2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版七十二 离散型随机变量及其分布列、均值与方差含答案

11版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版七十二离散型随机变量及其分布列、均值与方差七十二离散型随机变量及其分布列、均值与方差(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为 ()A.25 B.10 C.7 D.6【解析】选C.X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)= ()ξ1234P1a11A.712 B.12 C.512 【解析】选A.因为112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=143.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为 ()A.4,8 B.2,8 C.2,16 D.2+b,16【解析】选B.由题意可知E(Y)=2E(X)+b=4+b4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)= ()A.715 B.815 C.1415 【解析】选C.由题意知X可取0,1,2,X服从超几何分布,则P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,于是P(X5.(5分)(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目,能否猜对每件商品的名称相互独立,该听众猜对三件商品D,E,F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示:商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元100200300规则如下:只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品,你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大 ()A.FDE B.FED C.DEF D.EDF【解析】选C.按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2+400×0.3×0.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138(元);按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5+500×0.3×0.5×0.2+600×0.3×0.5×0.8=132(元);按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=196(元);按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=176(元),综上所述,按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.6.(5分)(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列选项正确的是 ()A.答对0道题和答对3道题的概率相同,都为1B.答对1道题的概率为3C.答对2道题的概率为5D.合格的概率为1【解析】选CD.设此人答对题目的个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=C53C50C103=112,则答对0道题和答对3道题的概率相同,都为112,故A错误;答对17.(5分)设X是一个离散型随机变量,其分布列为X-101P11-qq-q2则q=________.

【解析】由离散型随机变量分布列的性质得12+1-q+q答案:2【加练备选】若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为________.

X0123P1a1b【解析】由分布列的性质可知a+b=12,而a2+b2≥(a+b)22=18(当且仅当a=b=14时,等号成立),答案:18.(5分)某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为34,乙、丙科目合格的概率均为23,且3个科目是否合格相互独立.设小张3个科目中合格的科目数为X,则P(X=2)=________,E(X【解析】P(X=2)=(1-34)×23×23+34×(1-23)×23+34P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-23P(X=1)=34×(1-23)×(1-23)+(1-34)×23×(1-23)+(1-34)×(1-23)×23=736,P(所以E(X)=0×136+1×736+2×49+3×1答案:499.(10分)(2023·南京模拟)设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个.(1)若甲从中一次性摸出2个球,求两个球颜色不相同的概率;(2)若乙从中一次性摸出3个球,设3个球中的红球个数为X,求随机变量X的概率分布列及数学期望.【解析】(1)记“甲从中一次性摸出2个球,两个球颜色不相同”为事件A,甲从中一次性摸出2个球共有C72=21种等可能的情况,两个球颜色不相同的有C31C41+C42=12+6=18种,(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C43C73=435,P(P(X=2)=C41C32C73=1235所以随机变量X的概率分布列为X0123P418121E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×1【能力提升练】10.(5分)(多选题)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n个白球,每次从中摸一个球,摸后再放回口袋中,摸到红球记2分,摸到白球记1分,共摸球3次.设所得分数为随机变量ξ,若Pξ=3=27343,则随机变量ξ的取值可能为 (A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选BCD.由题意得摸到红球的概率是p1=4n+4,白球的概率是p2=nn+4,而ξ=3即得3分,表示这3次摸的都是白球且Pξ=3=27343,所以nn+43=2734311.(5分)已知集合A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,若a与b的和记为随机变量X,P(X=i)=pi>0(i∈N*),X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则 ()A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=7C.E(X)=3D.D(X)=2【解析】选B.因为A=B={1,2,3},所以X的所有可能取值为2,3,4,5,6,P(X=2)=13×13=19,P(X=3)=13×13+13×13=29,P(X=4)=13×13+13×13+13×13=39=13,P(X=5)=13×1所以p4=3p2,A错误;P(3≤X≤5)=29+13+29=7E(X)=2×19+3×29+4×13+5×29+6×D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×1912.(5分)(多选题)已知随机变量ξ的分布列如表:ξ012Pb-aba则当a在(0,12)内增大时 (A.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.D(ξ)先增大再减小D.D(ξ)先减小再增大【解析】选AC.由随机变量ξ的分布列得0≤解得b=0.5,0≤a≤0.5,所以E(ξ)=0.5+2a,0≤a≤0.5.故a在(0,12)内增大时,E(ξ)增大D(ξ)=(-2a-0.5)2(0.5-a)+(0.5-2a)2×0.5+(1.5-2a)2a=-4a2+2a+14=-4(a-14)2+所以当a∈(0,14)时,D(ξ)增大当a∈(14,12)时,D(ξ)故当a在(0,12)内增大时,D(ξ)先增大再减小13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=________,E(ξ【解析】由题意可得,P(ξ=2)=C42C4+m+n2=12(4+m+n)(3+m+n)=16,化简,得(m+n)2+7(m+n)-60=0,解得m+n=5(负值舍去),取出的两个球一红一黄的概率P=C41Cm1C4+m+n2=4m36=13,解得m=3,故n=2.所以m-n=1,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,且P(ξ答案:1814.(10分)(2023·沧衡八校联考)某商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价8元,售价12元,如果两天内无法售出,则食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响,为了解市场的需求情况,现统计该食品在本地区100天的销售量如表(视样本频率为概率):销售量/份15161718天数20304010(1)根据该食品100天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为X,求X的分布列与数学期望;(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据,该商店一次性购进32或33份,哪一种得到的利润更大?【解析】(1)根据题意可得,X的所有可能取值为30,31,32,33,34,35,36.则P(X=30)=15×15=P(X=31)=15×310×2=P(X=32)=15×25×2+310×3P(X=33)=15×110×2+310×2P(X=34)=310×110×2+25×2P(X=35)=25×110×2=P(X=36)=110×110=X的分布列如表:X30313233343536P13171121E(X)=30×125+31×325+32×14+33×725+34×1150+35×225(2)当购进32份时,利润为32×4×(14+725+1150+225+1=107.52+13.92+4.16=125.6(元).当购进33份时,利润为33×4×(725+1150+225+1100)+(32×4-8)×(30×4-24)×125=77.88+30+12.96+3.84=124.68(元).125.6>124.68,因此,当购进32份时,利润更大15.(10分)某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如表,表中部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取1名同学,该名同学的专业为数学的概率为25,现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)项目中文英语数学体育男n1m1女1111(1)求m,n的值;(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;(3)设X为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数,求随机变量X的分布列、数学期望及方差.【解析】(1)因为该名同学的专业为数学的概率为25,所以1+m10=25因为m+n+6=10,所以n=1.(2)设事件A为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”,则P(A)=C31C(3)由题意可知,这10名学生中是女生或专业为数学的人数为7,X所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C33C103=1120,P(P(X=2)=C72C31C103=2140故X的分布列为:X0123P17217故E(X)=0×1120+1×740+2×2140+3×7D(X)=(0-2110)2×1120+(1-2110)2×740+(2-2110)2×2140+(3-2110【素养创新练】16.(5分)(多选题)(2023·承德模拟)设随机变量ξ的分布列如表:ξ123…20232024Pa1a2a3…a2023a2024则下列说法正确的是 ()A.当{an}为等差数列时,a2+a2023=1B.数列{an}的通项公式可能为an=2025C.当数列{an}满足an=12n(n=1,2,…,2023)时,a2024D.当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2024)时,(n+1)an=(n-1)an-1(【解析】选ABD.对于A,因为{an}为等差数列,所以S2024=2024(a则有a2+a2023=a1+a2024=11012,故A正确对于B,若数列{an}的通项公式为an=20252024n(n+1)则S2024=20252024(1-12+12-13+…+12024-12025)=20252024对于C,因为an=12n(n=1,2,…,2023),所以S2024=12(1-122023)1-12+a2024=1-122023+对于D,令Sk=P(ξ≤k)=k2ak,则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2ak+1-k2ak,故ak+1ak即(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2),故D17.(5分)冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形营垒区,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负,甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的中心落在圆O中得3分,冰壶的中心落在圆环A中得2分,冰壶的中心落在圆环B中得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为13,14;甲、乙得2分的概率分别为25,12;甲、乙得1分的概率分别为15,16.甲、乙所得分数相同的概率为________;若甲、乙两人所得的分数之和为【解析】由题意知,甲得0分的概率为1-13-25-15=115,乙得0分的概率为1-14-1则甲、乙所得分数相同的概率为13×14+25×12+15×16+因为甲、乙两人所得的分数之和为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,则P(X=0)=115×112=P(X=1)=115×16+15×1P(X=2)=115×12+15×16+25P(X=3)=115×14+15×12+25×16+13×112=1990;P(X=4)=15×14P(X=5)=25×14+13×1P(X=6)=13×14=则E(X)=0×1180+1×136+2×110+3×1990+4×1136+5×4答案:2990七十三二项分布与超几何分布(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)已知5件产品中有2件次品,3件正品,检验员从中随机抽取2件进行检测,记取到的正品数为ξ,则均值E(ξ)= ()A.45 B.910 C.1 D【解析】选D.ξ的所有可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)=C22C52=110,P(P(ξ=2)=C32C52=310,则E(ξ)=0×1102.(5分)(2023·昆明模拟)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是 ()A.25 B.35 C.18125 【解析】选D.每次抽到黄球的概率为35,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率P=C32(35)3.(5分)(2023·佛山模拟)已知随机变量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,则P(X=1)=()A.123 B.124 C.1【解析】选C.随机变量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,则np=4,np(1-p)=2,解得n故P(X=1)=C81(12)1(1-14.(5分)(2023·泉州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是23,乙赢的概率是13,则甲以3∶1获胜的概率是 (A.827 B.427 C.49 【解析】选A.由题意知,甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负,第4局比赛甲胜,所以甲以3∶1获胜的概率是P=C32×(23)2×13×5.(5分)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得的白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)= ()A.85 B.65 C.43 【解析】选B.由题意,知X~B(5,3m+3),所以E(X)=5×3m+3=3,解得m=2,所以X~B(5,35),所以D(X)=5×36.(5分)(多选题)(2023·张家口模拟)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则()A.X~B(4,23) B.P(X=2)=C.E(X)=83 D.D(X)=【解析】选ACD.从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到黑球的概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布,即X~B(4,23),故A正确;P(X=2)=C42(23)2(13)2=827,故B错误;因为X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,故C正确;D(X7.(5分)在某“猜羊”游戏中,一只羊随机躲在两扇门后,选手选择其中一扇门并打开,如果这只羊就在该门后,则为猜对;否则,为猜错.已知一位选手有4次“猜羊”机会,若至少猜对2次才能获奖,则该选手获奖的概率为________.

【解析】由题意可知一位选手获得了4次“猜羊”机会,则猜对的次数X~B(4,12),因为至少猜对2次才能获奖,所以该选手获奖的概率为P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C40(12)4-C41×12×(1答案:118.(5分)一袋中有除颜色不同,其他都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,从中任意取出3个球,有黄球的概率是________,若ξ表示取到黄球的个数,则E(ξ)=________.

【解析】一袋中有除颜色不同,其他都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,从中任意取出3个球,样本点总数n=C5其中有黄球包含的样本点个数m=C22C31+C21ξ表示取到黄球的个数,则ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=C33C53=110,P(ξ=1)=C21C32C53=610,P(ξ=2)=C2答案:9109.(10分)为普及空间站相关知识,某部门组织了空间站模拟编程闯关活动,它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是:编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,全部结束后提交评委测试,若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中,甲只能正确完成其中6个,乙正确完成每个程序的概率均为35,每位选手每次编程都互不影响(1)求乙闯关成功的概率;(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值,并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【解析】(1)乙正确完成2个程序或者3个程序即为闯关成功,记乙闯关成功为事件A,则P(A)=C32(35)2×25+((2)由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,P故X的分布列为X0123P1311所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1所以甲闯关成功的概率为12+16=23,因为81125<【能力提升练】10.(5分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12,则小球落入A袋中的概率为(A.14 B.12 C.34 【解析】选C.由于小球每次遇到障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时,小球将落入A袋,所以P(A)=C31(12)1(1-12)2+C32(11.(5分)(2023·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中有1个红球、2个黑球,现随机等可能地取出小球.当有放回地依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回地依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】选B.依题意知,ξ1的所有可能取值为0,1,2,ξ1~B(2,13),所以E(ξ1)=2×13=23,D(ξ1)=2×13×ξ2的所有可能取值为0,1,P(ξ2=0)=23×12=13,P(ξ2=1)=23×12+13×22=23,所以E(ξ2)=0×13+1×23=23,D(ξ2)=(0-23)2×13+(1-23)2×23=29.所以E(ξ1)=12.(5分)(2023·天津模拟)欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者小组去完成某项服务,则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下,“抽取的3人全是男志愿者”的概率是________;若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数,则E(X)=________.

【解析】记全是男志愿者为事件A,至少有一名男志愿者为事件B,则P(AB)=P(A)=C43C73=435,P(B)=1-C33C73=3435,故P(A|B)=P(AB)P(B)=由题意可知,X服从超几何分布,E(X)=3×37=9答案:21713.(10分)羽毛球比赛的计分规则:采用21分制,即双方分数先达21分者胜,3局2胜.每回合中,取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜,否则继续比赛;若双方打成29平后,一方领先1分,即算该局取胜.某次羽毛球比赛中,甲选手在每回合中得分的概率为34,乙选手在每回合中得分的概率为1(1)在一局比赛中,若甲、乙两名选手的得分均为18分,求再经过4回合比赛甲获胜的概率;(2)在一局比赛中,记前4回合比赛甲选手得分为X,求X的分布列及数学期望E(X).【解析】(1)记“再经过4回合比赛甲获胜”为事件A,可知甲在第4回合胜,前3回合胜2回合,所以P(A)=34×C32×(34)2×(2)易知X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B(4,34P(X=0)=C40×(14)4P(X=1)=C41×34×(14)P(X=2)=C42×(34)2×(14)P(X=3)=C43×(34)3×1P(X=4)=C44×(34)4所以X的分布列为X01234P132727