《数学》复习人教A（新高考）-第1节　变化率与导数、导数的计算

第三章

第1节变化率与导数、导数的计算知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2.函数y＝f(x)的导函数基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝

f(x)＝sinxf′(x)＝

f(x)＝cosxf′(x)＝

f(x)＝exf′(x)＝

f(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝

f(x)＝lnxf′(x)＝

f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝

0αxα－1cosx－sinxexaxlna3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.5.复合函数的导数1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率. (

) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx. (

) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0). (

) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.(

)

解析

(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.××××A又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.3.若曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.

解析

y′＝aex＋(ax＋1)ex， 则y′|x＝0＝a＋1＝－2， 所以a＝－3.－34.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(

) A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1

解析

f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)， 又f′(x)＝4x3－6x2， 所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2， 切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.BBC6.(2021·武汉检测)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一导数的运算///////自主演练AD14.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f(1)

＝________.

解析

因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.感悟升华角度1求切线的方程【例1】

(1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为____________________.

解析

y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3， 所以所求切线方程为3x－y＝0.考点二导数的几何意义///////多维探究3x－y＝0【例1】(2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_________________.

解析设切点坐标为(x0，y0)， 因为y＝lnx＋x＋1， 所以y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.2x－y＝0角度2求曲线的切点坐标【例2】(2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是___________，此时切线方程为___________.

又切线过点(－e，－1)， 再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.

故点A的坐标为(e，1)， 切线方程为x－ey＝0.(e，1)x－ey＝0角度3导数与函数图象问题【例3】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线

y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导 函数，则g′(3)＝________. ∵g(x)＝xf(x)， ∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 又由题意可知f(3)＝1，01.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.感悟升华【训练1】

(1)(2021·新高考8省联考)已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(

) A.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B.f(x)有两个零点ACD.f(x)是偶函数令xln(x＋1)＝0，所以x＝0或ln(x＋1)＝0，所以x＝0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正确.故选AC.D解析由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用///////师生共研AD因为f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处切线平行，所以f′(x1)＝f′(x2)，解析

设在第一象限的切点为A(x0，y0)，D1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.感悟升华解析

∵f(x)＝lnx－ax，∴曲线y＝f(x)在x＝2处切线的斜率k＝f′(2)，B【训练2】(2)若函数y＝2x3＋1与y＝3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b＝________________.

解析设公共切点的横坐标为x0，函数y＝2x3＋1的导函数为y′＝6x2，

y＝3x2－b的导函数为y′＝6x， 由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x＝6x0

且1＋2x＝3x－b，解得x0＝0，b＝－1或x0＝1，b＝0.故实数b＝0或－1.0或－1课后巩固作业提升能力分层训练3ABD故曲线在点(3，2)处的切线的斜率D3.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则 (

) A.f(0)<f(4) B.f(0)＝f(4) C.f(0)>f(4) D.以上都不对 解析函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， 故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 所以f(0)＝f(4)＝3.B4.(2020·豫北十校联考)已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为 (

) A.y＝0 B.4x＋y＋4＝0 C.4x－y＋4＝0 D.y＝0或4x＋y＋4＝0

解析易知点P(－1，0)不在f(x)＝x2上， ∴切线的斜率k＝f′(x0)＝2x0. ∵切线过点P(－1，0)， ∴k＝0或－4， 故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.DD解析

由函数f(x)的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大.所以f′(2)<a<f′(4).B7.(2021·重庆调研)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 (

) A.(－∞，－6] B.(－∞，－6]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞) D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)

解析直线2x－y＝0的斜率k＝2， 又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，C∴a≥4－2＝2.8.(多选题)(2021·淄博调研)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是 (

) A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－x C.f(x)＝lnx D.f(x)＝tanx

解析若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；AC所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；x＋2y－2＝010.(2020·江南十校联考)函数f(x)＝(2x－1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜 角为________.

解析由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex， ∴f′(0)＝1，则切线的斜率k＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)，11.(2020·济南检测)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝________.

解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)， 则f(－1)＝1－2＝－1.

故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.－2由y＝xex，得y′＝(xex)′＝ex＋xex.y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，－e13.若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝ (

) A.－1 B.1 C.2 D.e

解析

y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在x＝