高中数学-排列教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.2.1排列

一、教学目标确立依据

（一）课程标准要求及解读

1.课程标准要求

通过实例，理解排列的概念；能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问

题.

2.课程标准解读

课程标准对本节课的要求可分为三个层次，一是通过数学实例，抽象出排列的概念；

二是通过运用分步乘法计数原理，推导出排列数公式；三是能够应用排列的定义和排列数公

式解决简单的实际问题.从第一方面看，“通过实例”，要求给学生提供排列概念的具体例证，

为学生概括排列概念提供背景支持；从第二方面看，要求以具体问题为载体，给出求排列数

的方法，从而建立求一般的排列数公式的经验；从第三方面看，要求给出实际问题，引导学

生利用排列的定义以及排列数公式加以解决.

①通过实例，理解排列的概念

知道A排列的定义----

理解一—>排列问题与非排

判断------>排列的概念重点

n列问题

举出生活中的

表达

排列的例子

②利用计数原理推导排列数公式

（二）教材分析

本节课是排列的第一课时，它在教材中的位置排在基本计数原理之后，在组合之前.其

中排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要应用，而排列数公式又是推导组合

数公式的主要依据，在教材中起着承上启下的作用.

教材通过引例引出了排列、排列数的概念和排列数的公式，又通过例1引出了阶乘的定

义，得到排列数公式的另一种形式，并通过例2让学生感受排列数的第二个公式在解决证明

问题中的应用.例3至例7是实际应用问题,放在第二课时和第三课时讲解.从教材的安排上

可以看出，本节课的重点是排列的定义和排列数公式，难点是排列数公式的推导以及用排列

数公式解决化简和证明问题.

（三）学情分析

在初中，学生已经学过树状图，因此能够熟练通过列树状图的方法数出排列数，而在

前一节中，学生又学习了分步乘法计数原理，具备推导排列数公式的知识和能力，因此这部

分知识学生应该比较轻松接受.而对于排列的定义和阶乘的定义，学生是第一次接触，因此

对于排列概念的理解和相邻两个整数的阶乘的关系的探究要在教师的引导下一--解决.

二、教学目标

1.学生通过对排列概念的剖析，能辨别出排列问题，并能说出两个排列完全相同的条

件；

2.学生能用分步乘法计数原理推导出排列数公式，并能总结特点记住这个公式；

3.学生知道全排列与阶乘的概念，并能用阶乘推导排列数公式的第二种形式；

4.学生能清楚知道排列数的两个公式的作用，并能利用它们解决求值、化简、证明等

问题.

三、评价设计

目标1评价：学生能用两个步骤概括排列的定义，独立说出两个排列完全相同的条件.

独立完成辨析题，并通过小组合作，小组代表能正确举出一个排列问题和一个非排列问题;

目标2评价：学生能在教师的引导下，准确回答引例的变式问题.经过小组讨论后，小

组代表用准确的数学语言表述用分步乘法计数原理推导排列数公式的过程及结论.并能总结

出公式的特点，熟记这个公式；

目标3评价：学生能记住全排列的概念，口答出b5的阶乘，独立思考，总结出相邻

正整数的阶乘之间的关系，以及排列数公式的阶乘表示方法;

目标4评价：师生合作解决例1和例2后，学生独立完成目标检测.

四、教学方法

每个环节的实施采用问题探究的模式，教师提出问题，学生独立思考后进行回答.排列

数公式的推导采取小组合作的方式，学生独立思考后进行小组间的合作交流，然后进行成果

展示.例题的解决先由师生共同合作解决问题，然后学生独立解决目标检测.

五、教学流程设计

（--）情境引入

在《最强大脑第三季》第十三期的中日PK赛中，中国“心算一姐”陈冉冉在同伴失利

的不利条件下，以一敌二，力挽狂澜，用自己擅长的大位数乘法秒杀对手，使中国队立于不

败之地.

如图展示的是正在进行的7位数乘10位数的乘法速算，假如它的设计有如下两个要求:

（1）7位乘数中的每个数字都不为0；

（2）每个乘数中的各个数字不重复.

《最强大脑》题库中有多少这样的乘法算式可供随机选择？

［学生活动设计］学生独立思考，然后举手发言，能够清晰叙述用分步乘法计数原理解

决问题的过程.

［教师活动设计］点评学生的回答，引导学生发现算式的繁琐，从而引出课题.

［时间预设］3分钟.

［设计意图］利用近期热播的节目《最强大脑》中的中日PK赛片段，激发学生的爱国

热情.用其中的7位数乘10位数的乘法运算，顺理成章地引入课题，激起学生的探索欲望,

引发学生的学习兴趣.

（二）概念形成

［引例］从甲、乙、丙三位同学中选出两名，分别担任正、副班长，都有哪些方法？

学生独立解决引例，口答结论，教师点评：除了列举法之外，树状图能够清晰、全面、

简洁地展示所有情况，也是计数的常用方法.

我们把被取的对象叫做元素，取出的元素占据的相应位置称为按一定的顺序排成一列.

那么引例就可以理解为“从3个不同元素中取出2个元素，并按照一定顺序排成一列”.从

而引出排列的定义.

一般地，从〃个不同元素中任取相(机4〃)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃

个不同元素中取出机个元素的一个排列.

选引例中的六种方法之一(如甲为正班长、乙为副班长)进行说明，这就是一个排列.

让学生清楚理解排列就是完成一件事的一种方法.

［问题］你认为两个排列完全相同的条件是什么？

［学生活动设计］学生独立思考，然后举手发言，能够清晰叙述答案.若有不足，其他同

学补充.

［教师活动设计］点评学生的回答，帮助学生理清排列的两个步骤：取、排，并以精准

的语言总结两个排列完全相同的条件：组成排列的元素相同，排列的顺序也相同.

［时间预设］3分钟.

［辨析］请判断下列哪些是排列问题：

(D从甲、乙、丙三位同学中选出两名，分别担任语文课代表和数学课代表；

(2)从甲、乙、丙三位同学中选出两名，担任数学课代表；

(3)从甲、乙、丙、丁四个足球队中任选2个，进行主客场比赛；

(4)从甲、乙、丙、丁四个足球队中任选2个，进行单循环比赛.

［合作探究1］

1.小组合作举出两个例子，其中一个是排列，一个不是排列.

2.这两个例子中的排列问题一共有多少种不同的排列方法？你是如何得到这个数据

的？

［学生活动设计］独立思考，回答辨析题.而后小组合作交流，小组代表准确举出一个

排列的例子和一个非排列的例子，并能用树状图或者分步乘法计数原理准确数出其中排列问

题的排列方法.

［教师活动设计］点评学生对辨析题的回答，引导学生注意每两个问题的区别，弄清排

列问题的实质.选学生对小组代表的结论进行评价，教师最终点评.

［时间预设］7分钟.

［设计意图］对比较抽象的概念抽丝剥茧，通过问题引导学生理解排列的步骤：设置

辨析题检测学生对排列概念的理解，也为小组合作探究中的举例环节起了示范作用.由感知,

到分辨，到举例，层层递进，知识的掌握水到渠成.合作探究中的第2个问题又为后面排列

数定义的给出埋下伏笔.此环节是对教学目标1的落实与检测.

（三）深入探究

我们称从“个不同元素中任取，*（他4"）个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同元

素中取出"，个元素的排列数，用A："表示.

［问题探究1］

1.引例中的排列数怎么表示？值是多少？

2.如果将引例中的3位同学改为50位同学，那么排列数怎么表示？

3.问题2用列举法或树状图来数排列数方便吗？如果不方便,还可以用什么方法计数？

4.如果将引例中的3位同学改为〃位同学，那么排列数怎么表示？值是多少？

5.如果从〃位同学中选出4位同学参加4*100米接力，那么排列数怎么表示？值是多

少？

［学生活动设计］学生独立思考回答，清晰、有条理地作答.

［教师活动设计］教师引导学生思考，点评学生的回答，确定用分步乘法计数原理来计

算排列数的思想.

［时间预设］5分钟.

［合作探究2］小组合作总结出从“个不同元素中取出“个元素的排列数A；的计算公

式.

［学生活动设计］学生经过小组讨论后，小组代表用清晰的语言叙述公式的推导过程,

给出结论：A；=〃（〃一1）（〃一2>-（〃一机+1）这个公式叫做排列数公式.

［教师活动设计］评价学生的结论，给这个公式命名为排列数公式.

［时间预设］3分钟.

［问题探究2］你能找到哪些窍门记忆这个公式？

［学生活动设计］观察排列数公式，总结其结构特点，用清晰的语言表述自己的发现.

［教师活动设计］汇总学生的结论，加以总结.排列数公式的结构特点：〃，个连续正整

数的积；第一个因数最大，是下标〃；第机个(最后一个)因数最小，是下标〃减去上标机

再加上1.

［时间预设］3分钟.

［设计意图］层层递进的问题引导帮助学生循序渐进、由特殊到一般地挖掘排列数公

式的推导方法；通过小组合作探究排列数公式，培养学生合作交流的能力；让学生自己观察

找出排列数公式的结构特点，可以让学生印象更为深刻.此环节是对教学目标2的落实与检

测.

(四)回归情境

你能用更简单的算式来解决情境引入问题吗？

［时间预设］I分钟.

［设计意图］通过回归问题情境，首尾呼应，帮助学生理解排列的概念和排列数公式

的同时，进一步明确主题.

(五)深化理解

［练习］

(1)耳°=;

(2)(〃-1)(〃-2)…(”-18)=；

(3)旅;=(xwN*).

［学生活动设计］独立完成练习，并能清晰叙述自己的思维过程.

［教师活动设计］点评学生的答案，由第(3)小题引出示例.

［示例］将a,0,c3个元素全部取出的全排列的排列数是多少？你能列出所有的这些排

列吗？

［设计意图］帮助学生理解、区分排列的概念与排列数的概念.

［时间预设］6分钟.

提出问题：如果象（3）中上、下标相等，即加=〃，那么排列数公式

A；=〃（〃一1）（〃一2）…5-机+1）会变为什么形状？引出全排列的概念.

一般地，〃个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个不同元素的一个全排列，全排列

的排列数公式为A；=n（n一1）（〃一2）…•3•2•1.

排列数公式勺=限〃-1）5-2）…的右侧为正整数由1到〃的连乘积，叫做〃的

阶乘,用”!表示.

因此〃个不同元素的全排列数公式为4=〃!.

请口答卜5的阶乘.比较4!与5!之间的关系，7!与8!之间的关系，思考〃!与（〃+1）!之

间的关系.

［学生活动设计］记住阶乘的定义，快速口答出答案.

［教师活动设计］给出全排列的定义，以及阶乘的定义，让学生快速口答b5的阶乘.

引导学生比较4!与5!之间的关系，7!与8!之间的关系，得出结论：〃!与（〃+1）!之间的关

系是：必叫=〃+1,（〃+1>〃!=（“+1）!.接着提出下面的问题.

〃！

［时间预设］3分钟.

［思考］排列数公式=〃（〃-1）（〃-2>-（〃-m+1）能否用阶乘符号表示成更为另

一种形式呢？

［学生活动设计］独立思考，清晰叙述变形的详细过程及结论A；=——,并记住

（〃-m）l

这个形式.

［教师活动设计］点评学生的回答，并将学生所得结论补充完善.规定：0!=1.学生记

住后，教师给出几个简单的排列数，如耳,A；,A；等，让学生口答两种形式的计算公式，

加强记忆.

［时间预设］3分钟.

［设计意图］通过小试身手，使学生对排列数公式的理解更加透彻，并通过最后--题中

上、下标的关系的探究引出全排列的定义以及阶乘的定义，思维上顺理成章，不突兀.通过

学生口答1~5的阶乘，训练学生的快速反应能力，并为后面探究相邻正整数的阶乘之间的关

系埋下伏笔.学生独立探究出排列数公式的第二种形式，培养了学生独立思考、解决问题的

能力.口答式的课堂热身既能帮助学生巩固公式，又能培养学生的快速反应能力..此环节是

对教学目标3的落实与检测.

（六）巩固应用

不

例1计算：（1）可；（2）或;（3）苫.

A2

例2求证：A：+mA：i=A；L.

（七）目标检测

1.已知A'；；=10x9x8x7x6x5,则"?=；

2.计算当■+4;

A

3.已知/［4；=89,求”的值.

［学生活动设计］在教师引导下，师生共同解决例1和例2.对比两个例题，总结如何针

对不同题型选择排列数的两个公式进行应用，而后独立完成目标检测.

［教师活动设计］引导学生思考，共同完成例1和例2.并引导学生思考什么样的题型适

合用第一个公式，什么样的题型适合用第二个公式，总结提升：公式一多用于求值，公式二

多用于化简、证明.让学生独立完成目标检测，并对学生的答案进行点评.

［时间预设］7分钟.

［设计意图］培养学生正确选择应用公式的能力.学生先自主探究得出答案后由教师点评,

体现了自己的自主学习和教师的点拨提升相结合的有效课堂教学，有助于学生养成良好的数

学思维.此环节是对教学目标4的落实与检测.

（八）归纳小结

请大家对照学习目标，同桌互查，检验本节课的学习效果.

［时间预设］1分钟.

［设计意图］帮助学生明晰学习目标，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.学生在回

顾问题情境的过程中，感受数学与生活的联系，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理

性思维和科学精神.

（九）课后作业

知识巩固：P14：练习A1~8思维提升：P23：习题Al~6

六、板书设计

§1.2.1排列

1排.列：取、排3.全排列例2求证：

2.排列数公式

：山规定0!=1

A=A：+砒-A，

A'"=n(n-1)(/2-2)•••(«-/??+1)

(〃+1)!、

---------=n+1

n!

m

&A-/

(n-m)\(〃+1)•"!=(〃+1)!

注：导学案和拓展资源见附件1、2

附件1

§1.2.1排列导学案

♦学习目标

1.学生通过对排列概念的剖析，能辨别出排列问题，并能说出两个排列完全相同的条件；

2.学生能用分步乘法计数原理推导出排列数公式，并能总结特点记住这个公式；

3.学生知道全排列与阶乘的概念，并能用阶乘推导排列数公式的第二种形式；

4.学生能清楚知道排列数的两个公式的作用，并能利用它们解决求值、化简、证明等问题.

♦学习建议

1.抓住排列的定义特点区分“排列问题”与“非排列问题”；

2.区分“排列”与“排列数”两个概念；

3.对排列数公式抓住特点，准确记忆.

(-)情境引入

在《最强大脑第三季》第十三期的中日PK赛中，中国“心算一姐”陈冉冉在同伴失利

的不利条件下，以一敌二，力挽狂澜，用自己擅长的大位数乘法秒杀对手，使中国队立于不

败之地.

如图展示的是正在进行的7位数乘10位数的乘法速算，假如它的设计有如下两个要求:

(3)7位乘数中的每个数字都不为0；

(4)每个乘数中的各个数字不重复.

《最强大脑》题库中有多少这样的乘法算式可供随机选择？

(-)概念形成

［引例］从甲、乙、丙三位同学中选出两名，分别担任正、副班长，都有哪些方法？

我们把被取的对象叫做元素，取出的元素占据的相应位置称为按一定的顺序排成一列.

则引例中的问题可以如何表述？

排列的定义:一般地，从"个不同中任取个，按照

排成一列，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一个.

［问题］你认为两个排列完全相同的条件是什么？

［辨析］请判断下列哪些是排列问题：

(1)从甲、乙、丙三位同学中选出两名，分别担任语文课代表和数学课代表；

(2)从甲、乙、丙三位同学中选出两名，担任数学课代表；

(3)从甲、乙、丙、丁四个足球队中任选2个，进行主客场比赛；

(4)从甲、乙、丙、丁四个足球队中任选2个，进行单循环比赛.

［合作探究1］

1.小组合作举出两个例子，其中一个是排列，一个不是排列.

2.这两个例子中的排列问题一共有多少种不同的排列方法？你是如何得到这个数据

的？

(三)深入探究

排列数的定义：我们称从〃个不同元素中任取机［m<n)个元素的所有,

叫做从及个不同元素中取出m个元素的,用表示.

［问题探究1］

1.引例中的排列数怎么表示？值是多少？

2.如果将引例中的3位同学改为50位同学，那么排列数怎么表示？

3.问题2用列举法或树状图来数排列数方便吗？如果不用树状图，还可以用什么方法

计数？

4.如果将引例中的3位同学改为及位同学，那么排列数怎么表示？值是多少？

5.如果从〃位同学中选出4位同学参加4*100米接力，那么排列数怎么表示？值是多

少？

［合作探究2］小组合作总结出从”个不同元素中取出m个元素的排列数4"的计算公

式.

排列数公式：4"=_______________________________

［问题探究2］你能找到哪些窍门记忆这个公式？

排列数公式的结构特点：_______________________________________________________

(四)回归情境

你能用更简单的算式来解决情境引入问题吗？

(五)深化理解

［小试身手］

(1)4°=;

(2)(«-1)(«—2)•••(/?-18)=；

(3)展：=.(xeN*).

［思考］将。，①c、3个元素全部取出的全排列的排列数是多少？你能列出所有的这些排

歹ij吗？

［思考］如果上、下标相等，即机=〃，那么排列数公式

A："=〃(〃-1)(〃-2＞一(〃一机+1)会变为什么形状？

全排列的定义：一般地，”个不同元素的一个排列，叫做〃个不同元素的

一个,全排列的排列数公式为.

阶乘的定义：全排列的排列数公式等号右侧为正整数由1到n的连乘积，叫做

，用.表示.

因此，〃个不同元素的全排列数公式为当=〃!.

［思考］排列数公式2）…（〃-相+1）能否用阶乘符号表示成另一种

形式呢？

排列数公式2：A：=

（六）巩固应用

例1计算：（1）6；（2）耳；（3）苫•.

A2

例2求证：A：+mA：T=A；］.

（七）目标检测

1.已知At=10x9x8*7x6x5,则"2=

2.计算。■+4；

A

3.已知4=89,求〃的值.

（八）归纳小结

请大家对照学习目标，同桌互查，检验本节课的学习效果.

（九）课后作业

知识巩固：P14：练习Al~8思维提升：P23：习题Al~6

评价性练习：课后导学

♦课后导学

1.下列各式中与排列数相等的是（）

n।

(A)---------------(B)〃(八一1)(，?-2)…(C)------——(D)

(〃一加+1)!n-m+\

2.若"GN且，?<20,则(27—a)(28—〃)…(34—〃)等于()

(A)心”(B)（C）⑴）蜀一“

3.若S=4+A；+&+……+4黑，则S的个位数字是（）

(A)0(B)3(C)5(D)8

4.%且40,则（50-左）（51-6（52-朴..（79-9用排列数符号表示为（）

（A）碌1（B）用乙(C)&匕(D)端*

5.计算(1)A^Q________；(2)A：=；⑶A；+4；=

6.已知A：=6A；5，则〃=.

7.己知A；；=H）x9x・・・x5,那么"？=

8.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定

每股岔道只能停放1列火车）

9.从卜9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数有..个.

10.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有.种

不同的种植方法.

、」但2A；+7A；

11.计算一!——卢

A8_A5

八8〜

12.解方程：（1）UM=140A：；（2）3父=44，

13.解不等式：禺＞6圈々

14.计算下列各题：

⑴1!+2・2!+3・3!+……+〃•〃！；

附件2

《排列》拓展资源

一、排列组合问题的起源

排列组合问题，最早见于我国的《易经》一书.所谓“四象”就是每次取两个爻的排列，

“八卦”是每次取三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》（公元2世纪）中，也曾

记载有与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个人

围一张圆桌而坐，间有多少种不同坐法”这一典型的排列问题类似.11世纪时，邵雍还进一

步研究了六十四卦的排列问题.

唐朝僧人一行曾经研究过围棋布局的总数问题.古代的棋盘共有17路，289个点，后

来发展到19路361个点.一行曾计算过一切可能摆出的棋局总数.后来，17世纪，北宋时

期沈括在《梦溪笔谈》中，进一步讨论了围棋布局总数问题.他利用一些排列、组合的办法

对一行的计算作了分析.沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局总数达到100°°"的数量

级.

以计数问题为主要内容的排列与组合,属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用

的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由

于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中

一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面

概率中的二项分布有着密切联系.

二、排列组合问题的常用策略

1.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,123,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解：由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有G

然后排首位共有C：

最后排其它位置共有

由分步计数原理得=288.

2.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再

与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有

其用8=480种不同的排法.

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合

并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.

3.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的

出场顺序有多少种？

解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A；种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的

6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺

序共有种.

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.

4.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？

解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行

排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:

4/用

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置

甲乙丙共有」_种坐法，则共有种方法.

思考:可以先让甲乙丙就坐吗？

（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方

法.

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理.

5.重排问题求惠策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有工种分法.把第二名实习生分配到车

间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法.

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排

各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种.

6.环排问题线排策略

例68人围桌而坐，共有多少种坐法？

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此

位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）!种排法即7!

一般地，n个不同元素作圆形排列，共有（〃」）!种排法.如果从n个不同元素中取出m个

元素作圆形排列共有2Ar

n

7.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？

解:8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有A；种,

再排后4个位置上的特殊元素丙有A：种,其余的5人在5个位置上任意排列有种，则

共有4种

前排后排

一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究.

8.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球,共有多少不同的装

法？

解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素（包含一个复

合元素）装入4个不同的盒内有A：种方法，根据分步计数原理装球的方法共有.

解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似

吗？

9.小集团问题先整体后局部策略

例9.用123,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,

这样的五位数有多少个？

解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有界中排法,

由分步计数原理共有A；A；A；种排法.

10.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.

在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种

插板方法对应一种分法共有C：种分法.

将n个相同的元素分成m份(〃，m为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-\块隔板，

插入〃个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为C：；：.

11.正难则反总体淘汰策略

例11.从0』23,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同

的取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶

数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有戏，只含有1个偶数的取法有,和为

偶数的取法共有+再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

-9.

有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的

反面，再从整体中淘汰.

12.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解：分三步取书得种方法，但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为A8CZJER

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有用种取法，而这些分法

仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有/前种分法.

平均分成的组，不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要一定要除以(〃为

均分的组数)避免重复计数.

13.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人

唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法？

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行研

究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人

员种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有点《种，由分类计数原理共有

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分

步，做到标准明确.分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.

14.构造模型策略

例14.马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉

相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种.

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，

装盒模型等，可使问题直观解决.

15.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号123,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒

子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？

解：从5个球中取出2个与盒子对号有点种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操

作法，如果剩下3,4,5号球，3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，

同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2《种.

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状

图会收到意想不到的结果.

16.分解与合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除？

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2x3x5x7x11x13,依题意可知偶因

数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：

C；+C；+C；+C；+C；.

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个

小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,

从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略.

17.化归策略

例17.25人排成5x5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选

法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3x3方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一

列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，

如此继续下去.从3x3方队中选3人的方法有C\C\C\种.再从5x5方阵选出3x3方阵便可解

决问题.从5x5方队中选取3行3列有选法所以从5x5方阵选不在同一行也不在同一

列的3人有选法.

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要

的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题.

18.数字排序问题查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解：N=2{+2A：+A；+A；+A：=297

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个

数,根据分类计数原理求出其总数.

19.树图策略

例19.3人相互传球，由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的

手中，则不同的传球方式有

解：N=1O

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用.

20.复杂分类问题表格策略

例20.有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5

只，要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

红111223

黄123121

321211

取法C©

一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表

格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，能达到好的效果.

21.住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复，另一类不能重复,

把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数

有.

解：因同一学生可以同时夺得〃项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，

五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得种.

《排列》学情分析

一、知识基础

在上一节课中，学生已经学习了计数原理，因此可以利用分步乘法计数原理解决情境问

题.只是算式太复杂，由此点明本节课的主题一一探究更简洁的计数方法及表示，激发学生

的求知精神和探索欲望.

在初中，学生已经学过列举法和树状图，因此能够熟练通过列举法或者列树状图的方法

数出排列数，所以对于本节课的引例，能够轻松完成.在引入课题的同时，也给学生带来成

功的体验，使课堂更具吸引力.而学生有分步乘法计数原理的基础，因此在推导排列数公式

的环节中，学生已经具备分析解决问题的知识和能力，因此这部分知识学生接受起来应该比

较轻松.

对于排列的定义和阶乘的定义，学生是第一次接触，因此对于排列概念的理解和相邻两

个整数的阶乘的关系的探究要在教师的引导下一一解决.

1.对排列概念的深入理解

设计4个辨析题一一让学生从给出的四个问题中找出排列问题：

通过同一情境下的排列问题与非排列问题的对比，帮助学生对比分析，弄清排列问题与

非排列问题的区别.让学生更加深刻地感受排列的实质：先选后排.

2.阶乘关系的探究

让学生口答卜5的阶乘，引导学生思考4!与5!之间的关系，让学生发现相邻正整数的

阶乘之间的关系，从具体到一般总结规律，由此推导出加与(〃+1)!之间的关系.在熟练阶

乘运算的同时;为排列数的阶乘形式的推导打下基础.

二、生活经验准备

数学来源于生活.用生活中的实例引入课题，可以让学生代入感更强，效果更好.

1.情境引入环节

由学生感兴趣的综艺节目《最强大脑》引入课题.设计“心算一姐”陈冉冉用大位数乘

法秒杀对手的情境，激发学生的爱国热情，激起学生的探索欲望，引发学生的学习兴趣.让

学生思考问题”如果按照下面的两个原则设计7位数与10位数的乘法公式，《最强大脑》题

库中有多少这样的乘法算式可供随机选择？

(5)7位乘数中的每个数字都不为0：

(6)每个乘数中的各个数字不重复.”

于是顺理成章地引出本节课的课题，自然不突兀.

2.概念形成环节

在排列概念的理解环节，可以从生活实际入手，设计如下四个辨析题：

(1)从甲、乙、丙三位同学中选出两名，分别担任语文课代表和数学课代表；

(2)从甲、乙、丙三位同学中选出两名，担任数学课代表；

(3)从甲、乙、丙、丁四个足球队中任选2个，进行主客场比赛；

(4)从甲、乙、丙、丁四个足球队中任选2个，进行单循环比赛.

用贴近学生生活的选课代表的实例和男生普遍关注的足球比赛的实例，容易引起学生的

兴趣.这四个问题两两一组，对比鲜明，能够较好地帮助学生对比分析，弄清排列问题与非

排列问题的区别.

通过这四个辨析题做示范,让学生心里有了排列的模型，再让学生合作举出排列的例子.

从感知到认识，再到掌握(能自己设计情境举出排列和非排列的例子)，层层递进.在模仿中

改进，在改进中提升，这样设计符合学生的认知规律与思维习惯.

三、难度分析

不同层次的学生对本节的知识掌握程度是不同的.如果没有考虑到学生的知识水平差距,

没有设置适当的问题启发引导，大约只能有三分之一的学生能掌握；但是通过由易到难、层

层递进的问题引导，绝大部分学生都能掌握好本节的知识.当然，仍然很少一部分同学因为

水平较差，在课堂上很难掌握全部内容，这就要求教师可以在课前为这部分同学布置恰当的

复习和预习任务.

高二学生具有i般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但是创新思维能力较弱.在以往

的教学中，我发现大部分学生在学习过程中，重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程.

事实上，排列数公式的推导过程才是本节课的重点.

在排列数公式的推导过程中，教材的设计没有铺垫，理论性太强，学生不易接受，这也

是本节课的一个难点.

为了突破这个难点，在对排列数公式的探究环节，我设计了如下五个问题：

1.引例中的排列数怎么表示？值是多少？

2.如果将引例中的3位同学改为50位同学，那么排列数怎么表示？

3.问题2用列举法或树状图来数排列数方便吗？如果不用树状图，还可以用什么方法

计数？

4.如果将引例中的3位同学改为n位同学，那么排列数怎么表示？值是多少？

5.如果从n位同学中选出4位同学参加4*100米接力，那么排列数怎么表示？值是多

少？

由引例中较小的耳，到稍大的小）,再到抽象的A；及a：,层层递进，思路流畅，

降低了难度.学生在轻松回答问题的同时，也一次次地经历用分步乘法计数原理解决排列问

题的过程，熟练这个过程之后，学生合作推导排列数的第一个公式时，自然就会顺理成章、

轻松自如了.

四、课前准备

首先，复习巩固上节课计数原理的知识，为本节课做好准备.

其次，按照老师的要求组成方便课堂讨论、合作探究的4-6人学习小组，并选派一名

组长.在合作探究环节，以学习小组为单位进行，养成主动探究、交流合作的好习惯.

最后，对照导学案预习本节知识，把不理解的问题标记下来，带着问题听课，以提高

听课效果.

《排列》效果分析

一、学习效果评测工具

(1)评价量规；

(2)学生座谈，小组成员相互评价.

二、学习效果评测汇总

(1)情境引入环节：以热门节目《最强大脑》中“心算一姐”陈冉冉秒杀对手的7位

数乘10位数的大位数乘法运算设置问题情境,激发学生的爱国热情，激起学生的探索欲望，

引发学生的学习兴趣.

事实证明，学生能够用分步乘法计数原理解决这个问题，只不过算式比较复杂，因此

迫切想探求一个简单的表示形式，由此引入课题，自然流畅.

(2)概念形成环节：学生通过积极思考，通过同一情境下的排列问题与非排列问题的

对比，轻松完成辨析问题.先给出辨析题做示范，让学生心里有了排列的模型，再让学生合

作举出排列的例子.从感知到认识，再到掌握(能自己设计情境举出排列和非排列的例子),

层层递进.在模仿中改进，在改进中提升，这样设计符合学生的认知规律与思维习惯.

事实证明，学生的创造力是可以被培养的.学生能够举出“从1,2,3,4四个数字中，

选出两个数字分别作点的横、纵坐标”和“从1,2,3,4四个数字中，选出两个数字作为

一个集合中的元素”这样的例子，让我刮目相看，效果比我想象中要好.

(3)深入探究环节：通过设计的层次分明的5个问题，由引例中较小的,到稍大

的后，再到抽象的耳及,层层递进，思路流畅，降低了难度.

事实证明，学生在轻松回答问题的同时，也一次次地经历用分步乘法计数原理解决排列

问题的过程，熟练这个过程之后，学生合作推导排列数的第一个公式就非常流畅，效果不错.

(4)深化理解环节：通过碇；(xeN*)这个问题，不仅可以帮助学生巩固排列数

上、下标的关系，而且也给出了上、下标相等的特例，顺理成章地提出的表示形式，给

出全排列的概念.

事实证明，学生在教师的提示下，能够根据排列数上、下标的关系，从而求出统；

(xeN*)中x的值，得到最终的形式A；,得到答案6.

(5)巩固应用环节：从正确率的角度来看，基本所有同学都能够正确计算排列数，但

是有的同学由于对公式不太熟练，速度有点儿慢.对于证明题，教师引导学生思考，熟练排

列数的第二个公式的应用，在排列的学习之初，不要求学生独立解决.

(6)目标检测环节：大部分学生能独立完成题目，但是有同学对于第三个问题选择排

列数的第一个公式，导致书写繁杂，其它题目完成的很好.

三、学习效果评测分析

由于本节课的教学内容是排列的第一课时，新授的知识理解起来会有一点难度，所以我

在这节课的教学中，采取以学生为主体，问题探究及小组合作学习的教学模式.回顾整节课

的教学过程，从学生课堂参与教学的积极表现，回答问题和提出问题的深度，评价检测的成

绩，以及对后续章节学习带来的效益看，学生对知识的掌握是相当不错的.

通过本节课的教学实践，最大的收获是学生学习状态的改变一一动静相宜，热闹不流于

形式，而在思维的碰撞.以前总是把课堂的着眼点放在如何讲好一堂课，课堂的设计花费在

老师如何把知识点讲明白，这次确实是遵循以学生为主体，小组合作学习的教学理念，把上

课的着眼点放在如何引导学生获取知识、探究知识和应用知识上，所以这节课的教学设计，

都是教师设置问题，以学生自主探索，合作交流为主，让学生经历数学知识的形成过程，加

深对数学知识的理解，从而突破重难点.由于学生学习水平参差不齐，教学过程我们时刻关

注学生的活动情况，对于生成过程中的突发事件，因势利导，随机应变，对各层次的学生把

握好评价的时机和尺度，力求达到全体学生共同体验学习乐趣的目的，力求课堂效果达到最

佳状态.

另外多媒体也是取得成效的有力助手.从情境引入的《最强大脑》视频，上课伊始就定

下了本节课的基调一一节奏快，勤动脑.投影仪展示学生的习题完成情况能够使教师更加准

确地把握学生的学习状态，使课堂教学更有实效.

经历了本节课的教学，学生在数学课堂上的精神面貌有了质的变化，课下和学生交流了

解到，大部分同学为了课堂上小组合作学习时有精彩的表现，代表小组陈述的结果能得到师

生高度的评价，课前自觉复习、预习.所以我觉得可以以本节课的教学为依托，在后续的学

习过程中推广开来，也为后续课堂教学带来正能量.

课堂学习效果评价量规见附件.

附件课堂学习效果评价量规

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合作交流1我能清晰理解排我能基本理解排我对排列的定义我不太理解排列

列的定义，并能列的定义，并能尝似是而非，不能独的定义，不能独立

轻松举出排列问试举出排列问题立举出排列问题举出排列问题和

题和非排列问和非排列问题（不和非排列问题，但非排列问题，同伴

题，所举例子会一定完全正确）.能在同伴的启发的启发对我的思

对同伴有启发.下举出例子.维也没有帮助.

合作交流2我能够准确利用我能够模仿前面我能猜想出排列我不会利用分步

分步乘法计数原的例题尝试用分数公式的形式，但乘法计数原理推

理推导排列数公步乘法计数原理需要在同伴的启导排列数公式.

式，并能清晰表推导排列数公式，发下才明白原理.