湘教版高中数学必修第一册第1章1-2-2第2课时充要条件课件

第2课时充要条件第1章集合与逻辑1.2常用逻辑用语1.2.2充分条件和必要条件学习任务核心素养1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．思考：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？必备知识·情境导学探新知知识点充要条件(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有_______，又有_______，就记作________．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们称p是q的充分必要条件，简称____条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为________条件．p⇒qq⇒pp⇔q充要充分必要提醒命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；②充分而不必要条件，即p⇒q且q

p；③必要而不充分条件，即p

q且q⇒p；④既不充分又不必要条件，即p

q且q

p．思考

“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]

(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．体验

从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的__________；(2)“x<5”是“x<3”的__________________．(1)充要条件(2)必要而不充分条件[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B,即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A

B，所以“x<5”是“x<3”的必要而不充分条件．]充要条件必要而不充分条件类型1充分、必要、充要条件的判断【例1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：a＞b；q：ac＞bc．关键能力·合作探究释疑难[解]

(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0

x－3＝0，故p是q的充分而不必要条件．(2)两个三角形相似

两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要而不充分条件．(3)a＞b

ac＞bc，且ac＞bc

a＞b，故p是q的既不充分又不必要条件．反思领悟

判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．[跟进训练]1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA．[解]

(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要而不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分而不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要而不充分条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．类型2充要条件的证明【例2】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

反思领悟

充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．[跟进训练]2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．[证明]

假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0．①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．类型3充要条件的应用【例3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．联想必要而不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系．

[母题探究]本例中“p是q的必要而不充分条件”改为“p是q的充分而不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

反思领悟

应用充分而不必要、必要而不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分而不必要条件、必要而不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．1．“x>0”是“x≠0”的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件学习效果·课堂评估夯基础√23题号41A

[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件23题号41√B

[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．故选B．]3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分而不必要条件，则a的取值范围是(

)A．a≥3 B．a≤－1C．－1≤a≤3 D．a≤323题号4√1B

[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分而不必要条件，故a≤－1．]4．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①_________________；充要条件②____________________．23题号41两组对边分别平行一组对边平行且相等条件p与结论q的关系结论p⇒q，且q

pp是q的充分而不必要条件q