高中数学-几何概型

高中数学——几何概型

目录

1.教学目标....................................................................1

2.学情分析....................................................................1

3.重点难点....................................................................1

4.教学过程....................................................................2

5.高中数学考点之一一几何概型.................................................6

1.教学目标

知识与能力目标：

(1)体会几何概型的意义；

(2)了解几何概型的概率计算公式。

过程与方法目标：通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有

限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，

感受数学的拓广过程。通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问

题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。

情感态度与价值观目标：体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数

学，培养其积极探索的精神。

2.学情分析

学生前面学习了随机事件的概率和古典概型，初步学会了用古典概型公式

解决概率问题，很容易把本节内容与古典概型的特点、计算方法等方面进行类

比，因此两者有联系这是积极因素，应因势利导；但是几何概型的计算方法与

古典概型有本质的区别，在古典概型向几何概型的过渡和实际背景如何转化为

相应区域的长度、面积、体积是会有一些困难，为了调动学生学习的兴趣，加

深对知识的理解和应用，问题情境和例题，习题的选择都与日常生活息息相关。

3.重点难点

重点：几何概型的概念及应用

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难点：几何概型应用中几何度量的确定及运算

4.教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】几何概型

创设情景，引入新课

引例1：

(1)我钓鱼岛研究团队近期要到钓鱼岛及其附属岛屿进行登岛科学考察，要

在钓鱼岛(主岛)、黄尾屿、赤尾屿、南小岛、北小岛这些小岛中任选一个进行登

岛，恰好选取钓鱼岛(主岛)的概率是多少？

学生给出答案后，我引导学生从以下几个方面进行分析、总结：

①基本事件的总数是多少？

②满足条件的基本事件个数是多少？

③本题属于什么概率类型？

④古典概型的特点是什么？

通过练习让学生们及时重复古典概型的特点：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

活动2【导入】几何概型

(2)我研究团队出发后，有可能在2015年9月18日的凌晨2点到上午的

10点之间的任意时刻登岛(在任何一个时刻登岛是等可能的)，队员们想在钓鱼

岛上欣赏美丽的海上日出，那么研究团队在凌晨3点到4点之间登上钓鱼岛的

概率是多少？

我让学生类比引例1.1思考以下几个问题：

①基本事件的总数是多少？

②满足条件的基本事件个数是多少？

③此题还是古典概型吗？

引导学生发现与古典概型的区别：无限性；联系：等可能性。

(1)无限性：试验中所有可能出现的结果基本事件有无限多个；

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（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

活动3【讲授】几何概型

引例2：如图所示：圆心位置为钓鱼岛，圆形区域表示我钓鱼岛所属海域,

据报有一艘日本军用船只驶入我钓鱼岛所属海域，我海监船奉命要找到并驱离

日本船只。那么在图中所示的红色区域内找到的概率各是多少？

⑴所属区域五等分；

⑵所属区域的三块区域圆心角之比为1：2：3；

⑶所属区域两圆的半径之比为1：2

⑴⑵⑶

首先是将所属区域五等分，概率的求解十分容易，学生可能将在五个相同

的扇形区域作为五个等可能基本事件，从而概率的求解仍然停留在古典概型上。

第二种所属区域的三块区域圆心角之比为1：2：3o让同学们类比第一种情况，

求出第二种情况的概率，区域（2）的求解虽然可以由等分的观点得到答案，但图

形淡化了等分。再利用类比推理求出第三种情况的概率，第三种所属区域两圆

的半径之比为1：2,实现了完全的面积化，得出概率。此时古典概型已经完全

淡出了学生的思考范围。顺势我引导学生总结几何概型的计算方法：

通过以上环节的学习，引出了几何概型的定义及计算公式。

定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,

则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

构成事件力的区域长度（面积或体积）

□）一试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）

得出几何概型的特点:

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(1)无限性：在一次试验中，所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

(2)等可能性：每个结果(基本事件)发生具有等可能性。

总结出几何概型与古典概型的区别。

给出引例(2)的答案(学生回答)

我研究团队出发后，有可能在2015年9月18日的凌晨2点到上午的10

点之间的任意时刻登岛(在任何一个时刻登岛是等可能的)，队员们想在钓鱼岛上

欣赏美丽的海上日出，那么研究团队在凌晨3点到4点之间登上钓鱼岛的概率

是多少？

活动4【练习】几何概型

灵活应用，强化训练

为了更好地理解其运算，准确把握公式中的“几何度量"，我设置了以下两个

环节：

例1：

(1)：在区间［0,9］上任取一个整数，恰好取在区间［0,3］上的概率为多少?

(2)：在区间［0,9］上任取一个实数，恰好取在区间［0,3］上的概率为多少?

例2：在棱长为2的正方体的面上任取一点P,则点P到点A的距离小于等

于1的概率为多少？

引导学生思考：

(1)这个概率问题的特点是什么，符合哪一个概率类型?(2)怎样计算?学生(或

教师引导出)能得出是几何概型及特点，

类比引例知，概率为面积之比：扇形面积与正方形面积的比。

变式1：在棱长为2的正方体的棱AB上任取一点P,则点P到点A的距离

小于等于1的概率为多少？

和上题一样，还是同样的思路，变化的是由面积比变成了线段的长度比。

变式2：在棱长为2的正方体中任取一点P,则点P到点A的距离小于等于

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1的概率为多少?

这个概率变成了体积比：以点A为球心，1为半径的八分之一球的体积与

此正方体的体积比。

例题3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，

求他等待的时间不多于10分钟的概率.

设人=｛等待的时间不多于10分钟｝,事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50,

60］时间段内事件A发生。

法一：利用［50,60］时间段所占的弧长：

法二：利用［50,60］时间段所占的圆心角：

法三：利用［50,60］时间段所占的扇形面积：

法四：将时间转化成长60的线段，研究事件A位于［50,60］之间的线段的

概率：

师生活动：学生思考、讨论再加上老师的指导分析本题的两个要点：一是

基本事件的确定，二是几何度量的优化选择。针对难点一，让学生们利用实物，

通过实验得出结论，突破难点。确定了构成事件的区域后，由于钟表外观具有

明显的几何特征，学生们思考、讨论后可能会选择扇形面积、弧长、甚至圆心

角作为测度，当然都可以得到问题的解决，而当以角度作为变量时，弧长和面

积均与角度成正比，故这三种测度的选择在本质上是相同的。

为了让学生对这一实际问题的本质有进一步的认识，优化测度选择，我将

圆盘形钟表换成了电子钟，突破课本的设计理念，引导学生认识到弧长、角度、

面积这些测度本质上就是时间区域的长度，从形到数的转变，实现了测度的优

化选择，揭示出数学的本质，突破了难点。

归纳小结，布置作业让学生谈谈本节课的收获，自己归纳总结，教师点拨，目的是使

学生自己梳理本节所学知识，以便对概率知识有一个系统的理解与认识。

小结：①几何概型的定义、基本特点；

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②几何度量的寻求及概率求法。

活动5【作业】几何概型

作业：

课本习题3.3A组1、2

课外思考：已知函数/（》）=-/+5-人若a、b都是从区间［0,4］内任取的一个数，求/（1）＞0

成立的概率。“

5.高中数学考点之——几何概型

一、几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,

则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

典型例题1：

如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以Q4,08为直径&一、.

作两个半圆.在扇形。针内随机取一点，则此点取自阴影部分飞乃

的概率是（）

解：（1）法一：设分别以CU,。3为直径的两个半圆交于点C,B

04的中点为。，如图，连接。G0c不妨令。4=03=2,则

OZ）=ZU=QC=L在以。4为直径的半圆中，空白部分面积团装

一…村信

=-4--XIXI-（42J=l,所以整体图形中空白部分面°1

42

积$2=2一又因为5仙043=1乂兀、22=兀，所以阴影部分面积为S3=JI-2.

4

所以P=-_-=1-

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法二：连接㈤3,设分别以04,05为直径的两个半圆交于点C,令。4=2.

由题意知C^AB且S弓将AC=S弓药BC=SH’oc,

所以SC=SLCUB=；X2X2=2.

又因为S^a^=-XnX22=7i,所以Sg=冗—2.

A4

所以p=s,^-=^l=1-1

Sa"OAB兀兀

几何概型的特点：

几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它

的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件

所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.

二、几何概型的概率公式

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

p（构成事件a的区域长度湎积或体积）

,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

典型例题2：

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已知集合4=[-2,2],设”={(x,y)|x€a在集合M内随

机取出一个元素(x,y).

(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆好+产=1内的概率；

(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=O的距离不大于£的概率.

解：(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因x2+v-!=l的面积SI=JT,故所求械.

率为Pi=—=-

(2)由题意■即一14X+J<1,形成的区域如图中阴

影部分，面积Sz=4,所求概率为尸=&=1.

S2

几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型

转化为长度(角度)，然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.

求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部

结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率.这类问

题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起.

典型例题3：

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已知向量a=(-2J),b=(x,y).

(D若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为12345,6)

先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab=-1的概率；

⑵若x,丁在连续区间26］上取值，求满足a心<0的概率.

解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抱掷两次，所包含的基本事件总数为

6X6=36个；

由a・b=­1有-2x+y=-1,

所以满足〃6=一1的基本事件为(1」)，(23),(3,5)共3个.

故满足/5=-1的级率为&=」-.

3612

⑵若x,j在连续区间口,6］上取值，则全部基本事件的结果为。={(x,

y)|14Y6:l<v<6};

满足a-b<0的基本事件的结果为

.4={(x,j)|l<x<6:l<v<6,且一2x+yV0};

画出图形，

矩形的面积为S*,；=25,阴影部分的面积为S年=25—;X2X4=21,

故满足a-b<Q的概率为首.

与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几

何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：

对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何

化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在

此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结

果构成一个可度量区域.

典型例题4：