《数学》复习人教A（新高考）-第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系-教师复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-第4节直线与圆、圆与圆的位置关系-教师复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-第4节直线与圆、圆与圆的位置关系-教师复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-第4节直线与圆、圆与圆的位置关系-教师复习验收卷第4节直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2,直线l：Ax＋By＋C＝0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x－a)2＋(y－b)2＝r2,,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R＞r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切线条数432101．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出xM＋xN和xM·xN,则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r((xM＋xN)2－4xM·xN).诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打"√”或"×”)(1)"k＝1”是"直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)"k＝1”是"直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件;(2)除外切外,还有可能内切;(3)两圆还可能内切或内含．2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A,B两点,则|AB|＝______．答案eq\r(10)解析由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r＝eq\r(5).又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝eq\f(|3－2－6|,\r(9＋1))＝eq\f(\r(10),2),由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＝r2－d2,得|AB|2＝10,即|AB|＝eq\r(10).3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案2eq\r(2)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0,,x2＋y2－4x＋4y－12＝0))得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦长的一半为eq\r(4－2)＝eq\r(2),所求弦长为2eq\r(2).4．(2020·菏泽模拟)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部,则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞,－1)∪(1,＋∞)D．a＝±1答案A解析因为点(1,1)在圆的内部,所以(1－a)2＋(1＋a)2<4,所以－1<a<1.5．(2021·重庆诊断)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A,B两点,且|AB|＝eq\r(3),则·的值是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3)D．0答案A解析在△OAB中,|OA|＝|OB|＝1,|AB|＝eq\r(3),可得∠AOB＝120°,所以·＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2).故选A.6．(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切,则k＝__________,b＝__________.答案eq\f(\r(3),3)－eq\f(2\r(3),3)解析法一直线kx－y＋b＝0(k＞0)分别与圆心坐标为(0,0),半径为1,及圆心坐标为(4,0),半径为1的两圆相切,可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,\r(k2＋1))＝1,①,\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1,②))由①②且k＞0,解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3),,b＝－\f(2\r(3),3).))法二如图,直线分别与两个半径相等的圆相切,由对称性可知,直线与x轴的交点为A(2,0)．由AB＝2,BM＝1,∠AMB＝90°,得∠MAB＝30°,可得直线的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3),直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－2)＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),3),因此b＝－eq\f(2\r(3),3).考点一直线与圆的位置关系1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是()A．[－3,－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞,－3]∪[1,＋∞)答案C解析由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为eq\r(2),∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋(－1)2))≤eq\r(2),即|a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.2．(2020·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案A解析法一(代数法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0,,x2＋(y－1)2＝5,))消去y,整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0,因为Δ＝16m2＋20>0,所以直线l法二(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq\f(|－m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5),故直线l与圆相交．法三易得直线l过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0<eq\r(5),∴点(1,1)在圆的内部,故直线l与圆C相交．3．(多选题)(2021·武汉调研)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R),则下列命题正确的是()A．不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．存在定直线始终与圆Ck相切D．若k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2),\f(3\r(2),2))),则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1答案ABC解析圆心坐标为(k,k),在直线y＝x上,A正确;若(3－k)2＋(0－k)2＝4,化简得2k2－6k＋5＝0,Δ＝36－40＝－4＜0,无解,B正确;圆心在y＝x上,半径为定值2,故定直线斜率一定为1,设为y＝x＋b,eq\f(|b|,\r(2))＝2,b＝±2eq\r(2),故存在定直线y＝x±2eq\r(2)始终与圆Ck相切,C正确;圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,问题转化为圆x2＋y2＝1与圆Ck有两个交点,1＜|eq\r(2)k|＜3,则k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2),－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),\f(3\r(2),2))),D错误．感悟升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题．考点二圆的弦长问题【例1】(1)(2020·济南调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A,B两点,若△CAB为等边三角形,则k的值为()A．±eq\r(3)B．±2C．±eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(2),2)(2)(2021·中原名校联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝2eq\r(3),则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0答案(1)A(2)D解析(1)圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1,－1),半径为1,故|CB|＝|CA|＝1,又△CAB为等边三角形,所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为eq\f(\r(3),2),即eq\f(|k|,\r(12＋k2))＝eq\f(\r(3),2),解得k＝±eq\r(3),故选A.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x＝0,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,,x2＋y2－2x－2y－2＝0,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝1－\r(3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝1＋\r(3),))∴|AB|＝2eq\r(3),符合题意．当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＝kx＋3,由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4,其圆心为C(1,1),半径r＝2,∴圆心C(1,1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|k－1＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1)),∵d2＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2),∴eq\f((k＋2)2,k2＋1)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2),即(k＋2)2＝k2＋1,解得k＝－eq\f(3,4),∴直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋3,即3x＋4y－12＝0.综上,满足题意的直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0,故选D.感悟升华弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l＝2eq\r(r2－d2).【训练1】(2020·天津卷)已知直线x－eq\r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A,B两点．若|AB|＝6,则r的值为__________．答案5解析由题意知圆心为O(0,0),圆心到直线的距离d＝eq\f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.取AB的中点M,连接OM(图略),则OM⊥AB.在Rt△OMA中,r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2)＋d2)＝5.考点三圆的切线问题【例2】(1)(经典母题)过点P(2,4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线,则切线方程为________．(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点,过P作圆x2＋y2＝3的两条切线,若两条切线的夹角为90°,则点P的坐标为()A．(2,1)B．(2,2)C．(2,eq\r(2))D．(2,0)答案(1)x＝2或4x－3y＋4＝0(2)C解析(1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x＝2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y－4＝k(x－2),即kx－y＋4－2k＝0,∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,即d＝eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋(－1)2))＝eq\f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1,解得k＝eq\f(4,3),∴所求切线方程为eq\f(4,3)x－y＋4－2×eq\f(4,3)＝0,即4x－3y＋4＝0.综上,切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.(2)如图所示．设切点为A,B,则OA⊥AP,OB⊥BP,OA＝OB,AP＝BP,AP⊥BP,故四边形OAPB为正方形,则|OP|＝eq\r(6),又xP＝2,则P(2,eq\r(2))．【迁移】在例2(1)中,已知条件不变,设两个切点为A,B,求切点弦AB所在的直线方程．解由题意得,点P,A,C,B在以PC为直径的圆上,此圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0,整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0,①圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0,②由②－①得x＋3y－5＝0,即为直线AB的方程．感悟升华求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程．若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线．【训练2】(2020·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中,若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两点A,B满足∠AOB＝60°,则实数a的最大值是()A．5B．3C.eq\r(7)D．2eq\r(3)答案C解析根据题意,圆C的圆心为(3,a),在直线x＝3上,分析可得,当圆心距离x轴的距离越远,∠AOB越小．如图：当a>0时,圆心C在x轴上方,若OA,OB为圆的切线且∠AOB＝60°,此时a取得最大值,此时∠AOC＝30°,有|OC|＝2|AC|＝4,即(3－0)2＋(a－0)2＝16,解得a＝eq\r(7),故实数a的最大值是eq\r(7),故选C.考点四圆与圆的位置关系【例3】已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1＝eq\r(11),圆C2的圆心C2(5,6),半径r2＝4,两圆圆心距d＝|C1C2|＝5,r1＋r2＝eq\r(11)＋4,|r1－r2|＝4－eq\r(11),所以|r1－r2|<d<r1＋r2,所以圆C1和C2相交．(2)解圆C1和圆C2的方程左、右分别相减,得4x＋3y－23＝0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3,故公共弦长为2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).感悟升华1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法．2．若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到．【训练3】(1)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1,圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4,若这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A．{1,－1,3,－3}B．{5,－5,3,－3}C．{1,－1}D．{3,－3}(2)(2021·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案(1)A(2)D解析(1)圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1,所以a＝1,－1,3,－3.故选A.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22,圆心坐标为(2,0),半径为2;x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12,圆心坐标为(－2,0),半径为1,圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条．故选D.A级基础巩固一、选择题1．直线y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,2)和圆x2＋y2－4x＋2y－20＝0()A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相离D．相切答案A解析将圆的方程配方,得(x－2)2＋(y＋1)2＝25,圆心为(2,－1),半径r＝5,将(2,－1)代入y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,2)中,得eq\f(3,4)×2－eq\f(5,2)＝－1,故直线过圆心,与圆相交．故选A.2．圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离答案A解析圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0),半径为2,圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的圆心为(3,4),半径为7,圆心距为eq\r(32＋42)＝5＝7－2(等于两圆半径的差),所以圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置关系是内切．故选A.3．过点P(1,－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)答案B解析由题意知,点P,A,C,B在以PC为直径的圆上,易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1,此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－eq\f(1,2).4．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点坐标为D(2,eq\r(2)),则弦长为()A．2B．3C．4D．5答案A解析将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理,得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4,所以圆C的圆心坐标为(3,0),半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2,eq\r(2)),所以|CD|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3),所以|AB|＝2eq\r(4－3)＝2.故选A.5．(多选题)(2021·青岛调研)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1),则下列结论正确的是()A．实数a的取值范围为a＜3B．实数a的取值范围为a＜5C．直线l的方程为x＋y－1＝0D．直线l的方程为x－y＋1＝0答案AD解析若弦AB的中点为M(0,1),则点M(0,1)一定在圆内,且方程表示圆,即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a＞0,,1－4×1＋a＜0))得a＜3,故A正确;由圆的方程得,圆心坐标为C(－1,2),又M(0,1),则kCM＝－1,则kAB＝1,由点斜式得,直线l的方程为y－1＝x,即x－y＋1＝0,故D正确．6．(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝eq\r(x)和圆x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切,则l的方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)答案D解析易知直线l的斜率存在,设直线l的方程y＝kx＋b,则eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),5)①,设直线l与曲线y＝eq\r(x)的切点坐标为(x0,eq\r(x0))(x0≥0),则y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)＝k②,eq\r(x0)＝kx0＋b③,由②③可得b＝eq\f(1,2)eq\r(x0),将b＝eq\f(1,2)eq\r(x0),k＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)代入①得x0＝1或x0＝－eq\f(1,5)(舍去),所以k＝b＝eq\f(1,2),故直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).二、填空题7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为______．答案10eq\r(2)解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10,则圆心(1,3),半径r＝eq\r(10),圆心(1,3)与E(0,1)距离eq\r((1－0)2＋(3－1)2)＝eq\r(5),由题意知AC⊥BD,且|AC|＝2eq\r(10),|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5),所以四边形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).8．(2020·海南三模)已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,过点P作圆C的切线有两条,则实数k的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3),\f(2\r(3),3)))解析因为C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0为圆,所以k2＋4－4k2>0,解得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3),又过点P作圆C的切线有两条,所以点P在圆的外部,故1＋4＋k＋4＋k2>0,解得k∈R,综上可知－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3).故k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3),\f(2\r(3),3))).9．已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2,－1),则m＝________,r＝________．答案－2eq\r(5)解析根据题意画出图形,可知A(－2,－1),C(0,m),B(0,3),则|AB|＝eq\r((－2－0)2＋(－1－3)2)＝2eq\r(5),|AC|＝eq\r((－2－0)2＋(－1－m)2)＝eq\r(4＋(m＋1)2),|BC|＝|m－3|.∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A,∴∠BAC＝90°,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2,解得m＝－2.因此r＝|AC|＝eq\r(4＋(－2＋1)2)＝eq\r(5).三、解答题10．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10,求满足下列条件的圆的切线方程;(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行;(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直;(3)过切点A(4,－1)．解(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4),则eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10),∴b＝1±2eq\r(5),∴切线方程为x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0,则eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10),∴m＝±5eq\r(2),∴切线方程为2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3),∴过切点A(4,－1)的切线斜率为－3,∴过切点A(4,－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4),即3x＋y－11＝0.11．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M,N两点．(1)求k的取值范围;(2)若·＝12,其中O为坐标原点,求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2,3),半径r＝1,由题设,可知直线l的方程为y＝kx＋1,因为l与C交于两点,所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3),\f(4＋\r(7),3))).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1,整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4(1＋k),1＋k2),x1x2＝eq\f(7,1＋k2).·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k(1＋k),1＋k2)＋8.由题设可得eq\f(4k(1＋k),1＋k2)＋8＝12,解得k＝1,所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上,所以|MN|＝2.B级能力提升12．(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0,直线l：2x＋y＋2＝0,P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0答案D解析(x－1)2＋(y－1)2＝4,r＝2,M(1,1),如图,由题意可知,AB⊥PM,|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|),∵|PA|＝|PB|,∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4eq\r(|PM|2－|AM|2)＝4eq\r(|PM|2－4),当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min＝eq\f(5,\r(4＋1))＝eq\r(5),此时|PA|＝1,AB∥l,设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2),圆心M到直线AB的距离为d＝eq\f(|3－b|,\r(5)),|AB|＝eq\f(4|PA|,|PM|)＝eq\f(4,\r(5)),∴d2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))eq\s\up12(2)＝|MA|2,即eq\f((3－b)2,5)＋eq\f(4,5)＝4,解得b＝－1或b＝7(舍)．综上,直线AB的方程为y＝－2x－1,即2x＋y＋1＝0,故选D.13．(多选题)(2021·南京质检)已知圆M：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆N：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的圆心不重合,直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.下列说法正确的是()A．若两圆相交,则l是两圆的公共弦所在直线B．直线l过线段MN的中点C．过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线,切点分别为A,B,则|PA|＝|PB|D．直线l与直线MN相互垂直答案ACD解析A．联立两圆方程得D1x＋E1y＋F1＝D2x＋E2y＋F2整理得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0,为两圆的公共弦所在直线,故A正确;B．设圆M的半径为r1,圆N的半径为r2,Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D1,2),－\f(E1,2))),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D2,2),－\f(E2,2))),线段MN的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D1＋D2,4),－\f(E1＋E2,4))),代入直线l的方程得(D1－D2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D1＋