2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版九 函数性质的综合应用含答案

11版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版九函数性质的综合应用含答案九函数性质的综合应用(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上 ()A.单调递增 B.单调递减C.先递增后递减 D.先递减后递增【解析】选A.f(x)=x2+(12)x,由y=x2与y=(12)x在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以偶函数f(x2.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,若f(-2)=1,则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是 ()A.[-1,1]B.[-2,2]C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)【解析】选A.根据奇函数的性质,得f(x)在R上单调递减,且f(2)=-1;由|f(2x)|≤1,得-1≤f(2x)≤1,即f(2)≤f(2x)≤f(-2),所以-2≤2x≤2,解得-1≤x≤1.3.(5分)(2023·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)=f(x-1),则f(2021)+f(2022)= ()A.1 B.0 C.-2021 D.-1【解析】选B.由题知f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(2021)+f(2022)=f(1)+f(0).因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(-1)=-f(1),且f(-1)=f(1),所以f(1)=0,所以f(2021)+f(2022)=0.4.(5分)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b等于 ()A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选C.因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)+f(2-x)=0,又f(2-x)=(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=-x3+(a+6)x2-(4a+13)x+10+4a+b,所以f(x)+f(2-x)=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,所以2a+6=0,4a+12=05.(5分)定义在R上的奇函数f(x),其图象关于点(-2,0)对称,且f(x)在[0,2)上单调递增,则 ()A.f(11)<f(12)<f(21)B.f(21)<f(12)<f(11)C.f(11)<f(21)<f(12)D.f(21)<f(11)<f(12)【解析】选A.函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,所以f(x-4)=-f(-x),又f(x)为定义在R上的奇函数,所以-f(-x)=f(x),所以f(x-4)=f(x),即函数f(x)的周期是4,则f(11)=f(-1),f(12)=f(0),f(21)=f(1),因为f(x)为奇函数,且在[0,2)上单调递增,则f(x)在(-2,2)上单调递增,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(11)<f(12)<f(21).6.(5分)(多选题)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(x-2),则下列说法正确的是 ()A.y=f(x)的图象关于直线x=32B.y=f(x)的图象关于点(32C.y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点D.若y=f(x)在[0,1]上单调递增,则它在[2021,2022]上也单调递增【解析】选BCD.因为f(x+1)=f(x-2)且y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x+3)=f(x),故函数f(x)是周期为3的周期函数,且f(x+3)=f(x)=-f(-x),所以f(3+x)+f(-x)=0,故函数y=f(x)的图象关于点(32由题意可知,f(6)=f(3)=f(0)=0,因为f(x)=f(x+3)=-f(-x),令x=-32,可得f(-32)=f(即f(32)=-f(3所以f(32)=0,从而f(92)=f(故函数y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点,C正确;因为f(2021)=f(3×674-1)=f(-1),f(2022)=f(3×674)=f(0),且函数f(x)在[0,1]上单调递增,则函数f(x)在[-1,0]上也单调递增,故函数f(x)在[2021,2022]上也单调递增,D正确.7.(5分)(2023·南昌模拟)已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,则满足不等式f(2a)<f(4a-1)的a的取值范围是________.(用区间表示)

【解析】因为f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以-1≤2a≤1,-1≤4a-1≤1,|2a|<|4a-1|,所以0≤a<16答案:[0,168.(5分)(2023·松江模拟)已知函数y=f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=-x,则f(2023)+f(2023【解析】因为f(x)+f(2-x)=0,y=f(x)为R上的奇函数,所以f(2+x)=-f(-x)=f(x),所以f(x)为周期为2的周期函数.因为当-1<x<0时,f(x)=-x,则f(20232)=f(1012-12)=f令x=-1,得,f(1)=f(-1),又因为f(x)为奇函数,则f(1)=-f(-1),所以f(-1)=-f(-1),则2f(-1)=0,则f(-1)=0,所以f(2023)=f(2×1012-1)=f(-1)=0,所以f(2023)+f(20232答案:29.(10分)已知g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,且满足g(x)-h(x)=2x,若存在x∈[-1,1],使得不等式m·g(x)+h(x)≤0有解,求实数m的最大值.【解析】因为g(x)-h(x)=2x,①所以g(-x)-h(-x)=2-x.又g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,所以g(x)+h(x)=2-x,②联立①②,得g(x)=2x+2-x2,由m·g(x)+h(x)≤0,得m≤2x-2-x因为y=1-24x+1为增函数,所以当x∈[-1,1]时,(1-24x+1)max=1-24+1=35,所以【能力提升练】10.(5分)(2023·焦作模拟)已知函数f(x)=lg(2x+1+a)是奇函数,则使得0<f(x)<1的x的取值范围是 (A.(-∞,-911) B.(0,9C.(-911,0) D.(-911,0)∪(【解析】选C.令f(0)=lg(2+a)=0,得a=-1,所以f(x)=lg(2x+1-1)=lgf(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f因为y=1-x1+所以f(x)在(-1,1)上单调递减.又f(0)=0,f(-911)=1,所以使得0<f(x)<1的x的取值范围是(-91111.(5分)(多选题)(2023·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)=|x|+|x|12-cosx,则下列说法正确的是 (A.f(x)是偶函数B.f(x)在(0,+∞)上单调递减C.f(x)是周期函数D.f(x)≥-1恒成立【解析】选AD.对于A,f(x)的定义域为R,f(-x)=|-x|+|-x|12-cos(-x)=|x|+|x|12-cosx=f(对于B,C,当x>0时,f(x)=x+x-cosx,f'(x)=1+x2x+sin则f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B错误,C错误;对于D,因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,又f(0)=0+0-cos0=-1,所以f(x)的最小值为-1,故D正确.12.(5分)(2023·杭州调研)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,恒有f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,且a=f(32),b=f(0.5-3),c=f(0.76),则a,b,【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且恒有f(x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x),所以f(x)的最小正周期为2.又a=f(32)=f(-12)=f(12),b=f(0.5-3)=f(8)=f(0),0.76=0.493<0.53<0.5,则0<0.76因为f(x)=2x所以b<c<a.答案:b<c<a13.(5分)(2023·兰州模拟)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax3+bx.若f(3)+f(4)=6,则f(20232【解析】因为f(x+1)为奇函数,则f(x+1)=-f(-x+1),令x=0,则f(1)=-f(1),故f(1)=0,则a+b=0.令x=-1,则f(0)=-f(2)=-8a-2b.又因为f(x+2)为偶函数,则f(x+2)=f(-x+2),令x=1,则f(3)=f(1)=0,令x=2,则f(4)=f(0),因为f(3)+f(4)=6,即f(0)+f(3)=f(0)=6,所以-8a-2b=6,联立-8a-所以当x∈[1,2]时,f(x)=-x3+x.又因为f(x+2)=f(-x+2)=f(-(x-1)+1)=-f((x-1)+1)=-f(x),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的函数,故f(20232)=f(253×4-12)=f(-12)=-f(32)=-[-3答案:1514.(10分)(2023·西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>0),使得对任意x∈R,f(x+T)=Af(x)都成立,则称函数f(x)具有性质P.(1)判断函数y=x和y=cosx是否具有性质P.(结论不要求证明)(2)若函数f(x)具有性质P,且其对应的T=π,A=2.当x∈(0,π]时,f(x)=sinx,求函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值.【解析】(1)因为函数y=x是增函数,所以函数y=x不具有性质P.当A=1,T=2π时,函数y=cosx对于任意x∈R,f(x+T)=Af(x)都成立,所以y=cosx具有性质P.(2)设x∈(-π,0],则x+π∈(0,π],由题意得f(x+π)=2f(x)=sin(x+π),所以f(x)=-12sinx,x∈(-π,0]由f(-π+π)=2f(-π),f(0+π)=2f(0),得f(-π)=14f所以当x∈[-π,0]时,f(x)=-12sinx所以当x=-π2时,f(x)在[-π,0]上有最大值115.(10分)对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]是该函数的“优美区间”.(1)求证:[0,2]是函数f(x)=12x2(2)求证:函数g(x)=4+6x(3)已知函数y=h(x)=(a2+a)x-1a2x(a∈R,a≠0)有“优美区间”[【解析】(1)f(x)=12x2在区间[0,2]上单调递增,又f(0)=0,f所以f(x)=12x2的值域为[0,2],所以[0,2]是f(x)=12x2(2)设[m,n]是已知函数g(x)的定义域的子集.由x≠0,可得[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),所以函数g(x)=4+6x在[m,n]上单调递减假设[m,n]是已知函数的“优美区间”,则4+两式相减得,6m-6n=n-m,则6(n-因为n>m,所以mn=6,所以n=6m则4+6m=6所以函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”(3)由题知[m,n]是已知函数定义域的子集.由x≠0,则[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),而函数y=h(x)=(a2+a)x-1a2若[m,n]是已知函数的“优美区间”,则h所以m,n是方程a+1a-1a2x=x,即a2x2-(a2+a)x+1=0的两个同号且不相等的实数根,所以m因为mn=1a所以m,n同号,只需Δ=(a2+a)2-4a2=a2(a+3)(a-1)>0,解得a>1或a<-3,因为n-m=(n+m)2所以当a=3时,n-m取得最大值23【素养创新练】16.(5分)已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,偶函数f(x)满足f(x+2)=A.sgn(f(x))>0B.f(4041C.sgn(f(2k))=0(k∈Z)D.sgn(f(k))=|sgn(k)|(k∈Z)【解析】选C.根据题意得函数f(x)是周期为2的函数,作出函数f(x)的大致图象,如图所示.数形结合易知f(x)∈[0,1],则sgn(f(x))=0或sgn(f(x))=1,故A错误;f(40412)=f(20201f(2k)=0(k∈Z),则sgn(f(2k))=0(k∈Z),故C正确;sgn(k)=1,k>00,所以|sgn(k)|=1,k≠00,所以sgn(f(k))≠|sgn(k)|(k∈Z),故D错误.六函数的概念及其表示(时间:45分钟分值:105分)【基础落实练】1.(5分)(2024·三明模拟)已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤4},则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数的是 ()A.f:x→y=x+1 B.f:x→y=exC.f:x→y=x2 D.f:x→y=|x|【解析】选B.对于A,当x=-1时,由f:x→y=x+1得y=0,但0∉B,故A错误;对于B,因为从A={x|-2<x≤1}中任取一个元素,通过f:x→y=ex在B={x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应,故B正确;对于C,当x=0时,由f:x→y=x2得y=0,但0∉B,故C错误;对于D,当x=0时,由f:x→y=|x|得y=0,但0∉B,故D错误.2.(5分)下列函数f(x),g(x)表示相同函数的是 ()A.f(x)=3x,g(x)=log3xB.f(x)=|x|,g(x)=xC.f(x)=x,g(x)=xD.f(x)=2lgx,g(x)=lg(2x)【解析】选B.对于A,f(x),g(x)一个为指数函数、一个为对数函数,对应法则不同,因此不是相同函数;对于B,g(x)=x2=|x|=f(x对于C,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},因此不是相同函数;对于D,g(x)=lg(2x)=lg2+lgx与函数f(x)=2lgx对应法则不同,因此不是相同函数.3.(5分)函数f(x)=lnxx-1的定义域为A.(0,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞)C.[0,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.由题意得x解得x>0且x≠1,所以函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).4.(5分)已知f(2x+1)=lgx,则f(x)的解析式为 (A.f(x)=lg2x+1(B.f(x)=lg2x-1C.f(x)=lg12x-D.f(x)=lg12x+1【解析】选B.由题知x>0,令2x+1=t(t则x=2t-1,所以f(t)=lg2所以f(x)=lg2x-1(5.(5分)(2023·山东省部分学校联考)已知函数f(x)=2x+1,x<1,fA.2 B.9 C.65 D.513【解析】选A.f(9)=f(9-3)=f(6)=f(3)=f(0)=20+1=2.6.(5分)(2023·无锡模拟)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lgx)的定义域为 ()A.[-1,1] B.[1,2]C.[10,100] D.[0,lg2]【解析】选C.因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lgx)是同一个对应法则,所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lgx)的定义域为[10,100].7.(5分)(多选题)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)=log3(x-A.f(5)=1 B.f(f(5))=1C.f(3)=9 D.f(f(3))=log37【解析】选AB.对于A,f(5)=log3(5-2)=log33=1,A正确;对于B,f(f(5))=f(1)=30=1,B正确;对于C,f(3)=log3(3-2)=log31=0,C错误;对于D,f(f(3))=f(0)=3-1=13,D错误8.(5分)已知f(x)=x-1,则f(x)=________.

【解析】令t=x,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).答案:x2-1(x≥0)9.(5分)已知函数f(x)=cosx,x<0,f(【解析】由已知得f(11π3)=f(8π3)=f(=f(2π3)=f(-π3)=cos(-π3答案:110.(10分)已知函数f(x)的解析式为f(x)=3(1)求f(32),f(1π),(2)画出这个函数的图象;(3)求f(x)的最大值.【解析】(1)因为32>1,所以f(32)=-2×3因为0<1π<1,所以f(1π)=1π因为-1<0,所以f(-1)=-3+5=2.(2)这个函数的图象如图.在函数f(x)=3x+5的图象上截取x≤0的部分,在函数f(x)=x+5的图象上截取0<x≤1的部分,在函数f(x)=-2x+8的图象上截取x>1的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.(3)由函数图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值6.【能力提升练】11.(5分)(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+2f(x)=x2+1,则f(1)等于 ()A.-1 B.1 C.-13 D.【解析】选B.因为定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+2f(x)=x2+1,所以当x=0时,f(1)+2f(0)=1,①当x=1时,f(0)+2f(1)=2,②②×2-①,得3f(1)=3,解得f(1)=1.12.(5分)如图,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点,当P沿A-B-C-M运动时,设点P经过的路程为x,△APM的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致是 ()【解析】选A.由题意可得y=f(x)=12x13.(5分)(多选题)设f(x)=ex-e-x2,g(x)=A.[g(x)]2-[f(x)]2=1B.[g(x)]2+[f(x)]2=g(2x)C.g(2x)=2f(x)g(x)D.f(2x)=2f(x)g(x)【解析】选ABD.因为[g(x)]2-[f(x)]2=(g(x)+f(x))·(g(x)-f(x))=ex·e-x=1,所以A正确;因为[g(x)]2+[f(x)]2=e2x+e-2x因为2f(x)g(x)=e2x-e-2x因为f(2x)=e2x-e-2x2,2f(x14.(5分)(2023·绍兴模拟)设函数f(x)=(13)

x-8,x≤0,lgx,x【解析】因为函数f(x)=(所以f(1)=lg1=0,f(f(1))=f(0)=(13)0-8=-7f(a)>1⇔a>0,解得a>10或a<-2,所以若f(a)>1,则实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(10,+∞).答案:-7(-∞,-2)∪(10,+∞)15.(10分)已知函数f(x)=x2(1)求f(2)与f(12),f(3)与f(1(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f(1x(3)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2023)+f(1【解析】(1)因为f(x)=x21+x所以f(2)=1-122+1f(12)=1-114f(3)=1-132+1f(13)=1-119(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f(1x)=1.f(x)+f(1x)=x21+x2+1x(3)由(2)知f(x)+f(1x所以f(2)+f(12)=1,f(3)+f(1f(4)+f(14)=1,…,f(2023)+f(1所以f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2023)+f(116.(10分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)