高中数学 8.2余弦定理活页训练 湘教版必修4

8.2余弦定理双基达标(限时20分钟)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶点的余弦值为()．A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)解析设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a.由余弦定理得θ＝eq\f(4a2＋4a2－a2,8a2)＝eq\f(7,8)，故选D.答案D2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，则c的值为 ()．A．4 B．8 C．4或8 D解析由3a＝eq\r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq\r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8答案C3．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为 ()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).答案B4．在△ABC中，若sinA∶sinB：sinC＝3∶2∶4，则cosC＝________．解析根据正弦定理，知a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，k>0，则cosC＝eq\f(9k2＋4k2－16k2,2×3k×2k)＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)5．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________．解析由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.答案120°6．证明：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).证明右边＝eq\f(c－b·\f(b2＋c2－a2,2bc),b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(c－\f(b2＋c2－a2,2c),b－\f(b2＋c2－a2,2b))＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2c),\f(a2＋b2－c2,2b))＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac),\f(a2＋b2－c2,2ab))＝eq\f(cosB,cosC)＝左边．综合提高限时25分钟7．已知三角形的三边长分别是a，b，eq\r(a2＋b2＋ab)，则此三角形中的最大角是 ()．A．30° B．60° C．120° D．150°解析∵eq\r(a2＋b2＋ab)>a，eq\r(a2＋b2＋ab)>b，∴最大边是eq\r(a2＋b2＋ab)，设其所对的角为θ，则cosθ＝eq\f(a2＋b2－（\r(a2＋b2＋ab)）2,2ab)＝－eq\f(1,2)，θ＝120°.答案C8．在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，则△ABC是 ()．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析由acosA＋bcosB＝ccosC，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c·eq\f(b2＋a2－c2,2ab).化简，得a4－2a2b2＋b4＝c4，即(a2－b2)2＝c4，∴a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2.∴△ABC是直角三角形．答案B9．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________．解析直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，所以c＝2eq\r(3)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得sinA＝eq\f(1,2)，由于a<c，所以A<C＝60°，所以A＝30°.答案30°10．在△ABC中，若2a＝(eq\r(3)＋1)b＝(eq\r(6)＋eq\r(2))c，则△ABC中最大内角的余弦值为________．解析由题意可知c＝eq\f(2,\r(6)＋\r(2))a＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，b＝eq\f(2a,\r(3)＋1)＝(eq\r(3)－1)a.所以a为最大边，把b，c代入余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，得cosA＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).答案eq\f(\r(2)－\r(6),4)11．在△ABC中，C＝60°，a＋b＝16.(1)试写出△ABC的面积S与边长a的关系；(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出最大值；(3)当a等于多少时，周长l有最小值？并求出最小值．解(1)∵a＋b＝16，∴b＝16－a>0，∴0<a<16，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a(16－a)sin60°＝eq\f(\r(3),4)(16a－a2)＝－eq\f(\r(3),4)(a－8)2＋16eq\r(3)；(2)当a＝8时，Smax＝16eq\r(3)；(3)l＝a＋b＋c＝a＋b＋eq\r(a2＋b2－2abcos60°)＝16＋eq\r(3（a－8）2＋64)当a＝8时lmin＝24.12．(创新拓展)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．解设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1，(n>1，n∈N)，根据正弦定理得：eq\f(n－1,sinθ)＝eq\f(n＋1,sin2θ)，∴n－1＝eq\f(n＋1,2cosθ)，∴cosθ