2025版三维设计 一轮 高中总复习物理（通版）第四章 曲线运动

2025版三维设计一轮高中总复习物理（通用版）第四章曲线运动第19课时曲线运动运动的合成与分解[双基落实课]如图为一男子标枪选手的“冠军一投”的运动简化图：投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力，结合上述情境，判断下列说法的正误：（1）出手后标枪做匀变速曲线运动。（）（2）标枪的运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。（）（3）两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。（）（4）合运动的速度一定比分运动的速度大。（）（5）分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。（）

考点一曲线运动的理解[素养自修类]1.【曲线运动的条件及特点】关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（）A.所受合外力可以为零B.所受合外力一定为恒力C.所受合外力一定为变力D.所受合外力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上2.【轨迹、速度方向与力的方向的关系】（2023·全国乙卷15题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（）1.曲线运动的轨迹与合外力方向、速度方向间的关系（1）运动轨迹夹在合外力与速度的方向之间。（2）合外力一定指向运动轨迹的凹侧。2.曲线运动中速率变化的判断考点二运动的合成与分解[互动共研类]1.合运动和分运动的关系等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等独立性各分运动独立进行，不受其他分运动的影响等效性各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果2.合运动的性质判断（1）加速度（或合外力）变化：变加速运动（2）加速度（或合外力）与速度方向共线：直线运动3.两个直线运动的合运动两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，匀变速直线运动如果v合与a合不共线，匀变速曲线运动【典例1】（多选）如图甲所示，一无人机正在配送快递。无人机在0～5s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向。下列说法正确的是（）A.0～2s内，无人机做匀加速曲线运动B.2～4s内，无人机做匀减速直线运动C.t＝4s时，无人机运动到最高点D.0～5s内，无人机的位移大小为9m听课记录1.【合运动与分运动的关系】跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是（）A.风力越大，运动员下落时间越长B.运动员下落时间与风力无关C.风力越大，运动员落地时的竖直速度越大D.运动员落地速度与风力无关2.【合运动的性质的判断】（多选）2023年春季，和平区五大道的海棠花竞相绽放，绵延上千米的美景，吸引无数游人纷至沓来，成为春日津城最红打卡地。电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器将某台无人机上升向前拍摄的飞行过程转化为竖直向上的速度vy及水平方向速度vx与飞行时间t的关系图像，如图甲、乙所示。图乙中t2～t3段图像平行于t轴，则下列说法正确的是（）A.无人机在t1时刻处于超重状态 B.无人机在0～t2这段时间内沿直线飞行C.无人机在t2时刻上升至最高点 D.无人机在t2～t3时间内做匀变速运动考点三小船渡河问题[互动共研类]1.小船渡河运动的合成与分解2.小船渡河的两类问题、三种情境最短时间问题最短位移问题渡河情境渡河条件v船⊥v水v合⊥v水（v船＞v水）v合⊥v船（v水＞v船）渡河结果最短时间tmin＝d最短位移为河宽d最短位移为v水【典例2】某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练。如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15m、NO＝12m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10m/s。现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是（）A.第一个过程快艇的出发点位于M点左侧8m处B.第一个过程所用的时间约为1.17sC.第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸D.第二个过程所用的时间为2s听课记录1.【水流速度小于船在静水中速度的问题】（多选）在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为5m/s，下列说法正确的是（）A.冲锋舟在静水中的速度大小为10m/sB.河的宽度为4003mC.冲锋舟在静水中的速度大小为103D.河的宽度为6003m2.【水流速度大于船在静水中速度的问题】一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，流速为5m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是（）A.小船渡河时间不少于60sB.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150mC.小船以最短位移渡河时，位移大小为250mD.小船以最短位移渡河时，时间为60s考点四关联速度模型[方法模型类]1.常见模型2.解题思路【典例3】如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时（）A.木块a的速度大小为v B.木块a的速度大小为vC.细线的拉力大于mgsinα D.细线的拉力小于mgsinα听课记录1.【绳端速度分解】（多选）如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人的速度为v，人的拉力为F（不计滑轮与绳之间的摩擦），则以下说法正确的是（）A.船的速度为vcosθ B.船的速度为C.船的加速度为F－fm 2.【杆端速度分解】如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为（）A.sinθ B.cosθC.tanθ D.1温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P349～350第20课时抛体运动[双基落实课]人教版教材必修第二册P14“问题”中排球运动员沿水平方向击球，不计空气阻力。判断下列说法正误：（1）排球在任意相等时间内速度变化量相同。（）（2）在同一高度处击球，排球的初速度越大，水平位移越大。（）（3）排球的速度方向在时刻变化，加速度方向也时刻变化。（）（4）排球的落地时间与初速度大小无关。（）（5）如果击球的位置非常高，排球落地时的速度可以竖直向下。（）考点一平抛运动的规律[互动共研类]1.飞行时间由t＝2hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v2.水平射程x＝v0t＝v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定3.落地速度v＝vx2＋vy2＝v02＋2gh，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tanθ＝4.速度和位移的变化规律（1）速度的变化规律相等时间ΔT内的速度变化量相等，即Δv＝Δvy＝gΔT，方向竖直向下。（2）位移的变化规律①相等时间ΔT内的水平位移相等，即Δx＝v0ΔT。②连续相等时间ΔT内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔT2。5.两个重要推论（1）平抛运动任意时刻的速度偏角θ与位移偏角α满足：tanθ＝2tanα（正切2倍）。推导：tanθ＝v（2）平抛运动任意时刻的速度反向延长线通过对应水平位移的中点（反延过中）。推导：tanθ＝yAx【典例1】（2022·全国甲卷24题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。尝试解题1.【平抛运动规律的应用】以速度v0水平抛出一小球后，不计空气阻力，某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等。下列判断正确的是（）A.此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小B.此时小球速度的方向与位移的方向相同C.此时小球速度的方向与水平方向成45°角D.从抛出到此时，小球运动的时间为22.【多体平抛问题】（2024·九省联考贵州）无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀速直线运动，飞行过程中先后释放甲、乙两个小球，两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上，不计空气阻力，比较两小球分别从释放到落在斜坡上的过程，下列说法正确的是（）A.乙球的位移大B.乙球下落的时间长C.乙球落在斜坡上的速度大D.乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大考点二斜抛运动[互动共研类]1.斜抛运动的条件及性质（1）条件①只受重力。②初速度方向斜向上或斜向下。（2）性质：匀变速曲线运动。2.几种抛体运动的比较（1）共同点：物体均只受重力作用，加速度均为重力加速度g，且保持不变。（2）不同点：竖直方向上的抛体运动为匀变速直线运动，平抛、斜抛为匀变速曲线运动。（3）研究方法：对平抛、斜抛运动，通过分解将其转化为直线运动，根据分运动遵循的规律列方程，要注意区分合运动与分运动。【典例2】如图所示为自由式滑雪大跳台，将选手视为质点。图（a）是选手从3m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图（b）是选手在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线。已知t＝1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A.选手冲出跳台的速度大小为14m/sB.t＝1.4s时，选手到达最高点，离跳台底部所在水平面的高度为12.8mC.t＝1.0s和t＝1.8s时，选手的速度相同D.选手落到跳台底部所在水平面的速度大小可能为16m/s听课记录1.【逆向思维法处理斜上抛运动】某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程（）A.两次在空中运动的时间相等B.两次抛出时的速度大小相等C.第1次抛出时速度的水平分量小D.第2次抛出时速度的竖直分量大2.【平抛运动与斜上抛运动的比较】（2023·湖南高考2题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（）A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B.谷粒2在最高点的速度小于v1C.两谷粒从O到P的运动时间相等D.两谷粒从O到P的平均速度相等考点三类平抛运动[互动共研类]1.受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。2.运动特点沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝F合3.求解方法（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。【典例3】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：（重力加速度为g）（1）物块由P运动到Q所用的时间t；（2）物块由P点水平射入时的初速度v0的大小；（3）物块离开Q点时速度的大小v。尝试解题据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机（视为质点）通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为（）A.xt B.C.x2＋y2温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P351～352第21课时平抛运动的综合问题[重难突破课]题型一与斜面相关联的平抛运动模型方法分解速度，构建速度矢量三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系分解速度，构建速度的矢量三角形分解位移，构建位移矢量三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角基本规律水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝v方向：tanθ＝v水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝v方向：tanθ＝v水平：x＝v0t竖直：y＝12gt合位移：s＝x方向：tanθ＝y【典例1】如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是（）A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tanθ∶1D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1听课记录1.【顺着斜面的平抛运动】如图，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（）2.【对着斜面的平抛运动】如图所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则t1t2为A.21 B.C.32 D.题型二与曲面相关联的平抛运动运动情景物理量分析tanθ＝vyvx＝gtv在半圆内的平抛运动，R＋R2－h2＝v0t小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等【典例2】（多选）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度v1水平抛出，小球落到C点，运动时间为t1，第二次从A点以速度v2水平抛出，小球落到D点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（）A.v1＜v2B.t1＜t2C.小球落到D点时，速度方向可能垂直于圆弧D.小球落到C点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°听课记录如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（）A.v02tanαC.v02gtan题型三平抛运动中的临界极值问题1.常见的“临界术语”（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。

2.平抛运动临界、极值问题的分析方法（1）确定研究对象的运动性质；（2）根据题意确定临界状态；（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。【典例3】如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（）A.h'的最大值为2h B.h'的最小值为2hC.v0'的最大值为156v0 D.v0'的最小值为156听课记录1.【平抛运动的临界问题】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，竖直墙的厚度d＝0.4m，某人在距离墙壁L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是（）A.2m/s B.4m/sC.8m/s D.10m/s2.【平抛运动的极值问题】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（）A.0 B.0.1mC.0.2m D.0.3m温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P353～354第22课时圆周运动[双基落实课]现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示。当“魔盘”转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当盘的速度逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越明显，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上而不会滑下。判断下列说法的正误：（1）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其角速度是不变的。（）（2）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。（）（3）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。（）（4）随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，人离“魔盘”中心越远，人运动得越快。（）（5）“魔盘”的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，这是人受沿半径向外的离心力作用的缘故。（）

考点一圆周运动的运动学问题[素养自修类]1.【皮带传动问题】（多选）如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，玻璃盘以100r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8cm，从动轮的半径约为2cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是（）A.P、Q的线速度相同 B.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反C.P点的线速度大小约为1.6m/s D.摇把的转速约为400r/min2.【齿轮传动问题】如图甲所示，修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的，其原理可简化为如图乙所示的模型。A、B是大、小齿轮边缘上的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮半径的2倍，小轮中心到A点和大轮中心到C点的距离之比为2∶1，则A、B、C三点（）A.线速度大小之比为4∶4∶1 B.角速度之比为1∶1∶1C.转速之比为2∶2∶1 D.向心加速度大小之比为2∶1∶13.【同轴转动问题】如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则（）A.M点的速度方向垂直于液压杆 B.N点的角速度为2ωC.两点的线速度大小关系为vN＝4vM D.N点的向心加速度大小为2ω2L1.匀速圆周运动各物理量间的关系2.常见的三类传动方式及特点（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等，图甲中vA＝vC≠vB，图乙中vA＝vB≠vP＝vQ。（2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。（3）同轴转动：如图戊、己、庚所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。考点二圆周运动的动力学问题[多维探究类]1.圆周运动向心力的理解（1）向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供，可以是某个力或某个力的分力，也可以是几个力的合力，在受力分析中要避免再添加一个向心力。（2）匀速圆周运动的合外力恰好全部提供向心力，即F向＝F合。（3）变速圆周运动的合外力与向心力的关系变速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心（特例如竖直面内水流星最高点和最低点的合外力方向指向圆心），可以分解为如图所示的两个分力。（4）切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。（5）法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。2.解答圆周运动的动力学问题的基本思路【典例】（多选）杭州游乐园有一种叫作“快乐飞机”的游乐项目，模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（）A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直C.旋臂对模型飞机的作用力大小为mgD.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力增大听课记录1.【车辆转弯问题】（多选）列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α（α很小，可近似认为tanα≈sinα），重力加速度为g，下列说法正确的是（）A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用B.列车过转弯处的速度v＝gRhd时，C.列车过转弯处的速度v＜gRhd时，D.若增大α角，可提高列车安全过转弯处的速度2.【离心运动问题】在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，玻璃管处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会（球直径比管直径略小）（）A.向管底运动 B.向管口运动C.保持不动 D.无法判断3.【圆锥摆运动】四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长）。下列说法错误的是（）A.小球A、B角速度相等B.小球A、B线速度大小相同C.小球C、D向心加速度大小相同D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P355～356第23课时圆周运动的临界极值问题[重难突破课]题型一水平面内圆周运动的临界极值问题常见情境（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。（2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。（3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零解题思路（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。（3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解【典例1】如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（）A.2ω22＝3ω12 B.C.2ω22＝5ω12 D.听课记录1.【发生相对滑动时的临界问题】（多选）2022年2月7日，在首都体育馆举行的北京2022年冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，我国选手任子威夺得冠军。如图1所示为短道速滑比赛场地的示意图（由直道和半圆形轨道构成），比赛场地周长约为111.12m，其中直道长度为28.85m，弯道内径为8m。如图2所示为运动员转弯瞬间的一幕。假设该比赛场地的冰面水平，运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员的质量为50kg，运动员可看作质点，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（）A.运动员由直道进入弯道前要减速B.图2中的运动员在转弯时，冰面的支持力和重力的合力提供其做圆周运动所需的向心力C.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为22m/sD.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2m/s2.【物体间恰好分离的临界问题】（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则（）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力C.当ω0＝522rad/s时D.当ω＝25rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用3.【绳的弹力恰好有无的临界问题】如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10m/s2）（）A.2rad/s B.2.5rad/sC.3.5rad/s D.4rad/s

题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题1.两类模型轻“绳”模型轻“杆”模型情境图示弹力特征弹力只能向下或为0弹力可能向下，可能向上，也可能为0力学方程mg＋FT＝mvmg±FN＝mv临界特征FT＝0，即mg＝mv2r，得vv＝0，即FN＝0，此时FN＝mg2.解题思路考向1轻“绳”模型问题【典例2】如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C.人在最低点时对座位的压力等于mgD.人在最低点时对座位的压力大于mg听课记录考向2轻“杆”模型【典例3】如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g＝10m/s2）（）A.2m/s B.4m/sC.6m/s D.8m/s听课记录题型三斜面上圆周运动的临界极值问题1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。2.解题关键——重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。【典例4】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为32（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是（A.5rad/s B.3rad/sC.1.0rad/s D.0.5rad/s听课记录如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（）A.4m/s B.210m/sC.25m/s D.22m/s温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P357～358第24课时探究平抛运动的特点[实验增分课]装置原理操作要领数据处理误差分析（1）使小球做平抛运动，利用描迹法描绘小球的运动轨迹。（2）建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，由公式x＝v0t和y＝12gt2，可得v0＝x（1）安装、调整木板：用重垂线检查木板是否竖直。（2）安装、调整斜槽：用平衡法检查斜槽末端是否水平。（3）描绘运动轨迹：用平滑的曲线连接得到小球做平抛运动的轨迹。（4）确定坐标原点及坐标轴（1）若原点O为抛出点：利用v0＝xg2y（2）若原点O不是抛出点：在曲线上取A、B、C三点，使xAB＝xBC＝x，则相邻两点时间间隔T内竖直方向ΔyB＝gT2，水平方向v0T＝x，解得v0＝xg（1）斜槽末端没有调节成水平状态，导致平抛运动初速度未沿水平方向。（2）坐标原点不够精确。（3）空气阻力的存在，使小球的径迹不是真正的平抛运动轨迹【典例1】用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。（1）下列实验条件必须满足的有。A.斜槽轨道光滑B.斜槽轨道末段水平C.挡板高度等间距变化D.每次从斜槽上相同的位置由静止释放钢球（2）为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的（选填“最上端”“最下端”或“球心”）对应白纸上的位置即为原点。（3）如图2所示是甲同学在某次实验中取得的数据，其中坐标原点为抛出点，g取10m/s2，则此小球作平抛运动的初速度大小为m/s。（4）乙同学想用下述方法探究平抛运动的特点。他从实验得到的平抛小球的运动轨迹上取出一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，描绘y-x2图像。该同学认为若图像是一条过原点的直线（如图3所示），则可说明平抛运动在水平方向为匀速直线运动、竖直方向为自由落体运动，请你分析论证该同学的判断是否正确：。难点助攻第（1）问中斜槽末端切线水平，保证小球做平抛运动；每次从斜槽上相同的位置由静止释放钢球，保证小球每次做平抛运动的初速度相同。第（2）问中在运动过程中记录小球的位置是与小球球心等效的白纸上的痕迹点，因此小球平抛运动的起点应为钢球在斜槽末端时，球心对应白纸上的位置，而不是槽的末端。第（3）问中，若坐标原点为平抛运动起点，可用x＝v0t，y＝12gt2得v0＝xg2y。若坐标原点不是平抛运动起点，则可用Δh＝hBC－hAB＝gt2，v0＝xt，易错排查（1）斜槽轨道光滑与否，只是影响同位置释放时，小球平抛运动的初速度大小，但不影响钢球平抛运动规律的研究过程。如第（1）问的A选项。（2）y-x2图像为过原点的直线时，只能说明小球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，不一定为自由落体运动。听课记录（2021·全国乙卷22题）某同学利用图（a）所示装置研究平抛运动的规律。实验时该同学使用频闪仪和照相机对做平抛运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，某次拍摄后得到的照片如图（b）所示（图中未包括小球刚离开轨道的影像）。图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个方格的边长为5cm。该同学在实验中测得的小球影像的高度差已经在图（b）中标出。完成下列填空：（结果均保留2位有效数字）（1）小球运动到图（b）中位置A时，其速度的水平分量大小为m/s，竖直分量大小为m/s；（2）根据图（b）中数据可得，当地重力加速度的大小为m/s2。【典例2】小明学完平抛运动后，尝试利用平抛运动的知识测量家里的弹射器射出弹丸的速度。小明准备了白纸、米尺、复写纸、支架等材料。实验时，先将白纸和复写纸固定在墙上，并用支架将弹射器固定好，装置如图甲所示。接着压缩弹射器朝墙壁发射弹丸，弹丸通过碰撞复写纸，在白纸上留下落点位置。随后将弹射器沿垂直于墙面方向远离墙壁移动，每次移动的距离为0.2m。通过几次重复实验，挑了一张有4个连续落点痕迹的白纸，如图乙所示。已知重力加速度g＝10m/s2。（1）下列实验步骤必要的是。A.在安装时，必须确保弹射器水平放置B.为了减小实验误差，应选用体积小、密度大的弹丸C.每次必须将弹簧压缩至相同位置释放弹丸D.第一次实验时，需要测量弹射器开口到墙壁的距离（2）根据测量的数据，可知弹丸离开弹射器的速度大小为m/s，弹丸打到C点时的速度大小为m/s。（所有计算结果均保留两位有效数字）3步稳解题①实验目的是什么？测量弹射器射出弹丸的速度。②实验原理是什么？竖直方向做自由落体运动，可用Δy＝gT2求出T，再根据水平方向做匀速直线运动，由v0＝xT求出初速度v0③怎样处理数据？弹丸打C点时的速度vC＝v02＋vCy2，而听课记录1.某同学设计如图所示的实验装置验证向心力公式和平抛运动水平分运动为匀速运动。将四分之一圆弧固定在桌面上，圆弧底下安装一个压力传感器，光电门固定在底端正上方。实验步骤如下：①让小球静止在圆弧底端，静止时，传感器示数为F0；②让小球从圆弧某一位置静止释放，记录通过光电门的时间t，压力传感器示数F和落点与圆弧底端的水平位移x；③改变释放位置，重复（2）的步骤。请回答以下问题：（1）为完成实验，关于该实验装置及相关测量，下列说法正确的是；A.圆弧要保持光滑B.小球要选择体积小、密度大的C.要测量小球到地面的竖直高度D.要测量小球的质量（2）用游标卡尺测量小球直径d，如图所示，则小球直径为mm；（3）以（填“F”或“F－F0”）为纵轴，1t2为横轴作图像，若图像，（4）作x-y图像，若图像成正比，则说明平抛运动水平方向为匀速直线运动，其中y应该为填“t（5）甲、乙两位同学以不同的桌面高度进行实验，分别得到如图所示的a、b两图线，其中甲同学实验时的桌面高度比乙同学的（填“高”或“低”）。2.某物理小组利用如图甲所示的实验装置探究平抛运动规律。在斜槽轨道的末端安装一个光电门，调节激光束与实验所用小钢球的球心等高，斜槽末端切线水平，又分别在该装置正上方A处和右侧正前方B处安装频闪摄像头进行拍摄，钢球从斜槽上的固定位置无初速度释放，通过光电门后抛出，测得钢球通过光电门的平均时间为2.10ms，得到的频闪照片如图丙所示，O为抛出点，P为运动轨迹上某点，g取10m/s2。（1）用50分度游标卡尺测得钢球直径如图乙所示，则钢球直径d＝mm，由此可知钢球通过光电门的速度v＝m/s（此空结果保留两位有效数字）。（2）在图丙中，B处摄像头所拍摄的频闪照片为[选填“（a）”或“（b）”]。（3）测得图丙（a）中OP距离为59.10cm，（b）中OP距离为45.00cm，则钢球平抛的初速度大小v0＝m/s（结果保留两位小数）。（4）通过比较钢球通过光电门的速度v与由平抛运动规律解得的平抛初速度v0的关系，从而验证平抛运动的规律。温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P359～360第25课时探究向心力大小的表达式[实验增分课]装置原理操作要领数据记录与处理注意事项1.手柄2.3.变速塔轮4.长槽5.短槽6.横臂7.弹簧测力套筒8.标尺利用控制变量法，探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系（1）把两个质量相同的小物体放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小物体的角速度不一样。探究向心力的大小与角速度的关系。（2）保持两个小物体质量不变，增大长槽上小物体的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小物体的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。（3）换成质量不同的物体，分别使两物体的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小物体的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。（4）重复几次以上实验1.数据记录（1）m、r一定序号123Fnωω2（2）m、ω一定序号123Fnr（3）r、ω一定序号123Fnm2.数据处理分别作出Fn-ω2、Fn-r、Fn-m的图像（1）使用向心力演示器时应将横臂紧固螺钉旋紧，以防小物体和其他部件飞出而造成事故。（2）摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数。达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数【典例1】探究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置如图所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度，做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。（1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是。A.在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验B.在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验C.在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验D.在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验（2）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为。难点助攻（1）探究向心力大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的数量关系时应采用控制变量法进行研究。（2）熟悉实验装置，知道ω、r的调节方法，知道可从标尺上端露出的等分格读出两个小球所受向心力的大小之比。听课记录在探究小球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验中。（1）本实验采用的实验方法是。A.累积法 B.控制变量法C.微元法 D.放大法（2）甲同学在进行如图甲所示的实验，他是在研究向心力的大小Fn与的关系。可以得到的正确结果是。（3）乙同学把两小球都换为钢球，且质量相等，如图乙所示，实验中观察到标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4。由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮相对应的半径之比为。

【典例2】某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度和质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。（1）用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。（2）将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据如表所示：12345F/N0.1240.1430.1620.1810.200v2/（m2·s－2）2.04.05.88.010.1请在下面的坐标图中，画出F-v2的关系图像。（3）由图像可知，钢球的重力为N。（4）若图像的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为（用所给物理量的符号表示）。（5）某同学通过进一步学习知道了向心力的公式，发现实验中使用公式mv2r求得钢球经过A点的向心力比测量得到的向心力大，你认为产生误差的主要原因是3步稳解题①实验目的是什么？探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度和质量的关系。②实验原理是什么？根据F－mg＝mv2l，整理得出F＝mg＋mlv2，结合F-③怎样处理数据？利用光电门可以测量钢球过最低点的速度大小，利用力传感器测量细线拉力，利用牛顿第二定律写出F与v2的关系式，F-v2图线与F轴交点的纵坐标表示钢球的重力大小。听课记录1.某同学计划用如图所示（俯视图）的装置验证物体质量不变情况下向心力与角速度的关系，实验步骤如下：a.测量重物的质量，记为m，将重物和弹簧穿在较光滑的水平横杆上后，弹簧一端连接重物，另一端固定在竖直转轴上，测量重物静止时到竖直转轴的距离，记为r；b.竖直转轴在电机驱动下带动水平横杆一起转动，当重物运动状态稳定时，记下重物到竖直转轴的距离R和横杆转动50圈所需的时间t；c.改变竖直转轴的角速度，测得多组数据。请回答下列问题：（1）重物做圆周运动的周期T＝，重物做圆周运动所需的向心力Fn＝（用测得的物理量符号表示）。（2）弹簧的劲度系数为k，当作出的1R-选填“t2”“t”“1t”或“12.某实验小组用如图甲所示装置探究向心力大小与线速度大小和运动半径的关系。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，水平直杆的左侧固定宽度为d的挡光条，挡光条到竖直转轴的距离为2r，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，滑块到转轴的距离为r，细线处于水平伸直状态，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。安装在铁架台上的光电门可测遮光条通过光电门的时间。（1）用游标卡尺测量遮光条的宽度如图乙所示，宽度d＝cm；（2）当滑块随水平直杆一起匀速转动时，光电门显示遮光条通过光电门的时间为Δt，则此时滑块线速度大小v＝（用字母d、Δt表示）；若保持滑块到竖直转轴的距离不变，让转轴以不同的角速度匀速转动，测得多组力传感器的示数F和对应的挡光时间Δt。为了画出线性图像，应作力F与选填“Δ温馨提示：请完成《课时跟踪检测》P361～362高考对生活中抛体运动的考查【真题1】（多选）（2022·河北高考10题）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h