《数学实验》习题及答案 习题9

习题91求下列微分方程的解析解（1）y''（2）y''-（3）y''（4）yy''-（5）y3（6）y''（7）y''（8）y'''解（1）symsy(x)eqn=diff(y,x,2)+diff(y,x)-3*y==exp(-3*x)；ySol(x)=dsolve(eqn)在命令窗口得到运行结果：ySol(x)=C1*exp(-x*(13^(1/2)/2+1/2))+C2*exp(x*(13^(1/2)/2-1/2))-exp(x*(13^(1/2)/2-1/2))*exp(-(5*x)/2-(13^(1/2)*x)/2)*((5*13^(1/2))/78-1/6)+exp(-x*(13^(1/2)/2+1/2))*exp((13^(1/2)*x)/2-(5*x)/2)*((5*13^(1/2))/78+1/6)（2）symsy(x)eqn=diff(y,x,2)-3*diff(y,x)==2*exp(2*x)*sin(x)；ySol(x)=dsolve(eqn)；simplify(ySol(x))在命令窗口得到运行结果：ans=C1/3-(exp(2*x)*cos(x))/5-(3*exp(2*x)*sin(x))/5+C2*exp(3*x)（3）symsy(x)aeqn=diff(y,x,2)+a^2*y==sin(x);ySol(x)=dsolve(eqn);simplify(ySol(x))在命令窗口得到运行结果：ans=C1*exp(-a*x*1i)+C2*exp(a*x*1i)+((cos(x)-a*sin(x)*1i)*1i)/(2*a*(a^2-1))-((cos(x)+a*sin(x)*1i)*1i)/(2*a*(a^2-1))（4）symsy(x)eqn=y*diff(y,x,2)-(diff(y,x))^2-1==0；ySol(x)=dsolve(eqn)在命令窗口得到运行结果：ySol(x)=C2-x*1iC3+x*1i(exp(C1^(1/2)*(C4+x))+exp(-C1^(1/2)*(C4+x)))/(2*C1^(1/2))(exp(C1^(1/2)*(C5-x))+exp(-C1^(1/2)*(C5-x)))/(2*C1^(1/2))（5）symsy(x)eqn=y^3+2*(x^2-x*y^2)*diff(y,x)==0;cond=y(1)==1；ySol(x)=dsolve(eqn,cond)；simplify(ySol(x))在命令窗口得到运行结果：ans=exp(-1/2)*exp(-wrightOmega(log(1/x)-1+pi*1i)/2)（6）symsy(x)eqn=diff(y,x,2)+diff(y,x)+y==cos(x);Dy=diff(y,x)；cond=[y(0)==0,Dy(0)==3/2]；ySol(x)=dsolve(eqn,cond)；simplify(ySol(x))在命令窗口得到运行结果：ans=sin(x)+(3^(1/2)*exp(-x/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/3（7）symsy(x)eqn=diff(y,x,2)+y==exp(x)+cos(x);Dy=diff(y,x)；cond=[y(0)==1,Dy(0)==1]；ySol(x)=dsolve(eqn,cond)；simplify(ySol(x))在命令窗口得到运行结果：ans=cos(x)/2+exp(x)/2+sin(x)/2+(x*sin(x))/2（8）symsy(x)eqn=diff(y,x,3)+2*diff(y,x,2)+diff(y,x)==0;Dy=diff(y,x);D2y=diff(Dy);cond=[y(0)==2,Dy(0)==0,D2y(0)==-1];ySol(x)=dsolve(eqn,cond)simplify(ySol(x))在命令窗口得到运行结果：ans=exp(-x)+x*exp(-x)+12求方程的解析解和数值解，并进行比较．解解析解：symsy(x)eqn=(1+x^2)*diff(y,x,2)==2*x*(diff(y,x))Dy=diff(y,x)cond=[y(0)==1,Dy(0)==3]ySol(x)=dsolve(eqn,cond)命令行窗口得到结果：ySol(x)=x*(x^2+3)+1令将方程进行降阶，得到方程组：数值解：先建立M文件fun2.mfunctionf=fun2(x,y)f=[y(2),2*x/(1+x*x)*(y(2))]';%注意是列向量；并且注意降阶法。保存的文件名为fun2.m。clear;close;[x,y]=ode45(@fun2,[0,5],[1,3]);xlabel('x'),ylabel('y')plot(x,y(:,1));%绘制y当中的第一列。holdon;x=0:0.2:5;y=1+x.^3+3.*x;plot(x,y,'r*');legend(‘数值解’,’解析解’)得到图形见下图所示.3设有以下初值问题&y’试求其数值解，并和解析解相比较，解析解为y(t)=t+1解clear;close;[t,y]=ode45(@fun3,[0,1],2);xlabel('x'),ylabel('y')plot(t,y);holdon;t=0:0.1:1;y=sqrt(t+1)+1;%解析解plot(t,y,'r*');legend('数值解','解析解')4分别用ode45和ode15s求解Van-del-Pol方程．解令将方程进行降阶，得到方程组：.先建立函数文件：functionf=fun4(t,x)f=[x(2),1000*(1-x(1)^2)*x(2)+x(1)]';%注意是列向量；并且注意降阶法求解数值解的MATLAB命令如下：clear[t,x]=ode45(@fun4,[020],[0;1]);xlabel('t'),ylabel('x'