2.1函数的概念及其表示

2.1函数的概念及其表示课标要求精细考点素养达成1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数,并能简单应用函数的概念通过理解函数的概念,培养数学抽象的素养函数的定义域通过求函数定义域及解析式,培养数学运算的素养函数的解析式通过求解分段函数问题,培养逻辑推理的素养1.(概念辨析)(多选)以下属于函数的有().A.y=x B.y2=x1C.y=x-2+1−x D.y=x22(x∈2.(对接教材)已知集合A={0,1,2},B={1,1,3},下列对应关系中,从A到B的函数为().A.f:x→y=x B.f:x→y=x2C.f:x→y=2x D.f:x→y=2x13.(对接教材)已知函数f(x)=2−x,x≥1,x2,x<1,那么f4.(易错自纠)直线x=a和函数y=f(x)的图象的公共点的个数为.

5.(真题演练)(2022·北京卷)函数f(x)=1x+1−x的定义域是函数的概念典例1下列对应关系式中是A到B的函数的有().①A=N,B=R,对于任意的x∈A,x→±x;②A=R,B=N,对于任意的x∈A,x→|x2|;③A=R,B={正实数},对于任意的x∈A,x→1x④A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;⑤A=[1,1],B={0},对于任意的x∈A,x→0.A.2个 B.3个 C.4个 D.5个1.函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.2.构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.训练1(1)(多选)下列四组函数中,f(x),g(x)表示同一函数的是().f(x)=x2+3x+1,g(t)=t2+3t+1B.f(x)=x,g(x)=3xC.f(x)=1,g(x)=x0D.f(x)=(x+1)2,g(x)(2)下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是().A BC D函数的定义域典例2(1)函数y=lg(2−x)12+x-x2+((2)已知函数y=f(x)的定义域为[8,1],则函数g(x)=f(2x+1)x+2A.(∞,2)∪(2,3] B.[8,2)∪(2,1]C.-92,-2 D.-92,-21.给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是使解析式有意义,如分式的分母不等于零,偶次根式的被开方数为非负数,零指数幂的底数不为零,对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等.2.求函数的定义域往往归结为解不等式组问题.在解不等式组时要细心,取交集时可借助数轴,并且要注意端点值或边界值.3.求复合函数的定义域,先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数的自变量的取值范围,同时还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.训练2(1)函数y=9−x2log2A.(1,3) B.(1,3]C.(1,0)∪(0,3) D.(1,0)∪(0,3](2)已知函数f(x+1)的定义域为[1,5],则f(2x)的定义域为().A.[1,3] B.[1,4] C.[2,5] D.[2,6]典例3若函数f(x)=ax2+abx+b的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b已知函数定义域求参数的值或范围,可将问题转化成含参数方程或不等式,然后求解.训练3若函数y=mx-1mx2+4mx+3的定义域为R,则实数mA.0,34 B.0,34C.0,求函数的解析式典例4(1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x1,则f(x)的解析式为().A.f(x)=2x13或f(x)=2x+1B.f(x)=2x+1或f(x)=2xC.f(x)=2x1或f(x)=2x+13D.f(x)=2x+1或f(x)=2x(2)(换元法)已知f2x+1=lgx,则f(x)的解析式为(3)(配凑法)已知fx+1x=x2+1x2,则f((4)(构造方程组法)若函数f(x)满足f(x)2f1x=x+2,则f(x)=函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)构造法:已知f(x)与f1x或f(x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)训练4(1)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)f(x)=x1,则f(x)=.

(2)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)=

(3)已知f(x)满足2f(x)+f(x)=3x,则f(x)的解析式是.

分段函数典例5(1)已知a∈R,函数f(x)=x2-4,x>2,|x-3|+a,x≤2,若f(f(2)(2023·湖南六校联考)函数f(x)=1+x2,x≤0,1,x>0.若f(x4)>f(2x3),A.(1,+∞) B.(∞,1)C.(1,4) D.(∞,1)(3)已知函数f(x)=x2+1,x≤0,lnx,x>0,若f(a)1.分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.2.分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的解析式分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.训练5(1)已知函数f(x)=3x+1,x<2,x2+ax,x≥2,若ff23=6,则实数(2)设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+fx函数的新定义问题典例对于函数f(x),若在其图象上存在两点关于原点对称,则称f(x)为“倒戈函数”,设函数f(x)=3x+tanx2m+1(m∈R)是定义在[1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是.

函数的“新定义”问题,是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题,一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体,考查函数的定义、性质、运算等,考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.训练设x∈R,定义符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则方程x2sgnx=A.1B.12C.1或12D.1或1+2或12一、单选题1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有().A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②2.(2023·广东模拟)设函数y=16−x2的定义域为A,函数y=ln(1x)的定义域为B,则A∩B=(A.(1,4) B.(1,4]C.[4,1) D.(4,1)3.已知f12x-1=2x5,且f(a)=6,则a的值为(A.74 B.74 C.434.已知a>0且a≠1,函数f(x)=log13x,x>0,ax+b,x≤0满足f(0)=2,f(1)=3,A.3 B.2 C.3 D.2二、多选题5.下列每组函数不是同一函数的是().A.f(x)=x1,g(x)=(x-1)2B.f(x)=x1,g(x)=(x-1)2C.f(x)=x2-4x-2,g(x)=x+2D.f(x)6.已知函数f(x)=x+1x,g(x)=2x,x<0,loA.f(g(2))=2 B.g(f(1))=1C.f(g(1))=2 D.g(f(1))=1三、填空题7.已知f(x)=x+x+1,则f(2)=.

8.已知函数f(x+2)的定义域为(3,4),则函数g(x)=f(x)3x1>0,所以x>13,取交集可得函数g(x)的定义域为1四、解答题9.若函数y=1+xax2-4ax+2的定义域为10.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC的长为7cm,腰长为22cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选1名代表,当班级人数除以10的余数大于6时再增选1名代表,那么各班可推选代表人数