必修二讲义第二章第二节向心力

其次节向心力

1.向心力是按效果命名的力，不能认为做圆周

运动的物体除了受到另外物体的作用，还受

到一个向心力的作用。

_V2

2.圆周运动向心力大小F=ma)1r=m—,方向

般理律指向圆心，不转变速度的大小，只转变速度

笠记率的方向。

3.向心加速度描述圆周运动线速度方向转变的

快慢，向心加速度的方向与向心力的方向全

..."4712r

都M，大小为a=：=w/=亍-。

4.匀速圆周运动向心力和向心加速度的大小恒

定，方向时刻在转变，因此匀速圆周运动是

变加速运动。

.理疗域科姆■课前自主学习，基稳才能楼高

一、感受向心力

i.向心力

做匀速圆周运动的物体受到与速度方向不在同始终线上的合力作用，这个力总是沿着

半径指向圆心,叫做向心力。

2.向心力的大小

⑴试验探究

①探究目的：探究向心力大小厂与质量加、角速度。和半径r之间的关系。

②试验方法：掌握变量法。

③试验过程

a.保持。、r相同，争论向心力厂与小球质量之间的关系。

b.保持m、r相同，争论向心力尸与角速度包之间的关系。

c.保持。、机相同，争论向心力尸与半径r之间的关系。

④试验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度肯定时，与半径成

正比；在质量和半径肯定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度肯定时，与质量成

正比。

2

(2)向心力的公式：F=m(orF=m—0

3.向心力的特点

(1)向心力的方向沿半径指向圆心，与质点运动的方向垂直。

(2)向心力不转变质点速度的大小，只转变速度的方向。

二、向心加速度

1.定义

由向心力产生的指向圆心的加速度叫做向心加速度。

2.大小

力

〃=小/或a=-o

3.方向

向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。

4.物理意义

向心加速度始终与速度垂直，只转变速度的方向，不转变速度的大小，向心加速度的

大小表示速度方向转变的快慢。

三'生活中的向心力

1.在水平大路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力供应

的，假如转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力,汽车将易滑出路面而造成交

通事故。因此，在大路弯道处，车辆行驶速度不允许超过规定速度。

N

mg

图221

2.汽车在大路的转弯处时，大路对汽车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯

道的内侧，它与重力的合力指向圆心，为汽车转弯供应向心力。

N

F=mgtan\0

mg

图2-2-2

3.汽车过凸形桥最高点时，对桥面压力小王汽车重力；汽车过凹形桥最低点时，对桥

面压力大王汽车重力。

1.自主思索一判一判

(1)向心力既可以转变速度的大小，也可以转变速度的方向。(X)

(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力肯定越大。(X)

(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。(X)

(4)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。(X)

(5)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(J)

(6)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(X)

2.合作探究——议一议

(1)如图2-2-3所示，用长短不同、材料和粗细均相同的两根绳子各拴着一个质量相同的

小球，在光滑的水平面上做匀速圆周运动，假设两个小球以相同的角速度运动，长绳简单

断还是短绳简单断？假设两个小球以相同的线速度运动呢？

图223

提示：假设两小球角速度相同，由厂=相切2r可知，长绳中张力大，长绳易断。

假设两小球线速度相同，由户=叼■可知，短绳中张力大，短绳易断。

(2)甲同学认为由公式知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式

a="2r知向心加速度”与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点。

提示：他们两人的观点都不精确？???？。当。肯定时，。与r成反比；当o肯定时，a

与r成正比。

(3)如图2-2-4所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几

个力作用？向心力由什么力供应？

图224

提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等

于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力供应。

课堂讲练设计，举一能通类题

考点一”对向心力的理解

0通知识

力4九2

1.大小：F=ma=m~=ma>2r=ma)v=nr^r

(1)匀速圆周运动中向心力的大小始终不变。

(2)非匀速圆周运动中向心力的大小随速率。的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。

2.方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿半径指向圆心，方向时刻转变，

故向心力是变力。

3.向心力是效果力

(1)向心力因其方向时刻指向圆心而得名，是效果力。

(2)它的作用效果是只转变速度方向不转变速度大小。

(3)不是由于物体做圆周运动才产生向心力，而是向心力作用迫使物体不断转变速度方

向而做圆周运动。

4.向心力的来源

物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力供应。可以由一个力充当

向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。

实例向心力示意图

用细线拴住的小球在竖直面内绳子的拉力和重力的合力供应

转动至最高点时向心力，方向=b+G

用细线拴住小球在光滑水平面

线的拉力供应向心力，F向=7

内做匀速圆周运动

物体随转盘做匀速圆周运动，转盘对物体的静摩擦力供应向

且相对转盘静止心力，F向=/

小球在细线作用下，在水平面重力和细线的拉力的合力供应

内做圆周运动向心力，F向=_F合fit)

0通方法

［典例］如图2-2-5所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中C方向沿半径

指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针匀速转动时，以下说法正确的选项是()

图225

A.尸受的摩擦力方向为a

B.P受的摩擦力方向为8

C.P受的摩擦力方向为c

D.尸受的摩擦力方向可能为d

［思路点拨］

对

P—竖直向下：重力二力

受静摩擦

力竖直向上：支持力平衡

力提供

分

析水平方向：静摩擦力向心力

［解析］物块产在水平转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，必需有向心力作用，而重

力、支持力合力为零，故物块尸的向心力应由指向圆心的静摩擦力来供应，应选C。

［答案］C

向心力与合外力的辨析

(1)“肯定"关系：无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方

向重量的矢量和肯定为向心力。

(2)“不肯定"关系：匀速圆周运动中，向心力就是合外力；非匀速圆周运动中，向心

力不是合外力，向心力是合外力沿半径方向的分力，合外力不指向圆心。

(3)“肯定不"关系：对物体进行受力分析时，肯定不要在分析完重力、弹力、摩擦力

等性质力后，又多出一个“向心力”，向心力只是上述性质力合成或分解得到的一个效果

力。

5瓯题组I

1.(多项选择)关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，以下说法正确的选项是()

A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力

B.因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能转变线速度的大小

C.它是物体所受的合力

D.向心力和向心加速度的方向都是不变的

解析：选BC做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向

圆心，且与线速度垂直，故不能转变线速度的大小，只能转变线速度的方向，向心力虽大

小不变，但方向时刻转变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错

误，B、C正确。

2.如图2-2-6所示，一只老鹰在水平面内回旋做匀速圆周运动，那么关于老鹰受力的

说法正确的选项是（）

图226

A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用

B.老鹰受重力和空气对它的作用力

C.老鹰受重力和向心力的作用

D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用

解析：选B老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力的作用，两个力的

合力充当它做圆周运动的向心力。向心力是依据力的作用效果命名的，不是物体实际受到

的力，在分析物体的受力时，不能将其作为物体受到的力。选项B正确。

3.（多项选择）如图2-2-7所示，一小球用轻绳悬挂于。点，将其拉离竖直位置一个角度

后释放，那么小球以。点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是（）

A.绳的拉力

B.重力和绳的拉力的合力

C.重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力

D.绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力

解析：选CD小球受重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，

可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说向心力是各力沿绳方向的分力的

合力，C、D正确。

考点二对向心加速度的理解

0通知识I

1.公式拓展

v2°4n2

a=-=(Dzr=-^-r=cov

r

由〃叶图像可以看出：〃与r成正比还是反比，要看是切恒定还是。恒定。

3.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动，在变速圆周运动（速度大小变化）中，物

体的加速度不指向圆心，该加速度沿圆心方向的重量是向心加速度。

方法I

［典例］如图2-2-9所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，

大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的;，当大轮边缘上P点

的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？

图229

［思路点拨］轮上尸点和S点属同轴转动，角速度相同，由可建立联系。轮上

尸点和。点属皮带传动，线速度相同，由。=?可建立联系。

［解析］设S和P到大轮轴心的距离分别为rs和rp,由向心加速度公式a=rco2,且60s

=@p可知，S与尸两点的向心加速度之比为强=上

（iprp

解得as=~ap=4m/s2

rp

设小轮半径为和，由向心加速度公式Q=7，且笠尸可得P与。两点的向心加速

度之比蝶兰

解得“2=方?=24m/s2o

［答案］4m/s224m/s2

常用向心加速度的计算公式及关系

已知曾、r,则a=

r

已知以丁•则a=Rr二一127rv=cor

已知T、r,则a=侔7r」”一~T

已知3、则a-cov---------------

b通题组

i.关于向心加速度，以下说法中正确的选项是()

A.向心加速度是描述线速度变化快慢的物理量

B.向心加速度只转变线速度的方向，不转变线速度的大小

C.向心加速度大小恒定，方向时刻转变

D.向心加速度的大小也可以用迎来计算

解析：选B加速度是描述速度变化快慢的物理量，而向心加速度是描述线速度方向

变化快慢的物理量，故A错误，B正确。依据向心加速度的计算公式可知，只有匀速

圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错误。圆周运动的加速度是时刻转变的，向心加

速度是瞬时加速度而不是平均加速度，故不能用来计算,只能用Q=?或2r

=(2动来计算，故D错误。

2.2016年1月29日，第十三届全国冬季运动会把戏滑冰双人滑自由滑竞赛在冰上运动

中心短道把戏馆结束，哈尔滨队的隋文雅和韩聪夺得冠。如图2-2-10所示，在男女双人把

戏滑冰运动中，男运发动以自身为转动轴拉着女运发动做匀速圆周运动。假设运发动的转

速为30r/min,女运发动触地冰鞋的线速度为4.8m/s,求女运发动做圆周运动的角速度、

触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小。

图2210

解析：男女运发动的转速、角速度是相同的，由切=2九〃得。=2Xrad/s=3.14

rad/s

由写=①〃付r=—=,3.14)m"1.53m

由a=(o2r,得a2X1.53m/s2^15.1m/s2o

答案：3.14rad/s1.53m15.1m/s2

圆周运动中的动力学问题

包甬方法

［典例］如图2-2-11所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r

时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)。物块与转盘间最大静摩擦力是其重力

的左倍，当绳中张力到达8如取时，绳子将被拉断。求：

图2-2-11

⑴转盘的角速度为3=,绳中的张力Ti;

⑵转盘的角速度为。2=、修时，

绳中的张力T1-,

(3)要将绳拉断，转盘的最小转速“min。

［思路点拨］

(1)当转速较小时，由静摩擦力供应物块做圆周运动的向心力。

(2)当转速较大时，由最大静摩擦力和绳上的拉力共同供应物块做圆周运动的向心力。

［解析］设角速度为。0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，那么由题意有：心〃g=HMWO2r

解得：0)0=

(1)当转盘的角速度为。1=时，由于物块所受静摩擦力足以供应物块随

转盘做圆周运动所需向心力，绳子张力为零，即：71=0。

(2)当转盘的角速度为02=时，由于"2＞。0,物块所受最大静摩擦力缺乏以供应

物块随转盘做圆周运动所需向心力，那么绳子有张力。

那么有：kmg+Ti=m(o^r

解得：Ti=kkmgo

(3)要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要到达最大值，那么有：

kmg+8kmg=mcomir^r

解得:@mta=31停。

［答案］(1)0(2^kmg(3)3、y§

圆周运动动力学问题的解题步骤

(1)明确争论对象：解题时要明确所争论的是哪一个做圆周运动的物体。

(2)确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。

(3)确定争论对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力状况，推断哪些力供应向心

力，这是解题的关键。

(4)依据向心力公式列方程求解。

e通题组

1.如图2-2-12所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。在框架上套着两个

质量相等的小球A、3,小球4、5到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。

以下说法正确的选项是()

图2212

A.小球A所受的合力小于小球B所受的合力

B.小球A与框架间可能没有摩擦力

C.小球3与框架间可能没有摩擦力

D.圆形框架以更大的角速度转动，小球3受到的摩擦力肯定增大

解析：选C小球受到的合力充当向心力，由于到竖直转轴的距离相等，所以两小球

的速度大小相等，半径相等，由尸金=机。■可知，两小球受到的合力大小相等，A错误；小

球A受到的重力竖直向下，受到的支持力垂直圆环该点切线方向背向圆心，故两个力的合

力不行能指向竖直转轴，所以肯定受到摩擦力作用，小球B受到竖直向下的重力，垂直该

点切线方向指向圆心的支持力，合力可能垂直指向竖直转轴，所以小球3可能不受摩擦力

作用，B错误，C正确；当圆形框架以更大的角速度转动时，小球3受到的摩擦力可能增

大，也可能减小，故D错误。

2.如图2-2-13所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O,一根轻绳穿过小孔，一端连

接质量为帆=1kg的小球A,另一端连接质量为M=4kg的重物8。求:

图2213

（1）当A球沿半径为R=0.1m的圆做匀速圆周运动，其角速度为a）=10rad/s时，5对

地面的压力为多少？

（2）要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？恁取10m/s2）

解析：（1）对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力供应向心力，

那么

T=mR（i）2=lXX102N=10No

对物体5来说，物体受到三个力的作用：重力Mg、绳子的拉力T、地面的支持力N,

由力的平衡条件可得

T+N=Mg,

所以

将7=10N代入上式，可得：N=4X10N-10N=30N。

由牛顿第三定律可知，3对地面的压力为30N,方向竖直向下。

（2）当3对地面恰好无压力时，有：Mg=T',拉力T'供应小球A所需向心力，那么：

际（4X10

2

T'=mRa）',那么to'=7俄=AJ1X0xrad/s=20rad/so

即当5对地面恰好无压力时，A球的角速度应为20rad/s。

答案：（1）30N,方向竖直向下（2）20rad/s

课后层级训练，步步提升能力

一、基础题与熟

L（多项选择）关于向心力的以下说法中正确的选项是（）

A.物体受到向心力的作用才能做圆周运动

B.向心力是指向圆心方向的合外力，它是依据力的作用效果命名的

C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力

D.向心力不但能转变物体的运动方向，而且可以转变物体运动的快慢

解析：选BC向心力是依据力的作用效果命名的力，而不是一种性质力，物体之所以

能做圆周运动，不是由于物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合力始终

指向圆心，从而只转变物体速度的方向而不转变速度的大小，应选项A、D错误，B、C正

确。

2.甲、乙两质点做匀速圆周运动，其半径之比Ri：&=3：4,角速度之比“1：g=4：3,

那么甲、乙两质点的向心加速度之比©：念是（）

916

16D.y

解析：选A由于半径之比Ri：&=3：4,角速度之比MI：（02=4：3,依据a=（o2R

得：ai:痣=4:3,应选A。

3.（多项选择）如图1所示，为A、5两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的

图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（）

图1

A.A物体运动的线速度大小不变

B.A物体运动的角速度大小不变

C.5物体运动的角速度大小不变

D.3物体运动的线速度大小不变

解析：选AC匀速圆周运动的向心加速度的计算式有两个：〃=7或〃=/2q因此不

能不加推断就认为Q与r成反比或〃与r成正比，而只能这样表述：当u的大小相等时，a

的大小跟r成反比；当口相同时，a的大小跟，成正比。5质点做匀速圆周运动的向心加速

度随半径变化规律是通过原点的一条直线，即〃8〃故C项对。A质点做匀速圆周运动的

向心加速度随半径变化规律是双曲线的一支，即“8，故A项对。

4.如图2所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡

皮，橡皮块随圆盘一起转动（俯视为逆时针）。某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对

圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示（俯视图）中，正确的选

项是（）

图2

解析：选C橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但肯定指向圆周的内侧；由

于做加速圆周运动，速率不断增加，故合力与速度的夹角小于90。，选项C正确。

5.如图3所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为，〃的小球，另一端固定在水平转

轴。上，杆随转轴。在竖直平面内匀速转动，角速度为包,某时刻杆对球的作用力恰好与

杆垂直，那么此时杆与水平面的夹角。是（）

A.sinO=翦

B.tan0=

g

C.sin6>=焉D.tan

解析：选A小球所受重力和轻杆的作用力的合力供应向心力，依据牛顿其次定律有

mgsin0=mLco2,解得sin，=,故A正确，B、C、D错误。

S

6.4、3两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比必：SB=4：3,

转过的圆心角之比（PA:（PB=3:2o那么以下说法中正确的选项是（）

A.它们的线速度之比以：VB=4：3

B.它们的角速度之比:（OB=2：3

C.它们的周期之比TA：TB=3:2

D.它们的向心加速度之比领：在=3：2

解析：选AA、3两质点分别做匀速圆周运动，假设在相等时间内它们通过的弧长之

As

比为SA:SB=4:3,依据公式线速度之比为VA:Ub=4：3,故A正确；通过的圆

心角之比他：（PB=3:2,依据公式3=角速度之比为3•2,故B错误；由公式T=。,

周期之比为TA：TB=2：3,故C错误；依据a=co%可知aA：aB=2：1,故D错误。

二、易错题畲B月

7.如图4所示，将完全相同的两个小球A、B,用长L=0.8m的细绳悬于以u=4m/s

向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种缘由，小车突然停止运动，

此时悬线的拉力之比FB：FA为@取10m/s2）（）

B.1：2

C.1：3D.1：4

解析：选C小车突然停止，3球受到的拉力外仍旧等于小球的重力，A球票做圆周

运动，由牛顿其次定律得尸一醒=机，解得尸机所以：：正确。

47L4=3g,FBFA=13,C

8.（多项选择）如图5所示，长为L的悬线固定在。点，在。点正下方有一钉子C,0C

距离为寺，把悬线另一端的小球机拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬

点正下方时悬线遇到钉子，那么小球的（）

图5

A.线速度突然增大为原来的2倍

B.角速度突然增大为原来的2倍

C.向心加速度突然增大为原来的2倍

D.悬线拉力突然增大为原来的2倍

解析：选BC悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速

7）7;2

度不变，A错；当半径减小时，由知①变大为原来的2倍，B对；再由。=不知向心

加速度突然增大为原来的2倍，C对；而在最低点方一故遇到钉子后合力变为原

来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，D错。

三、能力题畲通

9.如图6所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度。转动，

盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因

数为坐（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30。，g取10m/s2。那么

的最大值是（）

图6

A.^/5rad/sB・M§rad/s

C.1.0rad/sD.0.5rad/s

解析：选C物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最简单滑动，因此物体在最低

点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，依据牛顿其次定律可知，fimgcos30°-

mgsin30°=/wra2,求得s=L0rad/s,C项正确，A、B、D项错误。

10.如图7所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B,沿锥面在

水平面内做匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是

)

A.它们的角速度相等/4

B.它们的线速度。4＜加

C.它们的向心加速度相等

D.A球的向心加速度大于5球的向心加速度

解析：选C对A、3两球分别受力分析，如下图。

由图可知

尸合=方合'=mgtan0

依据向心力公式有

V2

mgtan0=ma=m(ozR=nr^

解得

«=gtan0

v=yjgRtsin0

gtan，

(O=

由于A球转动半径较大，故A球的线速度较大，角速度较小；两球的向心加速度一样

大，应选C。

11.如图8所示，水平长杆43绕过B端的竖直轴OO'匀速转动，在杆上套有一个质量

帆=1kg的圆环，假设圆环与水平杆间的动摩擦因数4=0.5,且假设最大静摩擦力与滑动摩

擦力大小相等（g取10m/s2）,求：

图8

(1)当杆转动的角速度(o=2rad/s时，圆环随杆转动的最大半径为多大？

(2)假如水平杆转动的角速度降为=1.5rad/s,圆环能否相对于杆静止在原位置，此

时它所受的摩擦力有多大？

解析：(1)圆环在水平面内做匀速圆周运动的向心力是杆施加给它的静摩擦力供应的，

那么最大向心力歹向=“〃喑，代入公式歹向=nzRmax(y2,得&1ax=%,代入数据可得Rmax=

1.25mo

(2)当水平杆转动的角速度降为1.5rad/s时，圆环所需的向心力减小，那么圆环所受的

静摩擦力随之减小，不会相对于杆滑动，故圆环相对于杆仍静止在原来的位置，此时的静

摩擦力片机Rnax。'2仁2.81N。

答案：(1)1.25m(2)能2.81N

12.如图9所示，用一根长为/=1m的细线，一端系一质量为机=1kg的小球(可视为

质点),另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角，=37。，当小球在水平面内

绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为。时，细线的张力为兀(g取10m/s2,结果可用根

式表示)求：

(1)假设要小球离开锥面，那么小球的角速度硒至少为多大？

(2)假设细线与竖直方向的夹角为60。，那么小球的角速度少为多大？

解析：⑴假设要小球刚好离开锥面，那么小球受到重力和细线拉力，小球做匀X

速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。

在水平方向运用牛顿其次定律及向心力公式得：mgtan0=mcoo2lsin0

解得：°°2=舟，即°°='/高=烟rad/s。

(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿其次定律及向心力公式有：

mgtanO=m(or2Zsin0

解得：co'2=且即s'=、]Q=2乖rad/so

/COS夕\]/cos0V

答案：(1)M12.5rad/s(2)2^5rad/s

微专题培优(一|圆周运动的实例芬桥

火车转弯问题

1.火车车轮的特点：火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有

水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是防止火车运行时脱轨，如图1所示。

图1

2.圆周平面的特点：弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即

火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。

3.向心力的来源分析：火车速度适宜时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的

向心力完全由重力和支持力的合力供应，合力沿水平方向，大小/=/ngtane。

图2

4.规定速度分析：假设火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，那么mgtan

0—nr^-,可得vo=NgRtan9。(R为弯道半径，。为轨道所在平面与水平面的夹角，如为转

弯处的规定速度)

5.轨道压力分析

(1)当火车行驶速度。等于规定速度。。时，所需向心力仅由重力和弹力的合力供应，此

时火车对内外轨道无挤压作用。

(2)当火车行驶速度v与规定速度如不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的

合力供应，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，详细状况如下。

①当火车行驶速度。＞如时，外轨道对轮缘有侧压力。

②当火车行驶速度。＜加时，内轨道对轮缘有侧压力。

［典例］有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯

道，轨道半径为400m。(g取10m/s2)

⑴试计算铁轨受到的侧压力大小；

⑵假设要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜

路基，试计算路基倾斜角度。的正切值。

［审题指导］

(1)问中，外轨对轮缘的侧压力供应火车转弯所需要的向心力。

(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力供应火车转弯的向心力。

［解析］(1)0=72km/h=20m/s,外轨对轮缘的侧压力供应火车转弯所需要的向心力,

所以有：

v2105X202

S

F^=m—=40QN=1X1ON

由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1X105N。

(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好供应向心力，

V2

如下图，那么mgtan0=m~o

由此可得tan0=—=Q.lo

［答案］(1)105

火车转弯问题的解题策略

(1)对火车转弯问题肯定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力供应火车做圆周运

动的向心力，方向指向水平面内的圆心。

(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力供应。

(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤

压力的合力供应，这还与火车的速度大小有关。

［强化训练］

(多项选择)铁路转弯处的弯道半径r是依据地形打算的。弯道处要求外轨比内轨高，其

内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率。有关。以下说法正

确的选项是()

A.。肯定时，r越小那么要求人越大

B.。肯定时，r越大那么要求“越大

C.r肯定时，。越小那么要求〃越大

D.r肯定时，。越大那么要求人越大

或

解析：选AD设轨道平面与水平方向的夹角为，，由/ngtan夕=町"，得tan夕=1；

又由于tan，gsin所以)="。可见己肯定时，r越大，入越小，故A正确，B错误；

当r肯定时，。越大，ft越大,故C错误，D正确。

实例二汽车过拱形桥

汽车过凸桥与汽车过凹桥的比照分析

汽车过凸桥汽车过凹桥

N

N

受力

分析

mg

mg

牛顿第V2V2

mg—N=nr^N—mg=nr^

二定律

牛顿第V2V2

Fs=N=mg-nrnF压=N=帆g+帆五

三定律

。增大，尸底减小；当。增大到痂时，

争论。增大，F压增大

尸压=0

汽车过凸桥速度时,OvNWmg；当还时,N=0；当v>\［gR

说明

时，汽车将脱离桥面，发生危急

［典例］x103kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10m/s；那么此时汽

车运动的向心加速度为多大？向心力大小为多大？汽车对桥面的压力是多少？(取9=10

m/s2)

图3

及21()2

［解析］汽车的向心加速度”=7=访m/s2=2.5m/s2o

汽车所需的向心力F=mfl=X103X2.5X103N»

在桥的最高点，汽车的向心力是由重力和支持力的合力供应，如下图，依据牛顿其次

定律，F=ing-Ffi=ma,那么尸N=mg一机“X1。3义(io-2.5)x1。3N,依据牛顿第三定律,

3

汽车对桥的压力Fa=FNX10N»

［答案］2.5m/s2X103NX103N

汽车过拱形桥问题的解题策略

(1)对汽车过拱形桥问题，首先要分清是凸形桥，还是凹形桥，由于两者的向心力表达

式不同。

⑵拱形桥的半径就是汽车做圆周运动的半径。

（3）汽车不在拱形桥最高点或最低点的情形比拟简单，不能直接用重力和支持力相减表

示向心力。

［强化训练］

1.一汽车通过拱形桥顶点时速度为10m/s,车对桥顶的压力为车重的本假如要使汽

车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为（）

A.15m/sB.20m/s

C.25m/sD.30m/s

3v21p2v'2

解析：选B当FN=^G时，由于G—F^=m—,所以於=丐7,当FN=0时，G=zn-丁,

所以/=2^=20m/So

2.飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧

轨道俯冲时速度为5那么圆弧的最小半径为（）

v2V2

A・TB.T-

9g8g

v2v2

C.z-D.一

7gg

解析：选B飞机在圆弧的最低点飞行时，驾驶员受到的支持力WN最大，驾驶员在此

点受到重力mg和向上的支持力外两个力的作用，由向心力公式可得尸N—雄=根无，所以

当F^=9mg时，R=短,选项B正确。

实例三竖直平面内的圆周运动

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力状况可分为两类。一是

无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型"；二是有支撑（如球

与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型"。

2.两类模型比照

轻绳模型轻杆模型

情景萩

8滑管明

图示、J

、、--

弹力弹力可能向下，可能向上，也可能等于

弹力可能向下，也可能等于零

特征零

FN

受力卜~、

/V'、

mgmg"6J

示意图mgmgmg

o1。o1。

力学V2V2

mg+FT=m~mg±F^=m—

方程

F=0,即mg=

临界T

v2v=0,即厂向=0,此时FN=mg

特征m-9得

v=y［gr

物体能否过最高点的临界点FN表现为拉力还是支持力的临界点

的意义

［典例］长L=0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A,A的质量m=2kg。现让A

在竖直平面内绕。点做匀速圆周运动，如图4所示。在A通过最高点时，求以下两种状况

下对杆的作用力(g取10m/s2)：

图4

(1)4的速率为1m/s；

(2)4的速率为4m/so

［思路点拨］零件A在最高点时，杆对零件A的弹力和零件A的重力的合力供应向心

力；杆对零件A可能供应支持力，也可能供应拉力。

［解析］设杆转到最高点，轻杆对零件的作用力恰好为零时，零件的速度为内，由mg

得vo=\［gL=y［5m/so

(1)当历=1m/s<m时，轻杆对零件A有向上的支持力，由牛顿其次定律得mg一尸i=

V12

tnT

解得轻杆对零件的支持力Fi=16N

再由牛顿第三定律得，零件A对轻杆的压力户J=Fi=16No

(2)当02=4m/s>oo时，轻杆对零件A有向下的拉力，

同理有mg-\-F2=nr~j-

解得轻杆对零件的拉力/