(当P,A,F,共线时等号成立)，所以|PA国PF|W

6+V2-IPA|+|PF|>6-V2-

答案：6+或6-72

4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知4ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭

圆立只匕1上,则S+SEJ_____.

259sinB

【解析】由题意知,A,C为椭圆的两焦点,

则|AC=8,|AB|+|BC1=10.所以sinA+sbig_BC|+|AB_10_5

sinB\AC\84

答案？

5.(10分)已知椭圆C：—+^=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F„艮,点E在椭圆C上,

a2b2

且EF」FFz/EF』=±,|EF」=上求椭圆C的方程.

33

【解析】因为点E在椭圆C上所以2a=啪1+质号?6,即a=3.

在RtZ\EFE中,

=22==2

IFF」JEF2-\EFjV20V5>

所以椭圆c的半焦距c=V5.

所以b2=a2-c2=9-5=4,

22

所以椭圆C的方程为土+二=1.

94

y2

1.已知椭圆C:土+y2=l的焦点F(l,0),直线Lx=2,点AC1,线段AF交C于点B,若

2

FA=3FB,5HJ|AF|=I)

A..y/3B.2C.y[2D.3

【解析】选C.设A(2,yo),B(x“yJ,3=(l,y。)，G=(x「l,yJ,由诲=34,即

(1,Yo)=3(x「l,y),

4

打二一，

所以ITJ，又点B在椭圆C上,

所以G)+(£)2=1,解得y0=±l,所以A点坐标为⑵±1),

所以।武尸J(2-1)2+(±卜0)2:6.

【加练•固】

已知圆E:(x+l)2+y2=16,点F(l,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平

分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方