教案：高中数学人教B版 必修 第一册 集合及其表示方法

第一章集合与常用逻辑用语

1.1.1集合及其表示方法

第2课时

教学目标

1.掌握用列举法和描述法表示集合；

2.能够用区间表示集合.

3.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，

提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提

升学生的数学抽象素养.对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运

算素养.

教学重难点

教学重点：集合的表示、区间.

教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合.

教学过程

【新课导入】

前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示

集合.

设计意图：承上启下，自然过渡到本节课的内容.

【探究新知】

知识点1列举法

问题1：（1）由两个元素0,1组成的集合如何用符号语言表示？

（2）24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合如何用符号语言表示？

（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合如何用符号语言表示？

师生活动：阅读教科书第5页，给出列举法的定义：把集合中的元素一一列举出来（相

邻元素之间用逗号要隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.根据

列举法的定义，学生回答，教师分析指导.

预设的答案：（1）｛0,1｝；（2）｛1,2,3,4,6,8,12,24｝；（3）｛《红楼梦》，《三

国演义》，《水浒传》，《西游记》｝.

设计意图：从学生熟悉的具体实例出发，说明可用列举法表示一类集合.

追问1：用列举法表示集合时，要考虑元素的顺序吗？（一般不考虑元素的顺序）

追问2：如何用列举法表示:“不大于100的自然数组成的集合”?（｛0,1,2,3,...,

100））

教师点评：口，2｝与｛2,1｝表示同一个集合.但是，如果一个集合的元素较多，且能

够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作

为代表，其他元素用省略号表示.例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为｛0,

1,2,3,...,100｝.

追问3：是不是只有有限集才可以用列举法表示呢？（不是）

教师点评:无限集有时也可用列举法表示.例如，自然数集N可表示为｛0,1,2,3,,

n,...｝.

追问4：｛a｝与a相同吗？（不同）

教师点评：｛目是只含一个元素的集合，这一个元素是a,要将｛a｝与它的元素a加以

区别，事实上，ae｛a｝.

知识点2描述法

问题2：以下集合用列举法表示方便吗？如果不万便，你觉得可以怎样表示？

(1)满足x>3的所有数组成的集合外

(2)所有有理数组成的集合。.

师生活动：与学生一起探讨：显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合N

中的元素x都具有性质“x是大于3的数”，而不属于集合N的元素都不具有这个性质，

因此可以把集合A表示为U|x是大于3的数｝或k1x>3),

即A=U|x是大于3的数｝或A=k|x>3｝.类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两

个整数的商”，而不属于0的元素都不具有这个性质，因此可以把。表示为®｛x|x是两

个整数的商｝或。=｛x|x=一,neZ,meZ,n0).

一n

教师总结：上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边

是只有这个集合中的元素才满足的性质.

一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元

素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合/的一个特征性质.此时，集合/可以用

它的特征性质p(x)表示为｛x10(x)｝.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，

简称为描述法.

设计意图：以问题为切入口，通过解决问题来引入新知，有助于培养学生的学习兴趣，

提高分析问题解决问题的能力.

追问1：集合｛x>3｝与｛x|x〉3｝是相同的集合吗？(不是)

教师点评：根据集合的表示方法，集合｛x>3｝与｛x|x〉3｝是有区别的：前者表示的

是由不等式x>3组成的集合，其只包含一个元素，它是有限集；后者是满足不等式X〉

3的所有数组成的集合，包含无穷多个元素，它是无限集.

【做一做】试用描述法表示下列集合：

（1）所有平行四边形组成的集合（｛x1x是一组对边平行且相等的四边形｝）

（2）所有能被3整除的整数组成的集合（｛X1A=3〃，77EZ｝）

（3）所有被3除余1的自然数组成的集合（｛x1尸3加1,77EN｝）

【想一想】集合｛X©N1A=3加1,77EZ）是不是表示“所有被3除余1的自然数组成的

集合”？

教师点评：集合｛x）（x）｝中所有在另一个集合/中的元素组成的集合，可以表示为

1/p（x）｝.

知识点3区间及其表示

阅读教科书第7、8页：区间及其表示

师生活动：学生阅读后总结用区间表示集合：如果a〈6,则集合可简写为

［a,b\,并称为闭区间；集合｛x1a〈x〈6｝可简写为（a,b）,并称为开区间；集合｛x|a

可简写为［a,b）,集合｛x|a〈xW6｝可简写为（a,b\,并都称为半开半闭区间.

【想一想】我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，那么区间可以用数轴形象地

表示吗？

师生活动：学生探讨，教师总结：区间中，a,8分别称为区间的左、右端点，从a称

为区间的长度.区间可以用数轴形象地表示.例如，区间［-2,1）可用下图表示，注意图

中一2处的点是实心点，而1处的点是空心点.在用数轴表示区间时，实心点代表取得

到，空心点代表取不到.

-3-2-1O123x

【做一做】如果用“+8”表示“正无穷大”，用“一8”表示“负无穷大”，则:

实数集R可表示为区间；

集合k|xNa｝可表示为区间；

集合｛x|x>a｝可表示为区间；集合｛x|xWa｝可表示为区间；

集合｛x|x〈a｝可表示为区间；将区间［7,+8)用数轴表示为

预设的答案：(-8,+8)+8)(&+8)(—8,司(—8,己)

♦，一

7x

【巩固练习】

例1用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集.

(1)方程x(x—l)=0的所有解组成的集合A；

(2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.

(3)由直线尸-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.

(4)不等式3x+4Nx的解集.

师生活动：学生完成，教师点评，并思考选用哪种表示方法合适.

预设的答案：(1)因为。和1是方程x(x-1)=0的解，而且这个方程只有两个解，所

A={0,1).

(2)因为集合6的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此

B={(x,y)|x>0,y>0}.

(3)用描述法表示该集合为沪{(x,y)|尸-x+4,x©N,4},或用列举法表示该集合

为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.有限集.

(4)由3x+4>x得2x>-4,所以x>-2,所以不等式3x+4>为的解集是［-2,+8).无

限集.

设计意图：锻炼学生分析问题、解决问题的能力.在这里可以引导学生总结和归纳集

合的两种不同的表示方法的优缺点。事实上，列举法表示的集合，其所包含的元素大多

都是能直接看出来的；描述法虽然更加简洁，但是判断一个对象是否是个集合的元素，

有时候并不容易。

例2用区间表示不等式的所有解组成的集合4

2

师生活动：学生完成，教师点评.

预设的答案：由2x-L>x可知,所以力=d,+oo).

222

设计意图：本题是为了让学生熟悉区间的记号而设置的.教学过程中可以让学生画出

对应解集的数轴表示，这样可以让学生巩固区间与数轴的关系。另外，本例的讲解也是

为后续不等式解集的呈现做好铺垫.

【课堂小结】

1.板书设计：

LL1集合及其表示方法(2)

「列举法

(1)集合的表示方法(2)区间及其表示

描述法

例1例2

如果a〈儿则

隹入

果口区间名称

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

隹A

果口区间数轴

{x\x>a}

{x\x>a}

{x\x<b}

{x\x<b]

练习：教科书第9页练习A3,4,5题.

作业：

1.（2020•章丘区校级模拟）用列举法可表示集合A={xeZ|-3<2x-l<3},则人=

2.教科书第9页