高中数学《组合与组合数》教案与分层同步练习

《6.2.2组合与组合数》教案

（第一课时组合）

课标要求素养要求

1通.过实例理解组合的概念.通过学习组合的概念，进一步提升数学抽象

2.会解决简单的组合问题.及逻辑推理素养.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表，问共有多少

种选择方案？这样的问题就是本节课要重点研究的问题.

问题如何解决上述情境中的问题？

提示从5名候选人中选取3人担任代表，共有10种不同的选择方法.

A知识梳理

1.组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从〃个不同元

素中取出7个元素的一个组合.

2.排列与组合之间的联系与区别

从排列与组合的定义可以知道，两者都是从〃个不同的元素中取出m5Wn）个

元素，这个是共同点，但排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关,

只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，而两个组合只要元素相

同，不论元素的顺序如何，都是相同的.

拓展深化

［微判断］

1.从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个.（X）

提示从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a,b},{a,c},

{b,c}3个.

2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得6个积.(J)

3.1,2,3与3,2,1是同一个组合.(J)

［微训练］

1.下列问题属于组合问题的是.

①由1,2,3,4构成的双元素集合；②由1,2,3构成的两位数的方法；③由

1,2,3组成无重复数字的两位数的方法.

答案①

2.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的

种数是—(假设票价只与距离有关).

答案3

［微思考］

两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？

提示两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同.两个相同的组合只要

元素相同，不看元素顺序如何.

【课堂互动】

题型一组合概念的理解

【例1】(多空题)给出下列问题：

(l)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

⑶从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多

少种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

在上述问题中，—是组合问题，是排列问题.

解析(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问

题.

(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.

(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.

答案⑴(4)(2)(3)

规律方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有

无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换

这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明

有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

【训练1]判断下列问题是排列问题还是组合问题.

(1)集合｛0,1,2,3,4｝的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若

从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？

解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从

0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题.

(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑

次序的，所以是组合问题.

题型二简单的组合问题

【例2】(多空题)有5名教师，其中3名男教师，2名女教师.

(1)现要从中选2名去参加会议，有种不同的选法；

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有种不同的选法；

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有种不同的选法.

解析(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有

10种不同的方法.

⑵可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；

第2类，选出的2名是女教师，有1种方法.

根据分类加法计数原理，共有3+1=4(种)不同选法.

(3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1

种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3X1=3(种).

答案⑴10(2)4(3)3

规律方法(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问

题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问

题与取出元素的顺序无关.

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.

在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.

【训练2】一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球.

(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10.

⑵从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法

种数是6.

(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法

种数是4.

题型三双重元素的组合问题

【例3】某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲

和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()

A.25种B.35种

C.820种D.840种

解析分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，

有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10

种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法.所以共有10

+10+5=25(种)不同的选派方案.

答案A

规律方法本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：前者每次得到

的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部

分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.

【训练3】某校开设/类选修课3门，6类选修课5门，一位同学要从中选3

门.若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有()

A.15种B.30种C.45种D.90种

解析分两类，/类选修课选1门，8选修课选2门，或者［类选修课选2门，

6类选修课选1门，因此，共有3X10+3X5=45（种）选法.

答案C

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及逻辑推理素养.

2.排列与组合的联系与区别

（1）联系：二者都是从〃个不同的元素中取加（勿个元素.

⑵区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.

二、素养训练

1.（多选题）给出下列问题：

①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少

种不同的选法？

②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多

少种？

其中是组合问题的是（）

A.①B.②

C.③D.没有

解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选

BC.

答案BC

2.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和

为偶数的共有（）

A.36个B.24个

C.18个D.6个

解析若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故在三个奇数中选二个共有

3种选法，在两个偶数中选一个有2种选法，然后对三个数字全排列，共有

3X2XA；=36（个）.

答案A

3.某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少

有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A.14B.24

C.28D.48

解析可分类完成.第1类，选派1名女生、3名男生，有2X4=8（种）选派方

案；

第2类，选派2名女生、2名男生，有1X6=6（种）选派方案.

故共有8+6=14（种）不同的选派方案.

答案A

4.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医

疗小组，则不同的选法共有种.

解析从4名男医生中选2人，有6种选法.从3名女医生中选1人，有3种

选法.由分步乘法计数原理知，所求选法种数为6X3=18.

答案18

5.（多空题）五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成条线

段；如果是有向线段，共有条.

解析从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是

组合问题，连成的线段共有10（条）.再考虑有向线段的问题，这时两个点的先

后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是度=20.所

以有向线段共有20条.

答案1020

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.以下四个问题，属于组合问题的是（）

A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

解析只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题.

答案C

2.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（）

A.60种B.36种

C.10种D.6种

解析甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有6（种）不同

的选法.

答案D

3.从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例

分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（）

A.24B.12

C.56D.28

解析由分层随机抽样知，应从4名女生中抽取2名，从2名男生中抽取1

名，所以按照分步乘法计数原理知，抽取2名女生和1名男生的方法数为6X2

=12.

答案B

4.有5名男医生、4名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医

疗小组，则不同的选法共有（）

A.40种B.50种

C.60种D.150种

解析由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有10X4=40（种）.

答案A

5.用0,1,2,3,4,5六个数字，可以组成有重复数字的四位数的个数为

（）

A.720B.780

C.760D.790

解析所有四位数的个数为5X6X6X6=1080（个），没有重复数字的四位数

有56=300（个），所以有重复数字的四位数的个数为1080—300=780.

答案B

二、填空题

6.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可

能的决赛结果共有种.

解析根据题意，一等奖有6种选法，二等奖由剩余的5名选手中选2人，共

有10种选法，其余的为三等奖，根据分步乘法计数原理所有可能的决赛结果有

6X10=60（种）.

答案60

7.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙

型电视机各1台，则不同的取法有种.

解析根据结果分类：第一类，两台甲型机，有6X5=30（种）；第二类，两台

乙型机，有4X10=40（种）.根据分类加法计数原理，共有30+40=70（种）不

同的取法.

答案70

8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球，从中任意取出两个，则这

两个球的编号之积为偶数的取法有种.

解析从编号为1，2,3,4,5,6的六个球中任意取出两个球的方法有

15（种）.

当两个球编号均为奇数时，得到的编号之积才为奇数，故取出的两个球的编号

之积为奇数的方法有3（种），

所以取出的两个球的编号之积为偶数的方法有15—3=12（种）.

答案12

三、解答题

9.袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.

⑴取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？

⑵取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？

解（1）从4个白球中取2个，有6种方法，从5个黑球中取1个，有5种方

法，故取出的3球中有2个白球、1个黑球的结果有6X5=30（种）.

（2）取出的3球中至少有2个白球，有2白1黑及三白两种情况，故有6X5+4

=34（种）不同的结果.

10.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女

生参加，有多少种选法？

解问题可以分成三类.

第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有10X4

=40（种）选法；

第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有5X6=

30（种）选法；

第三类，从4名女生中选出3名女生，有4种选法.

根据分类加法计数原理，共有40+30+4=74（种）选法.

能力提升

11.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是

（）

A.115B.90

C.210D.385

解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球两个白球，有6X15=90（种）；

三个黑球一个白球，有4X6=24（种）；四个黑球无白球，有1种.根据分类加

法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115,故选A.

答案A

12.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译

工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5名青年承担一项

任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同

的选法？

解可以分三类.

第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有6*3=18（种）选

法；

第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有4*3=12（种）选

法；

第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有4*3=12（种）选法.

根据分类加法计数原理，一共有18+12+12=42（种）不同的选法.

创新猜想

13.（多选题）下列问题是组合问题的是（）

A.把5本不同的书分给5个学生，每人一本

B.从7本不同的书中取出5本给某个同学

C.10个人相互写一封信，共写了几封信

D.10个人互相通一次电话，共通了几次电话

解析A由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问

题；B从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并

不考虑书的顺序，故它是组合问题；C因为两人互写一封信与写信人与收信人

的顺序有关，故它是排列问题；D因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组

合问题.

答案BD

14.（多空题）从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果

有种，乘积为偶数的取法有种.

解析从五个不同的数中任取两个数共有10种不同的取法，不同的乘积结果有

1X2=2,1X3=3,1X6=2X3=6,1X9=9,2X6=12,2X9=3X6=18,

3X9=27,6X9=54,所以不同的乘积结果有8种，其中乘积为偶数的有（1,

2）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（2,9）,（3,6）,（6,9）共7种取法.

答案87

《6.2.2组合与组合数》教案

（第二课时组合数）

课标要求素养要求

通过研究组合数公式及解决有限制条件

1.能利用计数原理推导组合数公式.

的组合问题，提升逻辑推理及数学运算

2.能解决有限制条件的组合问题.

素养.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，

19号，20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务

工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5

号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？

移

问题上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问

题？

提示由于5号和14号一组，所以其他两个人只能是1到4号或15到20号中

的两个，故共有《+《=21（种）方法.

A知识梳理

1.组合数

从〃个不同元素中取出勿（加个元素的所有不同组合的个数,叫做从〃个不

同元素中取出加个元素的组合数.用符号C：表示.

2.组合数公式

组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构

.A：n（z?-1）（77—2）…（7?—/»+1）n].

C=T7„=；=~；/x-加WbT，

nA®ml勿！（n—m）!

mMri）.

规定C：=l.

拓展深化

［微判断］

1.1=5X4X3=60.（X）

皿一y5X4X3

==

提示Cso9AvZ9AV110，

2.C2017=Cz017=2017.（J）

3.“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取

出2个元素的组合数”.（X）

提示“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素

中取出2个元素的组合”.

［微训练］

1.若比=10,则〃的值为（）

A.10B.5

C.3D.4

解析比=乙器4=1°，解得〃=55=—4舍去）.

ZA1

答案B

2.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（）

A.504种B.729种

C.84种D.27种

解析共有选法《=照好=84（种）.

oAZA1

答案c

3.计算C；0+C；；=.

解析C；o+C：：=1+1=2.

答案2

［微思考］

1.下列两个等式成立吗？

①C：=CL；②C〉产C：+C丁（其中〃，mGN,后〃）.

提示成立.它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用.

2.组合数公式的两种形式在应用中如何选择？

提示在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择.公式戢=本常用于〃为

Am

n1

具体正整数的题目，一般偏向于组合数的计算.公式c：=N—————「常用

（〃一勿）!•

于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.

【课堂互动】

题型一组合数公式的应用

【例1】求值：⑴3C；—2戏；

/Q\「38—nI

5,、、28X7X65X4

解(1)3或-2C；=3Xfi

oAZA1ZA1

0W38-AW3〃,

A9.5W〃W10.5.

0V3〃W21+〃,

•.ZGN*,.\/7=10,

on\zon

•「38-nI03〃z>28।「30z>2।「1_________________

••匕3〃十匕21+〃-匕30ICm-L30IV31-2乂］一31=466.

规律方法⑴组合数公式c:=〃"_1）（〃—?…（〃—勿+1）•般用于计

nI

算,而组合数公式旧加（L加「般用于含字母的式子的化简与证明.

（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C：的隐含条件为

mWn,且m,“WN*.

【训练1】⑴计算:端+嚼；

（2）证明:

「98Ipi99_p2Ipl100X99

⑴解^100Iv>200-^1001<>200200

2

=4950+200=5150.

⑵证明黄会(/?—1)!

n—mm\(n—1—/z7)!

题型二与几何有关的组合应用题

【例2】如图，在以为直径的半圆周上，有异于48的六个点G,

C，…，6,线段4?上有异于48的四个点〃，2,4,D,.

AD,D,D,D,

（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含G点的有多少

⑵以图中的12个点（包括4,而中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

解（1）法一可作出三角形C；+C；・C：+CMC；=116（个）.

法二可作三角形比一禧=116（个），

其中以G为顶点的三角形有《+煤・煜+仁=36（个）.

（2）可作出四边形C：+可•C：+C：・《=360（个）.

规律方法（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异

面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.

⑵在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.

【训练2】空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点

共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（）

A.205B.110

C.204D.200

解析法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则

得到所有的取法个数为C：C；+C《+C畿+窝C；=205.

法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的

情况，得到所有构成四面体的个数为C；o-a=2O5.

答案A

题型三分组、分配问题

角度1不同元素的分组分配问题

【例3】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方

法？

⑴每组2本(平均分组)；

(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；

(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).

解(1)每组2本，均分为3组的分组种数为竽="*：*1=15.

A:i6

(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CWC：=20X3=60.

(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为竿=3%=15.

角度2相同元素分配问题

【例4】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列放法

的种数.

(1)每个盒子都不空；

(2)恰有一个空盒子；

(3)恰有两个空盒子.

解(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空

隙各插一块隔板，故共有《=10(种)放法.

(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并

在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，^|0|000|00|,有C；种插法，然后

将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如10|000||00],有C；种插

法,故共有共・C；=40(种)放法.

(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.

先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔

板，有C!种插法，如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.

①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，

如||00||0000|,有心种插法.

②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|,有C；种插法.

故共有C；・(C：+C；)=30(种)放法.

规律方法“分组”与“分配”问题的解法

⑴分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，有〃组均匀，最后必须除以足；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后

再分配.

【训练3】将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的

盒子中.

(1)有多少种放法？

⑵每盒至多一球，有多少种放法？

(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？

(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种

放法？

(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的

编号数，有多少种放法？

解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒

子，共有4X4X4X4=4'=256(种)放法.

(2)这是全排列问题，共有A；=24(种)放法.

r2rle1

(3)法一先将4个小球分为三组，有联」种方法，再将三组小球投入四个盒

子中的三个盒子，有A；种投放方法，故共有萼.

A：=144(种)放法.

法二先取4个球中的两个“捆”在一起，有C：种选法，把它与其他两个球共

3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A；种投放方法，所以共有C：A；=

144(种)放法.

（4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有C；种，当1个球与1个盒子的编号相

同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C；・2=8（种）

放法.

（5）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，

余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故

共有C设=12（种）放法.

（6）（隔板法）先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再

把剩下的14个球分成四组，即在OOOOOOOOOOOOOO这14个球中

间的13个空中放入三块隔板，共有a=286（种）放法，如

OO|OOOOO|OOO|OOOO,即编号为1,2,3,4的盒子分别放入

2,6,5,7个球.

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.

2.几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中

的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，

将几何问题抽象成组合问题来解决.

3.分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元

素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，

仍然是可区分的.

二、素养训练

1.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比

赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有（）

A.26种B.84种

C.35种D.21种

解析共有C・C；=1Xm分=35（种）选法.

oAZz\1

答案c

2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边

分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是（）

A.5040B.36

C.18D.20

解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人

在另一侧也只有一种站法，所以排法有《=20（种）.

答案D

3.直角坐标平面X。上，平行直线x=〃（〃=0,1,2,…，5）与平行直线y=

Mn=0,1,2,…，5）组成的图形中，矩形共有（）

A.25个B.36个

C.100个D.225个

解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取

2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为森•《=15X15=225.

答案D

4.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排

3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）.

解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公

益活动，有C；种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公

益活动，有C；种方法.故不同的安排方案共有窃C：=!|*X4=140（种）.

Oz\ZA1

答案140

5.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不

同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上

不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种（结果用数值表

示）.

解析设餐厅还需准备“种不同的素菜.

由题意，得森・e2200,

从而有020,即x（x-1）240.

又x22,xGN*,所以x的最小值为7.

答案7

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法种数

为（）

A.端•心B.C消79+C梏79

C.以一%D.C200—C3c197

解析至少2件次品包含两类：（1）2件次品，3件正品，共种，（2）3件次

品，2件正品，共CC%种，由分类加法计数原理得抽法共有C境97+CC%.

答案B

2.计算：《+《+《=（）

A.120B.240

C.60D.480

7X8,6X7X8,8X9

解析c；+c；+C=120.

2X13X2X12X1

答案A

3.方程C3=C：「的解集为（）

A.{4}B.{14}

C.{4,6}D.{14,2}

（x=2x—4,jx=14—(2*—4),

或《0W2x—4W14,

解析由题意知4W14,

〔xW14,

解得x=4或6.

答案C

4.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人

中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）

A.140种B.120种

C.35种D.34种

解析从7人中选4人，共有瑶=35（种）选法，4人全是男生的选法有C；=

1（种）.故4人中既有男生又有女生的选法种数为35-1=34.

答案D

5.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中

学至少分到一个名额的方法数为（）

A.30B.21

C.10D.15

解析用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，

有《=15（种）分配方法.

答案D

二、填空题

6.计算：c：〃+cAr=.

'0W5一〃W〃，

解析•••〈

10-77^/7+1,

9

/./7=5,

...CL+C篇"=C?+C；=l+6=7.

答案7

7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少1名，则不同的保送方

案有种.

解析把4名学生分成3组有《种方法，再把3组学生分配到3所学校有A：种

方法，故共有C氏=36（种）保送方案.

答案36

8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台

阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）.

解析当每个台阶上各站1人时有C渥种站法；当两个人站在同一个台阶上时

有C猛爆种站法.因此不同的站法种数为C?As+CsCjCe=210+126=336.

答案336

三、解答题

9.（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？

（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？

解（1）正方体8个顶点可构成C；个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个

表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点，故可以确定四面体

心一12=58（个）.

（2）由（1）知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为

底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定

四棱锥1201=48（4-）.

10.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能

当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多

少种选法？

解分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有C；C：=

75（种）；

第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为的瞰；=100（种）;

第三类,选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为C式C：=10（种）.

由分类加法计数原理，得不同的选法共有75+100+10=185（种）.

能力提升

11.某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选

1门，学校规定每位同学选修4门，则共有种不同的选修方案.

解析分两类：第一类，从6门不同时上课的课程中任选4门，有C；种选法；

第二类，在不同时上课的6门课程中选3门，再从3门同时上课的课程中选1

门，有C1XC：种选法.所以不同的选修方案共有以+同•以=75（种）.

答案75

12.从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位

数.试问：

（1）能组成多少个不同的四位数？

（2）四位数中，2个偶数排在一起的有几个？

（3）2个偶数不相邻的四位数有几个？（所得结果均用数值表示）.

解（1）易知四位数共有CgA：=216（个）.

⑵上述四位数中，偶数排在一起的有C黑翡;用=108（个）.

（3）由（1）（2）知两个偶数不相邻的四位数有216—108=108（个）.

创新猜想

13.（多选题）若C；2=Cl，则〃等于（）

A.3B.5

C.7D.15

解析由组合数的性质得〃=2〃-3或〃+2〃一3=12,解得〃=3或〃=5,故选

AB.

答案AB

14.（多空题）将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江

大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.

（1）有种不同的保送方法；

（2）若甲不能被保送到北大，有种不同的保送方法.

解析（1）5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,

2,1时，共有。」；「°.一=90（种）方法；当5名学生分成3,1,1时，共有

C..C；•A；=60（种）方法.根据分类加法计数原理知共有90+60=150（种）

保送方法.

（2）先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或

3,1,1,所以有爷1+号=25（种）分组方法.因为甲不能被保送到北大，

所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4

种方法，所以不同的保送方案共有25X4=100（种）.

答案（1）150（2）100

《6.2.2组合与组合数》分层同步练习

【基础达标练】

1.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在

一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（）

A.4B.8C.28D.64

画由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建鬣=28（条）公路.

2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中

既有男生又有女生,则不同的选法共有（）

A.140种B.120种C.35种D.34种

函若选1男3女有屐仁=4（种）；若选2男2女有CKe18（种）；若选3男1女有

第禺=12（种）.所以共有4+18+12=34（种）不同的选法.故选D.

3.已知第+i-以=Cg,则n等于（）

A.14B.12C.13D.15

随由题意，得第+i=*+1，故7+8=n+l,解得n=14.

ggA

4.某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织

游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”

三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放

彩绳”，则不同的分配方案共有（）

A.30种B.60种C.120种D.180种

画从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，

最后剩下的3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有最髭C/60（种）.故选

B.

答案|B

5.安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位

老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排

照顾老人乙,则安排方法共有（）

A.30种B.40种

C.42种D.48种

解困6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有底第=90（种）安排方

法，

其中A照顾老人甲的情况有C式＞30（种），

B照顾老人乙的情况有玛第=30（种），

A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有心玛=12（种）.

故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42（种）.

故选C.

fgc

6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数

为.

函由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,

是组合问题,共有髭=20（个）子集.

答案|20

7.不等式鬃-水5的解集为.

廨洞由鬣-水5,得喂上-水5,/.n2-3n-10＜0.解得-2＜水5.由题设条件知n22,且n

eN\/.n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4）.

葬{2,3,4}

8.若对任意的xeA,则工eA,就称A是''具有伙伴关系”的集合.集合M=（-

X

1.0.1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为.

画具有伙伴关系的元素组有-1；1多2§3,共4组.所以集合M的所有非空子

集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任

一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的，所以所求集合的个数为

禺+第+第+第=15.

答案15

北

9.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)

(1)图中有多少个矩形？

(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？

g(l)在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可

组成一个矩形,故可组成矩形有G-髭=210(个).

(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的

走法包括10段,其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段

中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Cf°=

C%=210(种)走法.

【能力提升练】

1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()

A.72种B.84种C.120种D.168种

解析|需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,

所以关灯方案共有/o=12O(种).

ggc

2.若鬣的=42,则看=()

A.60B.70C.120D.140

C沿＞42=也产X2X1,

解得n=7,

・n!7!7X6X5X4.4八

・・--——=------=-----------=140.

3!(n-4)!31X3!3X2X1

故选D.

3.已知集合A={5},B=U,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间

直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为（）

A.33B.34C.35D.36

画D所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C>Ag=12（个）；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有G•Ag+Ag=18（个）;

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有玛=3（个）.

故共有符合条件