广东省广州市某中学南沙分校2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷（含答案与解析）

广州市第二中学南沙天元学校2022学年第一学期期末考试

初三数学试卷

注意事项：

1.本试卷共4页，总分120分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。

3.考生务必将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）

1.观察下列图案，中心对称图形的是（）

3.如图，在平面直角坐标系中，以点。为位似中心，把扩大后得到VCQ0,使得

^AOB^ACOM.则点M与图中的（）重合.

A.点DB.点EC.点FD.点G

4.把抛物线y=4（x+1了-3的图像通过怎样平移可以得到抛物线y=4x2的图像（）

A.先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.先向下平移I个单位长度，再向左平移3个单位长度

C.先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

D.先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度

5.如图，AB为。。的直径，C,。是圆周上的两点，若NA5C=48°,则锐角N8DC的度数为

()

C.48°D.36°

6.若点A（—2,y）,8（—1,%），。（2,为）在反比例函数丫=一：的图像上，则M，为，治的大小关系

是（）

A.M>%>%B.%>%>XC.%>%>MD.%>y>%

7.已知有一个亭子，它地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（）

A.12mB.120mC.24mD.24Gm

8.小元设计了一个魔术盒，当任意实数对（〃，,〃）进入其中时，会得到一个新实数一7,例如把

（3,—2）放入其中，就会得至U32+2x（—2）-7=-2.现将实数对（a,Ta）放入其中，得到实数一23,则二

次函数y=以2-8%+5的最值为（）

A-1B.1C.4D.9

9.如图已知关于x的函数y=k（x-l^「y=-"（k知）,它们在同一坐标系内的图象大致是（）

X

10.如图，正方形A3C。，点F在边A8上，且AF:FB=1:2,CEA.DF,垂足为"，且交A。于点

E，AC与DF交于点、N,延长至G,使8G=，8C,连接CM.有如下结论：①。E=AF；②

2

AN=—AB-,③ZADF=NGMF；④：S四边形加e=1：8.上述结论中，所有正确结论的序号是

4

)

D

,

A.①②B.①③C.①②③D.②③④

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）

11.若点M（3,a-2）,N（b,a）关于原点对称，则。+匕=.

ABAE

12.如图，在aABC与4ADE中，——=—,要使aABC与4ADE相似，还需要添加一个条件，这个

BCED

条件是.

13.小强同学从-1,0,1,2,3,4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1<2的概率是.

14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆心的坐标是

15.要为一幅长29cm,宽22c愕的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照

片面积的四分之一，设相框边的宽度为x,则可列出关于x的一元二次方程

16.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是上的一个动点，连接4。.过点

C作CELAO于E,连接8E,则BE的最小值是.

三、解答题（共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解方程：X2+4X-5=0.

18.（1）在方格纸中画出&48c绕点B顺时针方向旋转90°后的△ABC'；

（2）已知点A（—3,—1）,3（2,0）,根据这两点建立平面直角坐标系，并写出点A'的坐标和点C运动到点

C经过的路径长.

——1

--1I--JI

II

II

-十T

iI

一II

II

II

19.已知），是x反比例函数，x与y的部分对应值如下表:

n|点41点B1

N

0

（1）求y与X的函数解析式和。的值；

（2）①当1<-5时，y随x的增大而（请直接写出答案）；

②已知关于x的函数y=是正比例函数，点C（c,m）关于原点对称的点C'在反比例函数上，

则VOBC的面积为（请直接写出答案）.

20.甲、乙两个人住同一小区，小区内有A、8、C三家药店，甲、乙两人随机挑选一家药店买退烧药.而

A药店退烧药缺货，其他两家退烧药充足.

（1）甲买到退烧药的概率是；

（2）利用画树状图或列表的方法，求甲、乙都买到退烧药的概率.

21.某企业9月份平均每天生产15000个口罩，由于疫情缘故，市场对口罩需求激增，企业决定从10月份

起扩大产能，到11月份平均日产量达到18150个.

（1）求口罩日产量月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计12月份平均日产量能达到20000个吗？

22.已知：在。。中，A8是0。的直径，AC是弦，"=60°,点尸是A8延长线上一点，且

CP=AC.

c

（1）求证：PC是OO的切线;

（2）若PB=小,求0。的直径.

23.定义：若关于x的一元二次方程公2+加+。=0（4。0）的两个实数根为巧（玉＜々），以4,

4为横坐标和纵坐标得到点M（X，W），则称点仞为该一元二次方程的衍生点.

（1）若一元二次方程为/+2%=0,请直接写出该方程的衍生点M的坐标为；

（2）若关于x的一元二次方程为％2—2（加+1）X+4+26=0.

①求证：不论，〃为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点M的坐标；

②直线生y=-x+5与x轴交于点A,直线乙过点3（-1,0）,且4与4相交于点C（L4）,若由①得到的

点M在448C的内部，求〃?的取值范围；

（3）是否存在6,c,使得不论攵住。0）为何值，关于x的方程f+bx+c=0的衍生点M始终在直线

y=一京+2（4+%）的图象上.若有，请直接写出b,c的值；若没有，请说明理由.

24.在平面直角坐标系中，抛物线y=办2+2依一3a与x轴交于A、B两点（点4在点8的左侧），

与y轴交于点C,OC-3OB.

（1）分别求4和B的坐标及a的值；

（2）如图1,点。在第三象限的抛物线上，分别连接BC、AC.CD,若/BCO=ZACD,求直线

CD的解析式；

（3）在（2）的条件下，C£＞交对称轴/于点％作直线加〃CD,请求出满足使直线，”是半径为乂5的

。。的切线的解析式.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）

1.观察下列图案，中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

D、是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.3X2-5X=0B.2x+l=0C.y-3x=0D.2x3-l=0

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.

【详解】解：A.3/_5%=0,是一元二次方程，故此选项符合题意；

B.2x+l=0,是一元一次方程，故此选项不合题意；

C.y-3x=Q,是二元一次方程，故此选项不合题意；

D.2/-1=0-未知数的最高次数是3次，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选:A.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，

即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高

次数是2是解题关键.

3.如图，在平面直角坐标系中，以点O为位似中心，把AAOB扩大后得到VCOM,使得

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形先求出位似比，再作图即可确定答案.

【详解】解：如下图，

An]

由题意可知：&40B与VCQM是位似图形，根据图中A。、CO的长度，可知位似比是而=/,作图

可得也=_1,所以点M与图中的产重合，

F02

故选：C.

【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是根据图形求出位似比，正确作出图形.

4.把抛物线y=4(x+1)2-3的图像通过怎样平移可以得到抛物线y=4/的图像()

A.先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.先向下平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度

C.先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

D.先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图像平移的规律:上加下减，左加右减即可得出答案.

【详解】解：将抛物线y=4(x+l)2-3的图像先向上平移3个单位长度得到y=4(x+l)2,再向右平移1

个单位长度可得y=4x2的图像.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，关键是掌握函数图像平移的规律.

5.如图，AB为。。的直径，C,。是圆周上的两点，若NABC=48。，则锐角ZBDC的度数为

A.47°B.42°C.48°D.36°

【答案】B

【解析】

【分析】由A3是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得NACB=90。，又由N/LBC=48°,

即可求得/A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得NBDC的度数.

【详解】解：连接AC,

•.•AB是。。的直径，

.-.ZACB=90°,

vZABC=48°,

ABAC=90°-ZABC=42°,

:.ZBDC=ZBAC=42°.

故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理.此题难度不大，注意掌握直径所对圆周角是直角与在同圆或等圆中，

同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键.

6.若点A（—2,y）,8（—1,%），C（2,%）在反比例函数丫=一：的图像上，则V，%，%的大小关系

是（）

A.X>>2>%B.%>%>必C.%>%>yD-%>X>%

【答案】D

【解析】

【分析】将点4（—2,%）、6（—1,力）、。（2,九）代入反比例函数y=一4中分别求出X、%、％，再比较大

X

小即可求解.

【详解】解：点题一20）、6（—1,%）、“2,%）代入反比例函数旷=一3中得：

X

444

%=一工=2跖=一口=4,匕=-万=-2，

;4>2>-2,

%>%>%，

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是把将点

力（一2,匕）、5（-1,72）、。（2,%）代入反比例函数〉=一&中分别求出加火、丹•

X

7.已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（）

A.12mB.12V3mC.24mD.24Gm

【答案】C

【解析】

【分析】连接。4、OB,则。4=08=4m,NA03=360°+6=60°,得AQAB是等边三角形，求得A8

的长度，即可得答案.

【详解】解：如下图，连接。4、0B,则。4=03,

•••正六边形的边长为4m,

OA=OB=4m,NAOB=360°+6=60°,

.,.△（MB是等边三角形，

AB—OA=4m,

二地基的周长为4x6=24m,

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形，解题的关键是证明是等边三角形，通过正多边形的半径求得正六边

形的边长.

8.小元设计了一个魔术盒，当任意实数对（加,〃）进入其中时，会得到一个新的实数加2+2〃一7,例如把

（3,-2）放入其中，就会得至1」32+2*（-2）-7=-2.现将实数对（a,V。）放入其中，得到实数—23,则二

次函数y=ar2-8x+5的最值为（）

A.-1B.1C.4D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根据放入实数对得到小2+2〃一7列式计算即可求出“值，从而求出二次函数的最值.

【详解】解：；将实数对（a,4z）放入其中，得到实数-23,

+2x（—4。）—7=-23,a2—Sa-7——23

解得：q=“2=4,

/.y=4x2-8x+5,

・•.最值一4x4x5$*,

4x4

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，二次函数的最值，准确计算是解题的关键.

9.如图已知关于x的函数y=k(x-l)和y=-8(k#)),它们在同一坐标系内的图象大致是()

x

【解析】

【详解】根据反比例函数判断出k的取值，进而判断出一次函数所在象限即可.

解：A、由反比例函数图象可得k<0,.•.一次函数y=kx-k应经过一二四象限，故错误；

B、由反比例函数图象可得k>0,...一次函数y=kx-k应经过一三四象限，故正确；

C、由反比例函数图象可得k<0,...一次函数y=kx-k应经过一二四象限，故错误；

D、由反比例函数图象可得k>0,.♦.一次函数y=kx-k应经过一三四象限，故错误；

故选B.

综合考查了反比例函数和一次函数的图象特征；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0,一次函数

经过一三象限，常数项大于0,还经过第二象限；常数项小于0,还经过第四象限；比例系数小于0,一次

函数经过二四象限，常数项大于0,还经过第一象限，常数项小于0,还经过第三象限；反比例函数的比

例系数大于0,图象的两个分支在一三象限：比例系数小于0,图象的2个分支在二四象限.

10.如图，正方形ABCQ，点F在边A8上，且AF:FB=1:2,CE±DF,垂足为且交AZT于点

E，AC与DF交于氤N,延长CB至G,使连接CM.有如下结论：①。E=AF；②

2

AN=—AB-,③ZADF=NGMF；④§小心：S四边形C.B=1：8.上述结论中，所有正确结论的序号是

4

()

D

*

A.①②B.①③C.①②③D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】①正确.证明AAD尸三AOCEIASA),即可判断.

②正确.利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可.

③正确.作G〃_LC£于H,设=BF=2a,则AB=CD=5c=3。，EC=®a，通

过计算证明MH=CH即可解决问题.

AFFN1

④错误.设AAAH的面积为加，由AF//CZ),推出一=——=一，^AFN~^CDN,推出AADN的

CDDN3

面积为3加，ADCN的面积为9m，推出A4QC的面积=的面积=12小，由此即可判断.

【详解】•••四边形ABCD是正方形，

;.AD=AB=CD=BC,NCDE=ZZMF=90。，

CE±DF,

ZDCE+ZCDF=ZADF+ZCDF=90°.

ZADF=ZDCE,

在AADE与AOCE中，

ZDAF=ZCDE=90°

<AD=CD,

ZADF=ZDCE

:.^ADF^M)CE(ASA),

:.DE=AF-,故①正确：

,/ABIICD,

.AF_AN

,CD-GV'

VAF:FB=1:2,

:.AF:AB=AF:CD=l:3,

AN1

---=一，

CN3

.AN1

---=-f

AC4

AC=OAB,

.AN1

"y/2AB~4'

AN^—AB;故②正确；

4

作于“，设A/=£)E=a,BF=2a,则AB=CD=BC=3a,EC=Ma，

由ACMD〜△(?£)£,可得

10

由八⑦。〜ACDE,可得C”=2^a,

20

：.CH=MH=-CM,

2

'：GH±CM,

:.GM=GC,

Z.GMH=ZGCH，

NFMG+Z.GMH=90°，NDCE+ZGCM=90°,

:.ZFEG=ZDCE,

•：ZADF^ZDCE,

ZADF=Z.GMF：故③正确，

设/VWr的面积为用，

AF//CD,

AFFN1

=——=-,/SAFN~XCDN,

~CD'DN3

.♦.AAON的面积为3m,ADCV的面积为9根,

AADC的面积=AABC的面积=12m,

…SMNF"S四边形CNF8=1：11,故④错误,

故选c.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）

11.若点M（3,4-2）,N9,a）关于原点对称，贝l」a+b=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到匕的值，进而即可求解.

【详解】解：,••点M（3,a-2）,N（b,a）关于原点对称，

••b—~3fa-2=-a,

a=l,

a+b=-2.

故答案是：・2.

【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反

数，是解题的关键.

ABAE

12.如图，在aABC与4ADE中，一=—,要使aABC与4ADE相似，还需要添加一个条件，这个

BCED

条件是.

【答案】ZB=ZE

【解析】

ACABBC

【详解】添加NB=NE,可由“两边成比例且夹角相等”判定△ABCS/\AED.添加=（或）.

ADAEDE

可由“三边成比例”判定△ABC^AAED.

13.小强同学从-1,0,1,2,3,4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1<2的概率是.

【答案】-

3

【解析】

【分析】首先解不等式得尤VI，然后找出这六个数中符合条件的个数，再利用概率公式求解.

【详解】解：•••x+lV2

：.x<\

...在-1,0,1,2,3,4这六个数中，满足不等式x+l<2的有-1、0这两个，

21

/.满足不等式x+1<2的概率是一=一，

63

故答案为：—.

【点睛】本题考查求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆心的坐标是

【答案】(2,1)

【解析】

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆

心.

【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示,则圆心是(2,1).

故答案为：(2,1).

【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”.

15.要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照

片面积的四分之一，设相框边的宽度为X,则可列出关于X的一元二次方程.

3

【答案】(29-2x)(22-2x)=-x29x22.

4

【解析】

【分析】根据题意表示出去掉相框的面积进而得出等式即可.

【详解】解：设相框边的宽度为xcm,则可列方程为:

3

(29-2x)(22-2x)=-x29x22.

4

故选:B.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出去掉相框的面积是解题关键.

16.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是上的一个动点，连接4D过点

C作CELAO于E,连接8E,则BE的最小值是.

AoB

【答案】V13-2

【解析】

【分析】取AC的中点。'，连接8O',8C,EO',先利用圆周角定理判断出点E在以AC为直径的一段弧

上运动，从而可得O'£=OC=2,再利用圆周角定理、勾股定理可得。'8=J万，然后根据两点之间线

段最短即可求得最小值.

【详解】解：如图，取AC的中点。，连接则O'C=，AC=2,

2

~丁—5

-,-CE1AD,

:.ZAEC=90°,

，在点O移动的过程中，点E在以AC为直径的一段弧上运动，即上运动，

：OE=0'C=2,

•.•43是直径，

:.ZACB=90°,

在RSABC中，•.•AC=4,A8=5,

BC^slAB2-AC2=3>

在Rt^BCO'中，OB=^BC2+O'C2=V13，

由两点之间线段最短可知，当点。'，瓦8共线时，O'E+8E取得最小值，最小值为0'8=屈，

所以BE的最小值为O'B-O'E=>/万—2，

故答案为：y/\3-2-

【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，正确判断出点E的运动轨迹是

解题关键.

三、解答题（共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解方程：%2+4%-5=0.

【答案】X]=-5,々=1

【解析】

【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.

【详解】解：原方程变形为（X—l）（x+5）=o

玉一5,%2=].

【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.

18.（1）在方格纸中画出AABC绕点8顺时针方向旋转90°后的"力。'；

（2）已知点A（—3,—1）,5（2,0）,根据这两点建立平面直角坐标系，并写出点4的坐标和点C运动到点

C经过的路径长.

r-—v--1——l—r——-rr-—p—一l—n

I1IIIIIIIIII

卜-十卜T-_卜T_-卜T-+T

IIIIIIIIIIII

1A0TNT-+

IIIIIIIIIIII

卜十一十_十一卜„1一卜T-卜T-+T

IIIIIIIII1II

iIIIIIIIIIII

iii|iTiiiii

►—-4-7<1*-4——4-V-■4•»-t——4

IIAiXJiiZliIii

IIIIr\iZiiiiii

►-H——-H——H-4——H-4——h--《

I11IIlrlIIIII

一；一_1T上卜一]一j__]_；__\

IIIIIIIIIIII

a.——a_____J__J__A-__•__a__——■—―▲___一—j

【答案】（1）答案见解析：（2）4（1,5）,点C运动到点C'经过的路径长是与

【解析】

【分析】（1）根据旋转的性质，画出点A、C的对应点A,C,连接A',C',6,即可得到"为。'；

（2）由点6（2,0）可以建立平面直角坐标系，得A'的坐标，根据弧长公式可以求出点C运动到

点C经过的路径长.

【详解】解：（1）如下图，由旋转的性质得点A、C的对应点A',C',连接A,C',3,AA'BC即为所

求；

(2)如上图，由点/(一3,-1),6(2,0)建立平面直角坐标系，由图形可知A的坐标是(1,5),

由勾股定理得：BC=V22+32=V13-

由弧长公式得：/=也90〃x>/13_4

180180-2

•・•点C运动到点C'经过的路径长是叵.

2

【点睛】本题考查了旋转作图，平面直角坐标系的建立，勾股定理，弧长的求法，解题的关键是利用网格

图的特点正确作图.

19.已知y是x的反比例函数，x与y的部分对应值如下表：

点B1

点A

nN

td3

(1)求y与x函数解析式和“的值；

(2)①当x<—5时，y随x的增大而(请直接写出答案)；

②已知关于x的函数y=(〃7-2)x'"J3是正比例函数，点C(c,m)关于原点对称的点C在反比例函数上,

则VO8C'的面积为(请直接写出答案).

【答案】(1)y=~,a=2

X

(2)①减小；②一

2

【解析】

【分析】(1)将点A代入y中求出k值，再令y=3,即可求出出

x

(2)①根据反比例函数的性质判断即可;

②根据正比例函数的定义求出〃2值，根据点C求出。的坐标，代入反比例函数表达式求出C,再利用割补

法求出VO5c的面积.

【小问1详解】

解：•・5是x的反比例函数，

・••设y=一,

x

当x=-l时,丁=一6,代入,

/.k=—1x（—6）=6,

：.y=—,令y=3，

x

得x=2,即a=2；

【小问2详解】

@V攵=6>0,

・,・当l<—5时，y随x的增大而减小；

②・・・丁=（加一2）/“3是正比例函数，

**•6—2w0且m~—3=1»

，加w2且加=±2,

m=-2,

・・•点C（c,m）关于原点对称的点C在反比例函数上，

C（—C,—777）,

6

-m=—,即me=6,

-c

.•.C=—3,即C'（3,2）,

VOBC的面积为3X3—x3x2—x1x1—x3x2=—.

2222

【点睛】本题考查了反比例函数解析式及其性质，正比例函数，坐标与图形变化一中心对称，解题的关键

是根据函数的定义求出相应点的坐标，掌握函数的定义.

20.甲、乙两个人住同一小区，小区内有A、8、C三家药店，甲、乙两人随机挑选一家药店买退烧药.而

A药店退烧药缺货，其他两家退烧药充足.

（1）甲买到退烧药的概率是:

（2）利用画树状图或列表的方法，求甲、乙都买到退烧药的概率.

2

【答案】（1）-

3

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出

答案.

【小问1详解】

解：由题意知，共有3种等可能的情况，其中从C二家药店有退烧药，A药店退烧药缺货，所以甲买到

退烧药的概率是2:；

【小问2详解】

根据题意画图如下：

开始

ABC

/N/K/N

ABCABCABC

4

共有9种等可能的情况数，其中甲、乙都买到退烧药的有4种，则甲、乙都买到退烧药的概率是葭.

【点睛】此题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是掌握：概率=所求情况数

与总情况数之比.

21.某企业9月份平均每天生产15000个口罩，由于疫情缘故，市场对口罩需求激增，企业决定从10月份

起扩大产能，到11月份平均日产量达到18150个.

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计12月份平均日产量能达到20000个吗？

【答案】（1）10%（2）不能

【解析】

【分析】（1）设口罩日产和量的月平均增长率为x,根据9月和11月的日产量，即可列出方程求解；

（2）利用12月份平均日产量=11月份平均日产量x（l+增长率），即可得出答案.

【小问1详解】

解：设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意，得

15000x（l+%）2=18150

解得％=—2.1（舍去），x2=0.1=10%,

，口罩日产量的月平均增长率为10%；

【小问2详解】

18150x(1+0.1)=19965,

v19965<20000,

12月份平均日产量不能达到20000个.

【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的问题，解题的关键是掌握公式：增长前的量41+年平均增长

率)年数=增长后的量.

22.已知：在0。中，是。。的直径，AC是弦，NZ)=60°,点P是A3延长线上一点，且

CP=AC.

(1)求证：PC是切线；

⑵若PB=布,求。。的直径.

【答案】(1)见解析(2)2百

【解析】

【分析】(1)连接OC，8C,根据圆周角定理得到NABC=60。，Z4CB=90°,从而得到N8AC=30°,

再根据等边对等角得到NP=N84C=30°,推出NACP=120。，利用半径相等证明NOC4=30°,从而

可得NOCP=90。，即可证明结论；

(2)证明3尸=3。，得到N8CP,根据NOCP的度数求出NOCB,再证明AOCB是等边三角形，得到

OB的长，可得直径.

【小问1详解】

解：连接。C,BC,

•••"=60。，

ZABC=60°,

AB是直径，

Z.ZACB=90°,

二ZBAC=3O。，

AC^CP,

：.NP=NA4c=30。，

/.ZACP=nO0,

OA^OC,

...NQ4C=NOC4=30°,

...ZOCP=90°,即PC是QO的切线；

【小问2详解】

OC=OB,

：.NOCB=NOBC=3,

：.ZBCP=30°=ZP,

：.BP=BC=也，

VOC=OB,NQBC=6()。，

△OBC是等边三角形，

/•OB=BC=BP=y/5，

，。。的直径为2君.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解

题的关键是适当添加辅助线，构造出90°的圆周角.

23.定义：若关于x的一元二次方程公2+Z?x+c=0(aH0)的两个实数根为冉，々(玉＜々)，以玉，

々为横坐标和纵坐标得到点M(%,9)，则称点M为该一元二次方程的衍生点.

（1）若一元二次方程为f+2x=0,请直接写出该方程的衍生点M的坐标为；

（2）若关于x的一元二次方程为％2—2（加+1）》+〃+2加=0.

①求证：不论，"为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点M的坐标；

②直线4：丁=一彳+5与》轴交于点4直线4过点B（—1,0）,且4与4相交于点C（l,4）,若由①得到的

点用在&48C的内部，求机的取值范围；

（3）是否存在乩c,使得不论%（%/（））为何值，关于x的方程d+bx+c=0的衍生点M始终在直线

y=-依+2（4+%）的图象上.若有，请直接写出从c的值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）（0,-2）

（2）①证明见解析；（加+2,in）-®2<m<-

（3）存在，b=—lQ,c=16

【解析】

【分析】（1）先根据因式分解法解一元二次方程，进而根据定义即可求解；

（2）①由①A=[-2（〃2+l）]2-4（，“2+2/”）=4>0,即可得出结论；

②先确定出点M的坐标，进而判断出点M在在直线y=x-2上，借助图象即可得出结论；

（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可.

【小问1详解】

解：x2+2x-0<

x(x+2)=0,

解得玉=0,々=-2,

•••该方程的衍生点M的坐标为（0,—2）；

【小问2详解】

解：©x2-2（m+l）x+m2+2m=0,

'/A=[-2（m+1）]2—4（〃/+2/n）=4>0,

.•.不论杨为何值，该方程总有两个不相等的实数根,

x2—2（/n+l）x+m2+2m=0

解得：xt=m+2,x2=m,

方程x2-2(加-1)%+m2-2〃?=0的衍生点为M(/n+2,m).

②•.•直线y=-x+5与x轴交于点A,

A(5,0),

由①得，M^m+2,m),

令m+2=x,m=y,

y=x-2,

.•.点M在直线丁=%一2上,

7

x--

y=x-22

联立得:,解得:

y=—x+5

（73

直线y=x—2上，刚好和448c的边AC交于点5,1

令y=0,则x—2=0,

x=2,

2

【小问3详解】

解：存在.

直线＞=—云+2（4+左）=左（2—x）+8,过定点“（2,8）,

二X。+fox+c=O两个根为玉=2,々=8,

2+8=—b,2x8=c,

/.Z?=-10,c=16.

【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理

解新定义，综合运用以上知识.

24.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+2ox-3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C,OC-3OB.

（2）如图1,点。在第三象限抛物线上，分别连接BC、AC.CD,若NBCO=NACD,求直线

C。的解析式；

(3)在(2)的条件下，C£>交对称轴/于点匕作直线加〃CD,请求出满足使直线，”是半径为的

5

。。的切线的解析式.

【答案】(1)A(-3,0),3(1,0),a=±l；

(2)直线。。解析式为y=2x+3；

(3)直线"2的解析式为y=2x或y=2x+6.

【解析】

【分析】⑴令尸0得/+21_3=0,解得4=-3,x=l,从而即可得A(—3,0),5(1,0),由

OC=3O6=3得卜34=3,即可求得。的值；

(2)令直线8与无轴相交于点M(帆,0),过点M作MN〃)，轴交AC于点N,作于点P,

P/[/fQR\l-I-Q

先求得直线AC为y=x+3,再由sin/BCO=——=sinNACO=2-求得PM=坐上，证

CMBCVio

2

PM3ni.3+m3+my/tn+9

△APMsA240c,得；;一=一点，于是有PM=-L，从而有方程二5"二"，求得点M

3+m3V2V2也屈

的坐标，利用待定系数法即可得解；

(3)过点。作4〃x轴，直线，"切。。于点R,如图所示，连接。R,分别过M,R作MN上§、

KP.LI,,垂足为MP,则NMWD=N£>PR=90°,NRDP+ZDRP=90。,先求得肱V=5,

DN=g,DM=三亚,然后分当切点R在直线《的上方时和当切点R在直线4的下方时两种情况求解

即可.

【小问I详解】

解：抛物线丁=公2+2ax—3a,令y=。得，ar2+2av-3a=0

+2x—3—0,

解得占=-3,x=I,

A(-3,0),8(1,0),