苏科版八年级数学上册讲练专题6.4用一次函数解决问题(原卷版+解析)

专题6.4用一次函数解决问题【教学目标】掌握一次函数的应用——方案最优化问题；掌握一次函数的应用——行程问题；3、掌握一次函数的应用——几何问题；【教学重难点】掌握一次函数的应用——方案最优化问题；掌握一次函数的应用——行程问题；3、掌握一次函数的应用——几何问题；【知识亮解】亮题一：一次函数的应用—方案最优化问题【例1】★★为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．（1）求篮球和足球的单价；（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），求y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．【例2】★★（八下·温岭期末）我市人民医院准备从医疗器械销售公司采购A、B两种医疗器械共80件，其中A种器械不少于40件，B种医疗器械的数量不少于A种器械的，已知A种器械的售价为每件360元，B种器械的售价为每件400元。（1）请写出人民医院在这次采购中所需资金y(元)与采购A种医疗器械x(件)的函数解析式，并写出自交量x的取位范围；（2）为了积极应对本次新冠肺炎疫情，人民医院拿出27000元经费用于采购这80件医疗器械，请问经费是否够用，如果不够)至少还需要经费多少元？【例3】★★某公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择．方式一：邮车运输，装卸收费600元，另外每千米加收4元；方式二：火车运输，装卸收费1200元，另外每千米加收2元．（1）分别写出邮车、火车运输的总费用（元），（元）与路程（千米）之间的函数解析式；（2）为了节省运费，该公司应选择上述的哪种运输方式呢？请说明理由．【例4】★★★（八下·来宾期末）某服装店销售10套A品牌运动装和20套B品脾运动装的利润为4000元，销售20套A品牌运动装和10套B品牌运动装的利润为3500元。（1）该服装店计划一次购进两种品牌的运动装共100套，设服装店购进A品牌运动装x套，这100套运动装的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式；（2）在(1)的条件下，若B品牌运动装的进货量不超过A品牌的2倍，该服装店购进A、B两种品牌运动装各多少套，才能使销售总利润最大?（3）实际进货时，厂家对A品牌运动装出厂价下调，且限定超市最多购进A品牌运动装70套，A品牌运动装的进价降低了m(0<m<100)元，若服装店保持两种运动装的售价不变，请你根据以上信息及(2)中的条件，设计出使这100套运动装销售总利润最大的进货方案。【例5】★★（八下·湘桥期末）为了更好服务我市创建“国家卫生城市”工作，某商场购进A，B两种新型号的垃圾箱共100个进行销售，两种新型号垃圾箱的进价和售价如下表所示，设商场购进A型垃圾箱x个（x为正整数)，且所购进的两种型号垃圾箱能全部卖出，获得的总利润为W元。（1）求总利润W关于x的函数关系式。（2）如果购进两种垃圾箱的总费用不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润。A型垃圾箱B型垃圾箱进价（元/个）6254售价（元/个）7660【例6】★★（八下·横县期末）已知一次函数.（1）若函数图象经过原点，求k的值；（2）若随的增大而减小，求k的取值范围.【例7】★★（八下·揭阳期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品，某品牌的圆珠笔每支需要40积分，笔芯每支需要10积分，现积分超市推出以下两种活动：活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣积分：活动二：兑换一支圆珠笔送两支笔芯.王叔叔有1000积分，想兑换这种圆珠笔10支，笔芯x支（x≥20）.（1）请你分别写出活动一、活动二兑换所需的积分y1y2与笔芯x（支）之间的函数关系式；（2）若只能选择一种兑换活动，请你帮助王叔叔判断选择哪种活动更优惠.【例8】★★（八下·韩城期末）甲、乙两店销售同一种蔬菜种子.在甲店，不论一次购买数量是多少，价格均为4.5元/kg.在乙店价格为5元/

kg，如果一次购买2kg以上的种子，超出2kg部分的种子价格打8折.设小明在同一个店一次购买种子的数量为xkg.（）.（1）设在甲店花费元，在乙店花费元，分别求，关于x的函数解析式；（2）若小明计划在同一个店将45元全部用于购买这种蔬莱种子，则他在哪个店购买种子的数量较多？【例9】★★★（八下·马山期末）某经销商从市场得知如下信息：A品牌手机B品牌手机进价（元/部）700100售价（元/部）900160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手机共100部，设该经销商购进A品牌手机X部，这两种品牌手机全部销售完后获得利润为y元。（1）试写出y与x之间的函数关系式：（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？

（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？

亮题二：一次函数的应用—行程问题【例1】★（八下·来宾期末）已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米／小时，若用x表示行走的时间(小时)，Y表示余下的路程(千米)，则y关于x的函数解析式是(

)A.

y=4x(x>0)

B.

y=4x-3(x≥)

C.

y=3-4x(x≥0)

D.

y=3-4x(0≤x≤)【例2】★★★甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙车从B地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数．（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．【例3】★★★（2020八下·温岭期末）如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿解坡DC滚下坡，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0……往返运动至小球停止;图2是某小球在运动过程中，速度，(cm/s)和时间r(s)的部分函数图象.(在同一段路程中，路程S=v平均·t，

v平均=

)（1）根据图象，求小球第一次从点B运动到点C时，速度v关于时间的函数解析式；（2）求第一次在斜披CD上滚动的最大距离；（3）在图2中画出第一次返回时ν关于r的函数图象；（4）直接写出当小球停止时所走过的总路程.【例4】★★（2020八下·横县期末）在A，B两地间有一条水泥二级公路连接，甲车从A地出发前往B地到B地停止，乙车从B地出发前往A地到A地停止，两车同时出发，并以各自的速度匀速行驶.设甲车离A地的距离为（km），乙车离A地的距离为（km）.甲车行驶时间为（h），，与的函数关系图象如图所示.（1）分别求出，与x的函数关系式；（2）直接写出点P的坐标并解析该点坐标所表示的实际意义；（3）若两车间的距离为S（千米），写出S关于x的函数关系式.【例5】★★（2020八下·韩城期末）端午节期间，小刚一家乘车去离家380的某地游玩，他们离家的距离（）与汽车行驶时间x（）之间的三段函数图象如图所示：（1）汽车在段与段哪段行驶的速度较快？（2）求线段AB对应的函数解析式；（3）小刚一家出发1.5小时时离目的地多远？【例6】★★★.（2020八下·福州期中）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小红步行从甲地到乙地，每分钟走100米，小龙骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地．设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段，折线分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象．（1）小龙骑车的速度为________米/分钟；（2）B点的坐标为________；（3）小龙从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为________；（写出t的取值范围）（4）小红和小龙二人________先到达乙地，先到________分钟．【例7】★★★.（2020八下·贵阳开学考）甲开车从距离B市100千米的A市出发去B市，乙从同一路线上的C市出发也去往B.市，二人离A市的距离与行驶时间的函数图像如图所示（y代表距离，x代表时间）（1）C市离A市的距离是________千米；（2）甲的速度是________千米∕小时，乙的速度是________千米∕小时；（3）________小时，甲追上乙；（4）试分别写出甲、乙离开A市的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系式.【例8】★★.（2020八上·昌平期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程米与时间分钟的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（1）a=________，b_=________，m=________；（2）若小军的速度是120米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？【亮点训练】1．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（

）A． B．C． D．2．直线经过一、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（

）A． B． C． D．3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物重量的关系如下表所示：弹簧总长1617181920重物重量0.51.01.52.02.5当重物重量为（在弹性限度内）时，弹簧总长L是（

）A． B． C． D．4．小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发，匀速相向而行小李的速度大于小王的速度，小李到达乙地后，小王继续前行.设出发小时后，两人相距千米，如图所示，折线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中与之间的函数关系．下列说法错误的是（

）A．点的坐标意义是甲、乙两地相距千米B．由点可知小时小李、小王共行走了千米C．点表示小李、小王相遇，点的横坐标为D．线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程5．如图所示，若直线与轴的交点为，与轴的交点为，过点作于点，则的长为（

）A． B． C．4 D．二、填空题6．平面直角坐标系中，直线m坐标轴交于；若，则直线m的解析式为___________．7．如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费_________元．8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则点B是强点．若强点在第一象限，且在直线（b为常数）上，则b的值为_____________．9．如图1，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活．如图2是杆秤示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如下一组数据，已知表中有一组数据错了．若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为___________斤．秤砣到秤纽的水平距离（）124712秤钩所挂物体重量（斤）0.751.002.002.253.5010．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数．如表是小明记录的部分数据，请根据表中的数据确定当为时，对应的时间为_________．……123…………2.42.83.2……三、解答题11．如图，已知点)、点．(1)求直线的函数表达式；(2)若C为直线上一动点，当的面积为3时，求点C的坐标．12．将直线先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，所得新的直线与轴、轴分别交于A、两点，另有一条直线．(1)求的解析式；(2)求点A和点的坐标；(3)求直线与直线以及轴所围成的三角形的面积．13．如图，长方形中，，．点P在上运动，设，图中阴影部分的面积为y．(1)求阴影部分的面积y与x之间的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围；(2)当阴影部分的面积等于20，请求出此时的值？14．小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发xmin后距出发点的距离为ym．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为（4，0）．(1)小亮下坡的速度是

m/min；(2)求出AB所在直线的函数关系式；(3)如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？15．地球上的淡水资源是有限的，为节约用水，某公司准备购进A型和型两种设备共台，用于将雨水和生产用水再次收集与重复循环使用．已知购进A型设备台、型设备台，共需万元；购进A型设备台、型设备台，共需万元．(1)购买A型设备和型设备每台各需多少万元？(2)已知A型和型设备每台每天处理的循环水量分别为吨和吨，若该公司购买A型和型两种设备的总费用不超过万元，为确保这台设备每天处理的循环水量不少于吨，则该公司有几种购买方案？哪种购买方案费用最少？【培优检测】1．已知直线不经过第三象限，则k的取值的范围是（）A． B． C． D．2．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，，若点在的内部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（）A． B．1 C． D．4．一次函数在平面直角坐标系中与y轴交于点，与x轴交于点B，且的面积为6，则k的取值为（

）．A． B． C． D．5．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地．同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的有（）①A、B两地相距120千米；②出发1小时，货车与小汽车相遇③出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米；④小汽车的速度是货车速度的2倍．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为___________．7．快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是______．8．如图，正方形的边长为2，点分别在直线上，点在x轴上，直线与交于点E，则的面积为_________．9．如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．10．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．三、解答题11．如图，在直角坐标系中，先描出点．(1)点B与点E关于x轴的对称点，写出E的坐标______；(2)在x轴上找一点P，使周长最小．12．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．(1)货车行驶的速度为______；(2)求所在直线的函数解析式；(3)直接写出两车出发多长时间相距．13．某商品共200吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并且按这三种方式销售，计划每吨的平均售价及成本如下表：销售方式批发零售储藏后销售售价/（元/吨）300045005500成本/（元/吨）200030003500若经过一段时间，商品按计划全部售出获得的总利润为y（元），其中零售x（吨），且零售量是批发量的一半．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)由于受条件限制、经冷库储藏售出的商品数量最多为80吨，求该生产基地按计划全部售完商品获得的最大利润．14．近几年在国家政策的大力扶持及我市果农辛苦努力之下“天水大樱桃”闻名全国，今年又是樱桃大丰收年，一果农带若干千克自产的大樱桃在市场出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又降价出售，售出的樱桃千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题．(1)该果农自带的零钱是多少?(2)试求降价前y与x之间的函数关系式．(3)由表达式求出降价前每千克的樱桃价格是多少?(4)降价后他按每千克20元将剩余樱桃售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是1350元，试问他一共带了多少千克樱桃？15．如图1．函数与轴交于点，与y轴交于点，点与点关于轴对称．(1)①直接写出点C的坐标___________；②求直线BC的函数解析式；(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP=∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．专题6.4用一次函数解决问题【教学目标】掌握一次函数的应用——方案最优化问题；掌握一次函数的应用——行程问题；3、掌握一次函数的应用——几何问题；【教学重难点】掌握一次函数的应用——方案最优化问题；掌握一次函数的应用——行程问题；3、掌握一次函数的应用——几何问题；【知识亮解】亮题一：一次函数的应用—方案最优化问题【例1】★★为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．（1）求篮球和足球的单价；（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），求y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．【分析】（1）根据一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得篮球和足球的单价；（2）根据题意可以得到y与x的函数关系式；（3）根据（2）中的关系式和题意，可以得到购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．【答案】解：（1）设篮球和足球的单价分别为x元、y元，，得，答：篮球和足球的单价分别为120元、90元；（2）∵购买篮球x个，购买篮球和足球共100个，∴购买足球（100﹣x）个，∴y＝120x+90（100﹣x）＝30x+9000，即y与x的函数关系式为y＝30x+9000；（3）∵集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，∴30x+9000≤10500，解得，x≤50，又∵x≥40，∴40≤x≤50，∵y＝30x+9000，∴当x＝40时，y取得最小值，此时y＝10200，100﹣x＝60，答：购买篮球和足球分别为40个、60个时，能使总费用y最小，y的最小值是10200．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【例2】★★（2020八下·温岭期末）我市人民医院准备从医疗器械销售公司采购A、B两种医疗器械共80件，其中A种器械不少于40件，B种医疗器械的数量不少于A种器械的，已知A种器械的售价为每件360元，B种器械的售价为每件400元。（1）请写出人民医院在这次采购中所需资金y(元)与采购A种医疗器械x(件)的函数解析式，并写出自交量x的取位范围；（2）为了积极应对本次新冠肺炎疫情，人民医院拿出27000元经费用于采购这80件医疗器械，请问经费是否够用，如果不够)至少还需要经费多少元？【答案】（1）解：由题意得：y=360x+400（80-x）=-40x+32000.

∵A种器械不少于40件，B种医疗器械的数量不少于A种器械的，

∴

解之：40≤x≤50

∴x的取值范围是40≤x≤50.

（2）解：∵x的取值范围是40≤x≤50

当x=40时，y=30400

当x=50时，y=30000

∴y的取值范围是：30000≤y≤30400.

所以经费不够用，至少还需要30000-27000=3000元.

答：经费不够用，至少还需要3000元.

【分析】（1）根据y=A器械的单价乘以其数量+B器械的单价【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用，一次函数的实际应用【解析】（1）乘以其数量，列出y与x的函数解析式，再根据A器械的数量≥40,；B器械的数量≥A器械的数量×，由此建立不等式组，求出不等式组的解集。（2）根据x的取值范围可求出y的取值范围，即可作出判断；再求出至少还需要的经费。【例3】★★某公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择．方式一：邮车运输，装卸收费600元，另外每千米加收4元；方式二：火车运输，装卸收费1200元，另外每千米加收2元．（1）分别写出邮车、火车运输的总费用（元），（元）与路程（千米）之间的函数解析式；（2）为了节省运费，该公司应选择上述的哪种运输方式呢？请说明理由．【答案】（1）解：由题意可得，

（2）解：当时，得，即当时，应选择方式一当时，得，即当时，两种方式运费费一样当时，得，即当时，应选择方式二答：由上可得，当（千米）时，选择运输方式一可节约运费，当（千米）时，选择运输方式二可节约运费．【考点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）根据总费用=装卸费用+每千米加收费用×进行计算即得；

（2）分三种情况讨论①当y1＜y2，②当y1=y2，③当y1＞y2，分别解答即可.【例4】★★★（2020八下·来宾期末）某服装店销售10套A品牌运动装和20套B品脾运动装的利润为4000元，销售20套A品牌运动装和10套B品牌运动装的利润为3500元。（1）该服装店计划一次购进两种品牌的运动装共100套，设服装店购进A品牌运动装x套，这100套运动装的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式；（2）在(1)的条件下，若B品牌运动装的进货量不超过A品牌的2倍，该服装店购进A、B两种品牌运动装各多少套，才能使销售总利润最大?（3）实际进货时，厂家对A品牌运动装出厂价下调，且限定超市最多购进A品牌运动装70套，A品牌运动装的进价降低了m(0<m<100)元，若服装店保持两种运动装的售价不变，请你根据以上信息及(2)中的条件，设计出使这100套运动装销售总利润最大的进货方案。【答案】（1）解：设每套A品牌运动装的销售利润为a元，每套B品牌运动装的销售利润为b元依题意得解得∴，y=100x+150(100-x)=-50x+15000

（2）解：依题意得100-x≤2x，解得x≥33∵y=-50x+15000，-50<0∴，y随x的增大而减小∵，x为整数，当x=34时，y取得最大值，此时，100-x=66∴，该服装店购进34套A品牌运动装和66套B品牌运动装，才能使销售总利润最大

（3）解：依题意得y=(100+re)x+150(100-x)=（m-50)x+15000(33<x≤70)①当0<m<50时，m-50<0，y随x的增大而减小，∴，当x=34时，y取得最大值。∴，当A品牌运动装的进价降低低于50元时，服装店购进34套A品牌运动装和66套B品牌运动装才能获得最大利润；②当m=50时，m-50=0，y=15000，∴，当月品牌运动装的进价降低50元时，服装店购进A品牌的运动装数量满足33≤x≤70的整数，B品牌运动装为(100-x)套时，均获得最大利润；③当50<m<100时，m-50>0，y随x的增大而增大，∴，当x=70时，y取得最大值。∴，当A品牌运动装的进价降低大于50元且小于100元时，服装店购进70套A品牌运动装和30套B品牌运动装才能获得最大利润。【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用，一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）题中关键已知条件为：销售10套A品牌运动装和20套B品脾运动装的利润为4000元，销售20套A品牌运动装和10套B品牌运动装的利润为3500元，列方程组求出每套A、B品牌运动装的销售利润，再利用总利润y=每一件A的利润×数量+每一件B的利润×数量，可列出y与x的函数解析式。

（2）根据B品牌运动装的进货量不超过A品牌的2倍，建立不等式，可得到x的取值范围，再利用一次函数的增减性可求出结果。

（3）根据题意求出y与x的函数解析式，再分情况讨论：①当0<m<50时，m-50<0，y随x的增大而减小；②当m=50时，m-50=0，y=15000；③当50<m<100时，m-50>0，y随x的增大而增大；即可求出这100套运动装销售总利润最大的进货方案。【例5】★★（2020八下·湘桥期末）为了更好服务我市创建“国家卫生城市”工作，某商场购进A，B两种新型号的垃圾箱共100个进行销售，两种新型号垃圾箱的进价和售价如下表所示，设商场购进A型垃圾箱x个（x为正整数)，且所购进的两种型号垃圾箱能全部卖出，获得的总利润为W元。（1）求总利润W关于x的函数关系式。（2）如果购进两种垃圾箱的总费用不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润。A型垃圾箱B型垃圾箱进价（元/个）6254售价（元/个）7660【答案】（1）解：设购进A型垃圾箱x个，则购进B型垃圾箱（100-x）个，W=（76-62）x+（60-54）（100-x）=8x+600，

（2）解：由题意得：62x+54（100-x）≤6000即8x+5400≤6000，解得：x≤75，∵W=8x+600，K=8>0∴W随x的增大而增大，∴当x=75时，W=8×75+600=1200元100-x=25(个)答：当购进A型垃圾箱75个，购进B型垃圾箱25个时，获利最大，最大利润为1200元【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，一次函数的性质【解析】【分析】（1）根据利润的公式，表示出w的关系式即可；

（2）根据总费用不超过6000，列出不等式，即可得到答案。【例6】★★（2020八下·横县期末）已知一次函数.（1）若函数图象经过原点，求k的值；（2）若随的增大而减小，求k的取值范围.【答案】（1）解：当且时，函数图象经过原点，∴时，函数图象经过原点.

（2）解：当时，y随x的增大而减小，∴时，y随x的增大而减小.【考点】一次函数的性质【解析】【分析】（1）函数图象经过原点，把（0,0）代入一次函数，并且一次项系数不能为0，可以得出k的值。

（2）根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次项系数k-1＜0，可求出k的取值范围。【例7】★★（2020八下·揭阳期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品，某品牌的圆珠笔每支需要40积分，笔芯每支需要10积分，现积分超市推出以下两种活动：活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣积分：活动二：兑换一支圆珠笔送两支笔芯.王叔叔有1000积分，想兑换这种圆珠笔10支，笔芯x支（x≥20）.（1）请你分别写出活动一、活动二兑换所需的积分y1y2与笔芯x（支）之间的函数关系式；（2）若只能选择一种兑换活动，请你帮助王叔叔判断选择哪种活动更优惠.【答案】（1）解：由题意可得：y1=（40×10+10x）×0.8=8x+320y2=40×10+10（x-10×2）=10x+200

（2）解：当y1=y2时，8x+320=10x+200，得x=60，当y1<y2时，8x+320<10x+200，得x>60；当y1>y2时，8x+320>10x+200，得x<60；当y1=1000时，8x+320=1000，得x=85，当y2=1000时，10x+200=1000，得x=80，∴当x=60时，选择活动一和活动二一样优惠，当60<x≤85时，选择活动一更优惠，当20≤x<60时。选择活动二更优惠。【考点】一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数表达式【解析】【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，然后化简，即可求解.

（2）分三种情况讨论：当y1=y2时，解得x=60；当y1<y2时，解得x>60；当y1>y2时，解得x<60；当y1=1000时，解得x=85；当y2=1000时，解得x=80，即可求解.【例8】★★（2020八下·韩城期末）甲、乙两店销售同一种蔬菜种子.在甲店，不论一次购买数量是多少，价格均为4.5元/kg.在乙店价格为5元/

kg，如果一次购买2kg以上的种子，超出2kg部分的种子价格打8折.设小明在同一个店一次购买种子的数量为xkg.（）.（1）设在甲店花费元，在乙店花费元，分别求，关于x的函数解析式；（2）若小明计划在同一个店将45元全部用于购买这种蔬莱种子，则他在哪个店购买种子的数量较多？【答案】（1）解：由题意可得，当时，.当时，

（2）解：当时，在甲店中，，得.在乙店中，，得.∵，∴在乙店购买的数量较多【考点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）根据总价=单价×数量，y1=4.5x，y2为分段函数，分和；

（2）令y=45，分别求出在甲店和乙店购买种子的数量，然后进行比较即可。【例9】★★★（2020八下·马山期末）某经销商从市场得知如下信息：A品牌手机B品牌手机进价（元/部）700100售价（元/部）900160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手机共100部，设该经销商购进A品牌手机X部，这两种品牌手机全部销售完后获得利润为y元。（1）试写出y与x之间的函数关系式：（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？

（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）解：依题意得:

（2）解：依题意得:

解得依题意得:∴∴∴经销商有以下三种进货方案：方案A品牌（部）B品牌（部）①

4852②

4951③

5050

（3）解：∵y=140x+6000中，k=140>0∴y随x的增大而增大∴x=50时，y取得最大值最大值为：y=14050+6000=13000∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元

【考点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【分析】（1）A品牌手机x部，则B品牌手机（100-x）部；根据题意列出函数关系式；

（2）找出不等量关系利润不少于1.26万元，但是进价要不大于40000，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集，得出x的整数值为：48、49、50，进而求出进货方案。

（3）根据一次函数的性质，y=140x+6000中，k=140>0，y随x的增大而增大，当x最大时，y最大。亮题二：一次函数的应用—行程问题【例1】★（2020八下·来宾期末）已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米／小时，若用x表示行走的时间(小时)，Y表示余下的路程(千米)，则y关于x的函数解析式是(

)A.

y=4x(x>0)

B.

y=4x-3(x≥)

C.

y=3-4x(x≥0)

D.

y=3-4x(0≤x≤)【答案】D【考点】根据实际问题列一次函数表达式【解析】【解答】解：由题意得y+4x=3

∴y=3-4x.

∴

∴.

故答案为：D.

【分析】由题意可知剩下路程+平均速度×行走的时间=3，可得到y与x的函数解析式，根据x≥0，y≥0可求出自变量x的取值范围。【例2】★★★甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙车从B地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数．（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车行驶速度和图中括号内应填入的数据；（2）根据函数图象中的数据可以得到甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式；（3）根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．【答案】解：（1）乙车从B地到A地用的时间为：400÷80＝5（小时），甲车的速度为：400÷[（3+5+1﹣1）÷2]＝100（千米/小时），图中括号内正确的数是3+5+1＝9，故答案为：9；（2）设甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式为y＝kx+b，∵点D（4，400），点E（8，0）在线段DE上，∴，得，即甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式是y＝﹣100x+800；（3）当乙出发1小时时，乙走的路程是1×80＝80（千米），此时甲乙的距离是：100×（3+1）﹣80＝320（千米），当乙出发2小时时，乙走的路程是1×80＝80（千米），此时甲乙的距离是：﹣100×（3+2）+800﹣80＝220（千米），设乙车出发t小时，两车恰好相距80千米，（t﹣1）×80+100（t+3）﹣400＝400﹣80或（t﹣1）×80+100（t+3）﹣400＝400+80，解得，t＝或t＝，即乙车出发小时或t＝小时时，两车恰好相距80千米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【例3】★★★（2020八下·温岭期末）如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿解坡DC滚下坡，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0……往返运动至小球停止;图2是某小球在运动过程中，速度，(cm/s)和时间r(s)的部分函数图象.(在同一段路程中，路程S=v平均·t，

v平均=

)（1）根据图象，求小球第一次从点B运动到点C时，速度v关于时间的函数解析式；（2）求第一次在斜披CD上滚动的最大距离；（3）在图2中画出第一次返回时ν关于r的函数图象；（4）直接写出当小球停止时所走过的总路程.【答案】（1）解：小球第一次从B运动到C的对应的函数图像为线段EF，

设线段EF的解析式为v=kt+b

∵点E（3，6），点F（5，4）

∴

解之：

∴函数解析式为v=-t+9；

（2）解：由图像可知小球在C处时速度最大为4cm/s，运动了1s，速度为0cm/s

∴CD段的平均速度为（cm/s）

∴第一次在斜披CD上滚动的最大距离为1×2=2cm.

（3）如图所示，

（4）31cm【考点】分段函数，一次函数的图象，一次函数的实际应用【解析】【解答】解：（4）由（3）可知当小球停止时所走过的总路程为：

=9+10+2+2+8=31.

【分析】（1）观察函数图像结合已知条件可知小球第一次从点B运动到点C时的图像是线段EF，由点E，F的坐标，利用待定系数法可求出此函数解析式。

（2）先求出CD段的平均速度，由图像可得到开始的速度和结束的速度，利用公式可求出平均速度；然后用平均速度×时间，可求出第一次在斜披CD上滚动的最大距离。

（3）根据已知条件画出第一次返回时ν关于r的函数图象即可。

（4）利用平均速度公式分别求出各段的平均速度，再用平均速度×时间，可求出各段的路程，然后求和即可。【例4】★★（2020八下·横县期末）在A，B两地间有一条水泥二级公路连接，甲车从A地出发前往B地到B地停止，乙车从B地出发前往A地到A地停止，两车同时出发，并以各自的速度匀速行驶.设甲车离A地的距离为（km），乙车离A地的距离为（km）.甲车行驶时间为（h），，与的函数关系图象如图所示.（1）分别求出，与x的函数关系式；（2）直接写出点P的坐标并解析该点坐标所表示的实际意义；（3）若两车间的距离为S（千米），写出S关于x的函数关系式.【答案】（1）解：设，与x的函数关系式分别为=和=.直线=经过点（3,120）得120=3=40∴与x的函数关系式为=40直线=经过点（0,120）和（2,0）得解得∴直线BD的解析式为=+120

（2）解：点P的坐标为（1.2,48）该点坐标所表示的实际意义是：甲，乙车行驶至1.2小时时相遇，此时两车离A地的距离均为48千米.

（3）解：①两车相遇前：S=120-100②两车相遇时：S=0③两车相遇后，乙车未到A地：S=100-120④两车相遇后，乙车已到A地：S=40【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】（2）在点P，y1和y2的函数值相同，y1=y2；

即40x=-60x+120

解得:x=1.2

把x=1.2代入y1=40x

y=40×1.2=48

即点P的坐标为（1.2,48）

【分析】（1）y1是正比例函数，只需要一个点的坐标（3,120），把点（3,120）代入，求出k的值即可；

y2是一次函数，需要两个点的坐标（0,120）和（2,0），把点（0,120）和（2,0）分别代入，求出k和b的值即可。

（2）P点表示y1和y2的函数值相同，令40x=-60x+120，求出x，进而求出P点坐标（1.2,48），P点表示甲，乙车行驶至1.2小时时相遇，此时两车离A地的距离均为48千米。

（3）分情况讨论①两车相遇前；②两车相遇时；③两车相遇后，乙车未到A地；④两车相遇后，乙车已到A地。【例5】★★（2020八下·韩城期末）端午节期间，小刚一家乘车去离家380的某地游玩，他们离家的距离（）与汽车行驶时间x（）之间的三段函数图象如图所示：（1）汽车在段与段哪段行驶的速度较快？（2）求线段AB对应的函数解析式；（3）小刚一家出发1.5小时时离目的地多远？【例6】★★★.（2020八下·福州期中）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小红步行从甲地到乙地，每分钟走100米，小龙骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地．设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段，折线分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象．（1）小龙骑车的速度为________米/分钟；（2）B点的坐标为________；（3）小龙从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为________；（写出t的取值范围）（4）小红和小龙二人________先到达乙地，先到________分钟．【答案】（1）200

（2）（14，2400）

（3）s=200t(0＜t≤12)

（4）小红；2【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：(1)由图可知：折线OAED表示小龙的运动图形，EF表示小红的运动图形，故小龙骑车的速度为：2400÷12=200米/分钟；故答案为：200米/分钟；(2)由图可知：A点坐标为(12,2400),∵小龙到达甲地后休息了2分钟，∴B点坐标为(14,2400)；故答案为：(14,2400);(3)小龙从乙地到甲地，对应的是图中线段OA，故设OA所在直线的解析式为：s=kt代入A(12,2400),即：2400=12k解得k=200，故s与t之间的函数表达式为：s=200t(0＜t≤12)故答案为：s=200t(0＜t≤12).(4)小红在图中F点到达乙地，小龙在图中D点到达乙地，故小红用的时间更短，∴小红先到达乙地小红的速度为每分钟100米，路程为2400米∴小红到达乙地所用的时间为：2400÷100=24分钟；小龙去时和回时的速度相同，均为200米/分钟，且路程相同，∴回来所有的时间和去时所用时间相同，为12分钟，加上中途休息的2分钟，故小龙一共用时：12+2+12=26分钟；26-24=2，∴小红比小龙先到2分钟.故答案为：小红先到乙地，先到2分钟.【分析】(1)由于小龙中间休息了2分钟，对应的是图中AB段，故折线OABD对应的是小龙的函数关系图像，EF是小红对应的函数图像，由OA段即可求出小龙骑车速度；(2)由A点横坐标加2即得B点横坐标，进而求出B点坐标；(3)即求图中OA段正比例函数所对应的解析式即可；(4)谁用的时间短就表示谁先达到乙地，由图即可求解.【例7】★★★.（2020八下·贵阳开学考）甲开车从距离B市100千米的A市出发去B市，乙从同一路线上的C市出发也去往B.市，二人离A市的距离与行驶时间的函数图像如图所示（y代表距离，x代表时间）（1）C市离A市的距离是________千米；（2）甲的速度是________千米∕小时，乙的速度是________千米∕小时；（3）________小时，甲追上乙；（4）试分别写出甲、乙离开A市的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系式.【答案】（1）28

（2）40；12

（3）1

（4）解：设甲离开A市的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系式为：=x,乙离开A市的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系式为：=x+b，由题意，得40=，∴=40x(0≤x≤2.5).由，解得：

，∴=12x+28(0≤x≤6).【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：(1)由函数图象可以直接得出C市离A市的距离是28千米.故答案为28；(2)由函数图象可以直接得出甲的速度为40千米∕小时，乙的速度为12千米∕小时.故答案为40，12；(3)由函数图象可以直接得出1小时，甲追上乙.故答案为1；【分析】（1）由函数图象可以直接得出C市离A市的距离是28千米；（2）由函数图象可以直接得出甲的速度为40千米∕小时，乙的速度为12千米∕小时；（3）由函数图象可以直接得出1小时，甲追上乙；（4）设甲离开A市的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为y甲=x，乙离开A市的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为y乙=x+b，由待定系数法求出其解即可.【例8】★★.（2020八上·昌平期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程米与时间分钟的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（1）a=________，b_=________，m=________；（2）若小军的速度是120米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？【答案】（1）10；15；200

（2）解：根据题意可得：线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200（x-15）=200x-1500；线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x．联立两函数解析式成方程组，，解得：，∴3000-2250=750（米）．答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．

（3）解：根据题意得：|200x-1500-120x|=100，解得：x1==17.5，x2=20，17.5-15=2.5（分钟），20-15=5（分钟）．答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，2.5分钟和5分钟时与小军相距100米．【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：（1）1500÷150=10（分钟），10+5=15（分钟），（3000-1500）÷（22.5-15）=200（米/分）．故答案为：10；15；200．【分析】（1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度=路程÷时间，即可求出m的值；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x的值，用其减去15即可得出结论；【答案】（1）解：段汽车行驶的速度为：（），段汽车行驶的速度为：（），故汽车在段行驶的速度较快

（2）解：设段图象的函数表达式为.∵，在上，∴解得：∴（）

（3）解：当时，，（）.故小刚一家出发1.5小时时离目的地240远【考点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）根据速度=路程时间和函数图像，分别求出OA段，BC段的速度，进行比较；

（2）A、B两点的坐标，待定系数法求出AB段的解析式；

（3）当x=1.5时，对应AB段解析式，代入即可求出y值，进而求出离目的地的距离。【亮点训练】1．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据菜园的三边的和为12m，即可得出一个与的关系式．【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m，，，，，，解得，，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m，列出关于，的方程是解决问题的关键．2．直线经过一、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线y=kx+b经过第一、三、四象限可以确定k、b的符号，则易求-k的符号，由b，-k的符号来求直线y=bx-k所经过的象限．【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴-k＜0，∴直线y=bx-k经过第二、三、四象限．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物重量的关系如下表所示：弹簧总长1617181920重物重量0.51.01.52.02.5当重物重量为（在弹性限度内）时，弹簧总长L是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x=5时，代入函数解析式求值即可．【详解】解：根据题意得：弹簧总长与重物重量是一次函数的关系，设弹簧总长与重物重量函数关系式为，把（0.5，16），（1.0，17）代入得：，解得：，∴弹簧总长与重物重量函数关系式为，当时，，即当重物重量为（在弹性限度内）时，弹簧总长L是26cm．故选：D【点睛】此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到x千克重物在原来基础上增加的长度．4．小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发，匀速相向而行小李的速度大于小王的速度，小李到达乙地后，小王继续前行.设出发小时后，两人相距千米，如图所示，折线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中与之间的函数关系．下列说法错误的是（

）A．点的坐标意义是甲、乙两地相距千米B．由点可知小时小李、小王共行走了千米C．点表示小李、小王相遇，点的横坐标为D．线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程【答案】C【分析】根据已知及函数图象，逐项判断即可．【详解】点A表示时，即甲、乙两地相距千米，故A说法正确，不符合题意；点表示时，可知小李、小王共行走了（千米），故B说法正确，不符合题意；由小时小李、小王共行走了千米知二人速度和为（千米/时），点表示小李、小王相遇，相遇的时间是（小时），即点的横坐标是，故C说法错误，符合题意；由已知可得，线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程，故D说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，理解图中特殊点表示的意义．5．如图所示，若直线与轴的交点为，与轴的交点为，过点作于点，则的长为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】根据题意可以求得点A和点B的坐标，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据一个三角形底与高的积一定，可得结果．【详解】解：令x＝0则y＝3，令y＝0，则x＋3＝0解得x＝4，所以，OA＝3，OB＝4，由勾股定理，AB＝，∴OC＝＝故选：A．【点睛】本题考查一次函数与三角形的综合，能灵活的转化坐标为线段的长度是解题的关键．二、填空题6．平面直角坐标系中，直线m坐标轴交于；若，则直线m的解析式为___________．【答案】或【分析】先根据三角形面积求出的长，进而求出点A的坐标，即可求出直线m的解析式【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，当时，则，设直线m的解析式为，∴，∴，∴直线m的解析式为；同理当时，求得直线m的解析式为；故答案为：或．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出点A的坐标是解题的关键．7．如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费_________元．【答案】6.4【分析】用待定系数法求出直线BC的函数表达式，再求出当t=7时的函数值即可．【详解】解：由图可知B（3，2.4），C（5，4.4），设直线BC的函数表达式为：y=kt+b，将点B和点A的坐标代入得：，解得，∴直线BC的函数表达式为：，当t=7时，y=7-0.6=6.4．故答案为：6.4．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，根据函数图象求解一次函数是表达式是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则点B是强点．若强点在第一象限，且在直线（b为常数）上，则b的值为_____________．【答案】9【分析】根据“强点的定义”可得求解a的值，再代入一次函数的解析式求解b即可．【详解】解：∵强点在第一象限，∴解得：∵在直线（b为常数）上，∴解得：故答案为：9【点睛】本题考查的是“强点的定义”，一次函数的性质，掌握“点在一次函数的图象上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．9．如图1，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活．如图2是杆秤示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如下一组数据，已知表中有一组数据错了．若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为___________斤．秤砣到秤纽的水平距离（）124712秤钩所挂物体重量（斤）0.751.002.002.253.50【答案】4.5【分析】在平面直角坐际系中描点，连线，画出图象，从图中发现（4，200）这组数据错了，和用正确的数组，列方程组，求出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式，再把x=16代入，即可求解．【详解】解：在平面直角坐标系中描出点（1，0.75），（2，1.00），（4，2.00），（7，2.25），（12，3.50），如图，从图中发现（4，2.00）这组数据错了，设秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为y=kx+b，把（1，0.75），（2，1.00）代入得：，解得：，所以秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为y=0.25x+0.5，当x=16时，y=0.25×16+0.5=4.5，∴秤钩上所挂物体的重量为4.5斤．故答案为：4.5【点睛】本题主要考查了描法画函数图象，利用图象发现错误数据，求一次函数表达式，会求函数值，熟练掌握描点法画函数图象，和用图象发现错误数据，一次函数表达式，会函数值是解题的关键．10．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数．如表是小明记录的部分数据，请根据表中的数据确定当为时，对应的时间为_________．……123…………2.42.83.2……【答案】20【分析】设水位与时间的关系式为，用待定系数法求出解析式即可.【详解】解：设水位与时间的一次函数关系式为，代入表中数据得，解得：，∴水位与时间的一次函数关系式为.把代入到中，，解得，故答案为：20.【点睛】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.三、解答题11．如图，已知点)、点．(1)求直线的函数表达式；(2)若C为直线上一动点，当的面积为3时，求点C的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，由的面积为3，求出，据此求解即可．【详解】（1）解：设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为；（2）解：∵，∴，∵的面积为3，∴，∴，∴，当时，，当时，，∴或．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出直线解析式是解题的关键．12．将直线先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，所得新的直线与轴、轴分别交于A、两点，另有一条直线．(1)求的解析式；(2)求点A和点的坐标；(3)求直线与直线以及轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）利用平移规则：左加右减，上加下减，进行计算即可；（2）分别令，，求出坐标即可；（3）如图，将和联立方程组求出交点的坐标，根据三角形的面积，进行计算即可．【详解】（1）直线先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得，化简得：．（2）当时，．解得，即；当时，，；（3）解：如图，D为两直线的交点，则：，解得：，∴，当时，，即与的交点坐标为，∴．【点睛】本题考查一次函数的平移以及一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数的平移规则，求出函数解析式是解题的关键．13．如图，长方形中，，．点P在上运动，设，图中阴影部分的面积为y．(1)求阴影部分的面积y与x之间的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围；(2)当阴影部分的面积等于20，请求出此时的值？【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长方形面积减去的面积进行列式，即可得出y与x的函数关系式；（2）令，求出x即可得出答案．【详解】（1）解：∵在长方形中，，，，∴图中阴影部分的面积为：；（2）解：当时，即，解得，即．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．14．小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发xmin后距出发点的距离为ym．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为（4，0）．(1)小亮下坡的速度是

m/min；(2)求出AB所在直线的函数关系式；(3)如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【答案】(1)180(2)y=﹣180x+1200(3)5分钟【分析】（1）通过图像得到M点的坐标，利用路程，速度，时间的关系解题即可．（2）先求出点A的的坐标，再利用待定系数法求解析式即可．（3）求出小刚和小亮的速度后解题即可．（1）解：∵M（4，0），由图象得点B的坐标为：（4，480），∴小亮上坡的速度为：480÷4=120m/分钟．∴小亮的下坡速度为：120×1.5=180m/分钟故答案为：180；（2）480÷180=2，A（，0）．设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意，得，解得，直线AB的解析式为：y=﹣180x+1200；（3）∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，且小亮的上坡速度为：120m/分钟．∴小刚上坡速度为：120÷2=60m/分钟．设两人出发x分钟后第一次相遇，由题意得：（x﹣4）×180+60x=480，解得：x=5．故两人出发后5分钟第一次相遇．【点睛】本题主要考查一次函数在行程问题上的应用，能够利用条件求点的坐标并利用待定系数法求解析式是解题关键．15．地球上的淡水资源是有限的，为节约用水，某公司准备购进A型和型两种设备共台，用于将雨水和生产用水再次收集与重复循环使用．已知购进A型设备台、型设备台，共需万元；购进A型设备台、型设备台，共需万元．(1)购买A型设备和型设备每台各需多少万元？(2)已知A型和型设备每台每天处理的循环水量分别为吨和吨，若该公司购买A型和型两种设备的总费用不超过万元，为确保这台设备每天处理的循环水量不少于吨，则该公司有几种购买方案？哪种购买方案费用最少？【答案】(1)购买A型设备需25万元，购买B型设备需22万元．(2)有3种方案：方案一：设购买A型设备4台，则需要B型设备6台；方案二：设购买A型设备5台，则需要B型设备5台；方案三：设购买A型设备6台，则需要B型设备4台；方案一费用最小．【分析】（1）设购买A型设备需万元，购买B型设备需万元，根据题意列出二元一次方程组，进行求解即可；（2）设购买A型设备台，则需要B型设备台，根据题意列出一元一次不等式组，进行求解即可．（1）解：设购买A型设备需万元，购买B型设备需万元，由题意得：，解得：，答：购买A型设备需25万元，购买B型设备需22万元．（2）解：设购买A型设备台，则需要B型设备台，由题意得：，解得：；∵为整数，∴可以取：，故有3种方案：方案一：设购买A型设备4台，则需要B型设备6台；方案二：设购买A型设备5台，则需要B型设备5台；方案三：设购买A型设备6台，则需要B型设备4台；设总费用为万元，则：，∵，∴随着的增大而增大，∴当时，最小=；∴方案一费用最小．答：有3种方案：方案一：设购买A型设备4台，则需要B型设备6台；方案二：设购买A型设备5台，则需要B型设备5台；方案三：设购买A型设备6台，则需要B型设备4台；方案一费用最小．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．根据题意正确的列出方程组和不等式组是解题的关键．在进行方案选择时，可以利用一次函数的性质求最小值．【培优检测】1．已知直线不经过第三象限，则k的取值的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，直线不经过第三象限即有三种可能性：①直线经过第一、二、四象限；②直线只经过第二、四象限；③直线只经过第一、二象限．然后分别进行求解即可．【详解】解：直线不经过第三象限，分三种情况讨论：①直线经过第一、二、四象限，则,解得：；②直线只经过第二、四象限，则必经过原点，；③直线只经过第一、二象限，则直线与x轴平行且在x轴上方，，；综上所述，k的取值的范围是：；故选：D．【点睛】此题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像的位置与系数的关系是解决此题的关键．2．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，，若点在的内部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求得直线与x轴的交点坐标，由题意得当时，一次函数的函数值应大于点P的纵坐标，再由已知可得关于m的不等式组，解不等式组即可．【详解】解：当时，，解得：，点的坐标为．当时，，点在的内部，，解得：．故选：．【点睛】本题考查了一次函数的图象及解不等式组，关键是数形结合得到不等式组．3．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．【详解】解：由已知可得，∴三角形是等腰直角三角形，∵，∴，又∵P是线段上动点，将线段绕点A逆时针旋转45°，∴P在线段上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，∴当P在O点时对应的在N点，此时AO=AN，当P在C点时对应的在M点,此时AM=AC∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，∴当线段与垂直时，线段的值最小，在中，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．4．一次函数在平面直角坐标系中与y轴交于点，与x轴交于点B，且的面积为6，则k的取值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】设，得到，根据，得到，得到，解得，得到，或，得到，或，根据，，推出，解得；根据，，推出，解得，得到．【详解】设，则，∵，∴，∴，∴，∴，或，∴，或，当，时，代入，得，，解得，∴；当，时，代入，得，，解得，，∴．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形，二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握三角形面积公式，待定系数法求系数，解二元一次方程组．5．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地．同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的有（）①A、B两地相距120千米；②出