2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第09讲 工具篇（借助隐零点洛必达法则中值定理泰勒展开式二次导等工具解决导数问题）（解析版）

第09讲工具篇（借助隐零点，洛必达法则，中值定理，泰勒展开式，二次导等工具解决导数问题）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：借助隐零点解决导数问题 1题型二：借助洛必达法则解决导数问题 10题型三：借助泰勒展开式解决导数问题 16题型四：通过二次求导解决导数问题 28第一部分：题型篇 题型一：借助隐零点解决导数问题典型例题例题1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是(2).【详解】（1），，，恒成立，所以在递增.所以当，；，所以函数的单调减区间是，单调增区间是.（2），①当时，由（1）知有且只有一个零点.②当时，，则在区间上单调递减，所以至多有一个零点.③当时，，，又因为的图象在区间上连续不间断，所以，使得，即.令，，所以在区间上单调递增，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以，所以无零点.④令，当时，，所以在区间上单调递减，所以，有，所以，则.当时，，，又因为的图象在区间上连续不间断，所以，使得，即.令，，所以在区间上单调递增，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以.令.，又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，所以有且只有2个零点.综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.例题2．（2023·新疆·统考二模）已知.(1)当时，求的最小值；(2)当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)0(2)【详解】（1）由题意知，，所以，易见在上递增，且，所以当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，故，所以的最小值为0.（2）由已知在上恒成立，即在上恒成立，也即在上恒成立.令，，所以，令，则是上的增函数，又因为，，所以在区间上存在唯一的零点，即，由得，又由函数在区间上单调递增，上式等价于所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以.例题3．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知函数在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)当时，恒成立，求正整数的最大值.【答案】(1)，(2)3【详解】（1）定义域为，.由题意知，解得，.（2）由题意有恒成立，即恒成立设，，.当时，，令，其中，则所以函数在上单调递增因为，，所以存在唯一，使得，即，可得.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.，，由对勾函数性质知函数在递减，，.当时，不等式对任意恒成立，正整数m的最大值是3.精练核心考点1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，且，求证：且.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解法一：当时，由，且时，故成立；当时，即为.由，令，得，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，所以，即.综上，.解法二：，由，且时，所以.设，则，令，得，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，即.（2）解法一：，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，故.先证，由，故即证，由，故即证，设，则，所以在上单调递减，所以.所以，从而.现证，即证.设，故即证，即证.设，则，设，则，当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，使得，故在单调递增，在单调递减，又，所以，即，故.解法二：证明的方法同解法一.，，则在处的切线方程为，下面证.设，，设，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，使得，故在单调递减，在单调递增，又，故，即，所以.2．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数.(1)求的单调区间和极大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)的单调增区间为和，单调减区间为；(2)【详解】（1），由可得：或；由可得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的单调增区间为和，单调减区间为.所以，在时取极大值.（2）恒成立等价于恒成立.因为，所以.令，则.令，则，所以在上单调递增，又，，所以，使得，即.所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以由可得，而在上单调递增，所以，即，所以，所以3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若函数是增函数，求的取值范围；(2)已知、为函数（为函数的导函数）图象上任意的两点，设直线的斜率为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：易知的定义域为.因为函数是增函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立.设，则，因为当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围是.（2）证明：因为、是图象上的任意两个点，且，所以.要证，即证，不妨先证，即证，令，则，即证.令，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，即，即.再证，设，则，设，则，则在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以，所以原不等式成立.题型二：借助洛必达法则解决导数问题典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【详解】显然，当时，的极限即为型，所以：.故选：B例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求在点，处的切线方程；(2)若，证明：在，上恒成立；(3)若方程有两个实数根，，且，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）函数，由，由，，所以切线方程为，（2）当，时，，所以．故只需证，构造，，又在，上单调递增，且（1），知在，上单调递增，故（1）．因此，得证．（3）由（1）知在点，处的切线方程为．构造，，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根．又，由在上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．构造．，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，（1），所在上单调递减，在上单调递增．所以（1）．设方程的根．又，由在上单调递增，所以．，，，所以，得证．精练核心考点1．（2023春·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则______．【答案】2【详解】由题可得.故答案为：2.2．（2023·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1），所以切线的斜率，又，所以切线过点，所以切线方程为.（2）方法一：令，则，，，令，则.因为，所以，在单调递减，当时，对，，所以在上单调递减，所以对，，符合题意；当时，因为在单调递减，，故，使，且时，，单调递增，所以，与，矛盾.所以实数b的取值范围是.方法二：，当时，原不等式恒成立，当时，原不等式等价于，令，则，令，，因为，所以，所以，所以在区间上单调递减，即，所以，即在区间上单调递减.由洛必达法则，所以，所以实数b的取值范围是.3．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知．(1)当时，求的单调性；(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)或(1)解：当时，，其定义域为，，令，则，又，故在单调递增，所以当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)解：因为，其定义域为，①若，则，故符合题意；②若，则，所以，令，得，令，得，当x变化时，，的变化情况如下表xe＋0－单调递增单调递减如图，作出其函数图象由图可知，解得，③若，则或，令，则，所以在单调递增，故当时，；当时，，所以即，令，则，令，得，当x变化时，，变化情况如下表，x－0＋单调递减单调递增又，且，作出其函数图象，如图由图可知的解为即，综上可得或．题型三：借助泰勒展开式解决导数问题典型例题例题1．（多选）（2023·辽宁·校联考二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．（是虚数单位） B．（是虚数单位）C． D．【答案】ACD【详解】对于A、B，由，两边求导得，，，又，，，故A正确，B错误；对于C，已知，则.因为，则，即成立，故C正确；故C正确；对于D，,，，当，；；；，,所以，所以成立，故D正确.故选：ACD.例题2．（2023·辽宁丹东·统考一模）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数……．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为____，精确到0.01的近似值为______．【答案】【详解】取时，可得则，所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为，令，代入上式可得.故答案为：；.例题3．（2023·湖南永州·统考三模）已知函数，.(1)若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数.(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知，利用上述知识，试求的值.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由题意得：，因为为函数的极值点，所以，，知：，，，（i）当时，由，，，，得，所以在上单调递减，，所以在区间上不存在零点；（ii）当时，设，则.①若，令，则，所以在上单调递减，因为，，所以存在，满足，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；②若，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，又因为，所以，在上单调递减；③若，则，在上单调递减.由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，因为，，所以存在使得，所以，当时，，在上单调递增，，当时，，在上单调递减，因为，，所以在区间上有且只有一个零点.综上，在区间上的零点个数为个；（2）因为，（*）对，两边求导得：，，所以，（**）比较（*）（**）式中的系数，得所以.例题4．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；（2）比较（1）中与的大小．（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．【答案】（1）；；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【详解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，则，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，在上单调递增，又，当时，；当时，；综上所述：当时，；当时，；当时，.（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，①由（2）知：当时，，当时，；②由（2）知：当时，，，令，则，在上单调递减，，即当时，，，；综上所述：.精练核心考点1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：，（其中，），则的值约为（1弧度）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，又，则，当时，则有，又，则．故选：B．2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；(2)比较（1）中与的大小.(3)证明：.【答案】(1),；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析.【详解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，则，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，在上单调递增，又，当时，；当时，；综上所述：当时，；当时，；当时，；（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，当且仅当时取等号，①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；②当时，设，，，，当，由（2）可知，所以，，即有；当时，，所以，时，单调递减，从而，即．综上所述：.3．（2023·全国·高三专题练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.(1)证明：当时，；(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【详解】（1）由已知当时，，得，所以当时，.（2）（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）若恰为的极小值点.①证明：；②求在区间上的零点个数；（2）若，，又由泰勒级数知：，证明：【答案】（1）①证明见解析；②个；（2）证明见解析.【详解】（1）①由题意得：，因为为函数的极值点，所以，，令，则，在上单调递增.因为，，所以在上有唯一的零点，所以；②由①知：，，，（i）当时，由，，，，得，所以在上单调递减，，所以在区间上不存在零点；（ii）当时，设，则.（a）若，令，则，所以在上单调递减，因为，，所以存在，满足，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；（b）若，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，又因为，所以，在上单调递减；（c）若，则，在上单调递减.由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，因为，，所以存在使得，所以，当时，，在上单调递增，，当时，，在上单调递减，因为，，所以在区间上有且只有一个零点.综上，在区间上的零点个数为个；（2）因为，（*）对，两边求导得：，，所以，（**）比较（*）（**）式中的系数，得所以.题型四：通过二次求导解决导数问题典型例题例题1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数，.(1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)因为，，，所以当时，则在上单调递增，的最小值为不符合，舍去；当时，则在上单调递减，在上单调递增，在的最小值为，则不符合，舍去；当时，在上单调递减，的最小值为，则．(2)在上恒成立，即在上恒成立，设，，，设，在上恒为正，则在上单调递增，，则在上单调递增，.所以，即实数的取值范围为.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若函数在点处的切线斜率为0，求的值．(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）的定义域为，，，依题意得，所以.（2）∵，，因为当时，，所以在上单调递增，且，故，即，∴：在上单调递增；，，∴，令，而，令，，∴在上单调递减，且，故，∴，∴在上单调递增，且，故，即，∴函数在上单调递增；例题3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)若曲线在点处的切线过原点，求的值；(2)若在的切线中，存在着过原点的切线，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由于，故．又因为，所以曲线在点处的切线方程为．令，，则有．（2）设点是函数图像上的任一点，由于，，从而可知在点处的切线方程为．令，得，即．从而有，设，于是问题可转化为求关于的函数的值域．，记有，所以在上单调递增．又，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增．于是在处取得最小值，最小值为．由于当趋于时，趋于，因此的取值范围为．精练核心考点1．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知函数，为的导函数且.(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.【答案】(1)，不是；(2)2，理由见解析.【详解】（1），则，由，得，所以，，当时，，