《数学》复习人教A（新高考）-数列热点问题

教材·高考·审题答题数列热点问题内容索引三年真题考情教材链接高考教你如何审题///////123//////////////满分答题示范热点跟踪训练///////45///////三年真题考情1核心热点真题印证核心素养等比(差)数列的判定与证明2019·全国Ⅱ卷，19；2018·全国Ⅰ卷，17；2017·全国Ⅰ卷，17逻辑推理、数学运算通项与求和2020·新高考山东，18；2020·全国Ⅲ卷，17；2020·全国Ⅰ卷，17；2018·全国Ⅱ卷，17数学运算、数学建模等差与等比数列的综合问题2020·全国Ⅲ卷，17；2020·天津，19；2020·浙江，20；2019·全国Ⅰ卷，18；2019·全国Ⅱ卷，18；2018·全国Ⅰ卷，17数学运算、逻辑推理教材链接高考2等比(差)数列的判定与证明1.(教材必修5P50例2)根据图2.4－2中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？2.(教材必修5P69B6)已知数列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？【链接高考】(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； 证明

由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.

又因为a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.【链接高考】(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (2)求{an}和{bn}的通项公式.教你如何审题31.本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立，体现了对数学基础知识、基本方法的重点考查.另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.探究提高【尝试训练】(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； 解设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.

因为a1＋a2＝4，a3－a1＝8， 所以{an}的通项公式为an＝3n－1.【尝试训练】(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.

解由(1)知log3an＝n－1.

所以数列{log3an}是首项为0，公差为1的等差数列， 由于Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，得m(m－1)＋(m＋1)m

＝(m＋3)(m＋2)， 即m2－5m－6＝0.

解之得m＝6或m＝－1(舍去).

所以实数m的值为6.满分答题示范4数列的通项与求和【例题】(12分)(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通项公式；

[规范解答]

解

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0). (由条件建立方程组求公差和公比)………………3′

故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n

所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n.………………5′解

a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n).记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由条件式转化为关于d，q的方程组，由公式求an，bn，在第(2)问中观察数列的结构特征先分组，后用错位相减法求和.❷得关键分：(1)列方程组，(2)分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第(1)问中的解方程，起着至关重要的作用，第(2)问中的错位相减法求和是计算中的难点.……由题设条件列方程组求基本量……求{an}，{bn}的通项公式……根据数列的特征，分组求和……利用错位相减法求Tn……反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列{an}，由①－②得5热点跟踪训练将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.解（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.所以{an}的通项公式为an＝n·2n－1.2.(2021·沈阳模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝1，a5＝3b2.在①a3＋b3＝14，②a1b5＝81，③S4＝4S2这三个条件中任选一个，回答下列问题：

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解若选①，a3＋b3＝14， 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，若选②，a1b5＝81，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q＞0).因为a1＝b1＝1，所以bn＝3n－1.又因为a5＝3b2，所以1＋4d＝3×3，解得d＝2，所以an＝2n－1.若选③，S4＝4S2，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q＞0).因为a1＝b1＝1，a5＝3b2，则an＝2n－1，bn＝3n－1.2.(2021·沈阳模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝1，a5＝3b2.在①a3＋b3＝14，②a1b5＝81，③S4＝4S2这三个条件中任选一个，回答下列问题：

(2)如果am＝bn(m，n∈N*)，写出m，n的关系式m＝f(n)，并求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解因为am＝bn，3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1)求{an}的公比； 解设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2.

所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.

故{an}的公比为－2.3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.

解记Sn为{nan}的前n项和.

由(1)及题设可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n·(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.

所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n4.(2021·重庆调研)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36. (1)求数列{an}的通项公式an； 解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.解

选条件①选条件②∵an＝2n，bn＝(－1)nan，∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，当n为偶数时，Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]当n为奇数时，n－1为偶数，Sn＝(n－1)－2n＝－n－1.选条件③∵an＝2n，bn＝2an·an，∴bn