数的运算-自然数的运算（算术理论课件）

四则混合运算主要学习内容12运算顺序简便计算

一、运算顺序

加、减、乘、除四种运算，统称为四则运算。一个式题里，如果含有加、减、乘、除四种运算中任意两种或两种以上的运算，这个式题就称为四则混合运算式题。

加、减、乘、除四则运算分成两级。加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。一、运算顺序

四则混合运算的顺序作如下规定：

1、在没有括号的算式里，运算顺序分以下两种情况。

（1）在一个算式里，如果只含有同一级运算，即只有加、减法或者只有乘、除法，那么它的运算顺序，应按从左到右的顺序计算。

（2）在一个算式里，如果既含有第一级运算，又含有第二级运算，那么它们的运算顺序是先算第二级运算，再算第一级运算，即要先算乘法和除法，后算加法和减法。（通常说成“先乘除，后加减”）一、运算顺序

2、在含有括号的算式里，运算顺序是先算括号里面的，再算括号外面的。在计算含有括号的算式时，如果一个算式里含有几种括号，应该按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层计算。每一层括号里的运算也要按照第1条中所说的顺序进行计算，再把所得的结果和这一层括号外的部分进行计算。一、运算顺序

二、简便计算1、改变运算顺序应用运算性质改变运算的顺序，可以使某些运算简便。例如：

二、简便计算2、把已知数凑成整十、整百、整千......的数

应用和、差、积、商的变化规律，把已知数转化成整十、整百、整千......的数，可以使某些运算简便。例如：

二、简便计算3、应用数的分解的方法有些题目，可以把已知数适当进行分解，使之便于口算，然后应用基本口算和某些运算性质，使运算简便。例如：

小学数学里

小学数学里自然数乘法乘法定义01乘法的运算性质02主要学习内容乘法的运算法则03一、乘法定义【例如】集合A={a，b，c}与集合B={x，y}构成的笛卡尔集A×B={（a，x），（a，y），（b，x），（a，y），（c，x），（c，y）}。注意到集合A、B、A×B的基数分别为3、2、6，因此，定义3×2=6。一般的，自然数a乘自然数b的结果a×b是指基数为a的集合A和基数为b的集合B构成的笛卡尔集A×B的基数。

一、乘法定义

小学数学里由乘法定义可知，乘法的本质是相同加数的自身连加。因为自然数范围内，加法是封闭的，结果是唯一的，所以在自然数范围内，乘法是封闭的，结果也是唯一的。二、乘法的运算性质1、乘法交换律：人教版四年级下册《乘法运算定律》二、乘法运算性质2、乘法结合律:二、乘法运算性质3、乘法对加法的分配律：另一形式：

二、乘法运算性质4、积不变的性质：两个数相乘，其中一个乘数扩大某个倍数，另一个乘数缩小至相同的几分之一，积仍然不变。即三、乘法的运算法则1、表内乘法两个一位数相乘，可根据乘法的定义用相同加数连加的方法求出它们的积，通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀或一个乘法表，计算时直接利用这些结果求出积。

三、乘法的运算法则（3）多位数乘多位数先把其中一个乘数改写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法分配律的推广与上述乘法法则（1）（2）来计算。自然数除法除法定义01除法的运算性质02主要学习内容除法的运算法则03一、除法定义1、定义：已知两个数a、b，求一个数q，使得q与b的积等于a，这种运算叫作除法，记作：读作：a除以b等于q或b除a等于q，a叫作被除数，b叫作除数，q叫作a与b的商，符号“÷”叫作除号。一、除法定义除法的意义：小学中的除法常常分为“包含除”和“等分除”两种类型

包含除：用除法解决，已知每一份的数量，求将整体平均分成了几份等分除：用除法解决，将整体平均分成几份，求每一份的数量注：等分除与包含除都是运用除法来解决的问题，是除法的两种不同的实际模型，而不是两种不同的除法。一、除法定义2、除数不为零在除法算式a÷b中，如果b=0（1）当被除数a=0时，因为任何数与0的积都是0，所以此时商不确定.（2）当被除数a≠0时，因为任何数与0的积都是0，所以此时商不存在.为了保证除法运算结果的存在时的唯一性，规定在除法算式a÷b中，除数不为零。一、除法定义3、商存在必唯一（1）除法运算是不封闭的.（2）商存在必唯一

证明：性质一

一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积里的每一个乘数。即性质二

一个数除以两个数的商，等于这个数先乘商里的除数，再除以商里的被除数，或者等于先除以商里的被除数，再乘商里的除数。即性质三

若干个数的和除以一个数，等于和里的每一个数除以这个数，再把所得的商加起来。即二、除法的运算性质二、除法的运算性质商不变的性质：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商仍然不变。即

三、除法的运算法则1、表内除法根据乘法表（乘法口诀）来计算的除法称为表内除法。三、除法的运算法则2、表外除法

利用十进制计数法把被除数写成不同计数单位的数字之和的形式，将算式转化为多个数的和除以一个数，再根据性质三进行计算。如果某一位不能整除，则自动向下一位转移。

（1）多位数除以一位数：732÷4=（7百+3十+2）÷4

=（4百+33十+2）÷4

=（4百+32十+12）÷4

=4百÷4+32十÷4+12÷4=1百+8十+3=183

三、除法的运算法则（2）多位数除以多位数：6528÷32=（65百+2十+8）÷32=（64百+128）÷32=64百÷32+128÷32=2百+4=204

从被除数的高位起，除数有几位，就先看被除数的前几位，如果前几位数比除数小，就再往后边多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写到那一位的上面；哪一位不够商1，就在那一位上商0；每次除得的余数必须比除数小。在具体计算时为方便写成竖式形式。自然数加法123加法定义加法的运算性质加法的运算法则主要学习内容一、加法定义

例如：自然数3代表集合A={a，b，c}的基数，自然数2代表集合B={d，e}的基数，3+2代表A∪B={a，b，c，d，e}的基数，所以3+2=5。

二、加法的运算性质

二、加法的运算性质

二、加法的运算性质

三、加法的运算法则1、20以内的加法（表内加法）一位数与一位数相加用数数的方法直接求和，在小学课本中出现记大数数小数、凑十法等，结果编成表称表内加法。三、加法的运算法则2、多位数的运算法则的算理

两个多位数相加（含一个多位数加一个一位数），先把它们分别写成不同计数单位的数的和的形式，再应用若干个数和加上若干个数和的性质及表内加法，分别把相同计数单位的数相加。例如：326+257=（3百+2十+6）+（2百+5十+7）

=（3百+2百）+（2十+5十）+（6+7）

=（3百+2百）+（2十+5十）+（1十+3）

=（3百+2百）+（2十+5十+1十）+3

=5百+8十+3=583

多位数相加时，分别把相同计数单位的数相加，哪个计数单位上的数满十，就向高一级的计数单位进一。数位对齐，个位加起，满十进一。在具体计算时为方便写成竖式形式。自然数减法123减法的定义减法运算性质减法的运算法则一、减法的定义

需要说明的是，在自然数范围内，减法不一定总可以进行，也就是差不一定存在。如果差存在，那么一定唯一。

也就是如果

a-b=x，且a-b=y

，那么x=y。

一、减法的定义

推论一:某数减去一个数，再加上同一个数,仍得原数。即(a-b)+b=a证明:设a-b=c,那么b+c=a。

于是(a-b)+b=c+b=b+c=a推论二:某数加上一个数，再减去同一个数,仍得原数。即(a+b)-b=a证明:设a+b=c，那么c-b=a。于是(a+b)-b=c-b=a一、减法的定义

二、减法的运算性质性质一：性质二：性质三：差不变的性质：三、减法的运算法则

1、表内减法

计算减法最初级的方法是“倒着数数”。比如，要计算8－3，就向8前面数3个数，依次为7、6、5，结果就是5，因此8－3＝5。

但在数学上，我们是根据加法表来计算表内减法的，所以这类减法又称为表内减法。比如，要计算8－5，可以根据加法口诀表中的口诀“5＋3＝8”，得出8－5＝3。三、减法的运算法则

2、表外减法

多位数减法，可以先把被减数和减数分解成不同计数单位数之和的形式，然后根据若干个数的和减去若干个数的和的运算性质，应用（1）表内减法来计算。例如：

374-158=(3百+7十+4）-（1百+5十+8）

=(3百+6十+14）-（1百+5十+8）

=(3百-1百）+（6十-5十）+（14-8）（若干个数的和减若干个数的和的性质）