《数学》复习人教A（新高考）-第4节　等式性质与不等式性质-教师复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-第4节等式性质与不等式性质-教师复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-第4节等式性质与不等式性质-教师复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-第4节等式性质与不等式性质-教师复习验收卷第4节等式性质与不等式性质知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,,a－b＝0⇔a＝b,,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1(a∈R,b>0)⇔a>b(a∈R,b>0),,\f(a,b)＝1⇔a＝b(a,b≠0),,\f(a,b)<1(a∈R,b>0)⇔a<b(a∈R,b>0).))2.等式的性质(1)对称性：若a＝b,则b＝a.(2)传递性：若a＝b,b＝c,则a＝c.(3)可加性：若a＝b,则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b,则ac＝bc;若a＝b,c＝d,则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a;(2)传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c;(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c;a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d;(4)可乘性：a＞b,c＞0⇒ac＞bc;a＞b,c＜0⇒ac＜bc;a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd;(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N,n≥1);(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N,n≥2).1.在不等式的两边同乘以一个正数,不等号方向不变;同乘以一个负数,不等号方向改变.2.有关分式的性质(1)若a>b>0,m>0,则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m);eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0,且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打"√”或"×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)a＝b⇔ac＝bc.()(3)若eq\f(a,b)>1,则a>b.()(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)由不等式的性质,ac2＞bc2⇒a＞b;反之,c＝0时,a＞b⇒ac2＞bc2.(2)由等式的性质,a＝b⇒ac＝bc;反之,c＝0时,ac＝bc⇒a＝b.(3)a＝－3,b＝－1,则eq\f(a,b)>1,但a<b,故(3)错.2.若a＞b＞0,c＜d＜0,则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)答案B解析因为c＜d＜0,所以0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d),两边同乘－1,得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0,又a＞b＞0,故由不等式的性质可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.两边同乘－1,得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).3.比较两数的大小：eq\r(7)＋eq\r(10)________eq\r(3)＋eq\r(14).答案＞解析(eq\r(7)＋eq\r(10))2＝17＋2eq\r(70),(eq\r(3)＋eq\r(14))2＝17＋2eq\r(42),∴(eq\r(7)＋eq\r(10))2＞(eq\r(3)＋eq\r(14))2,∴eq\r(7)＋eq\r(10)＞eq\r(3)＋eq\r(14).4.(2020·厦门期末)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是()A.eq\f(y,x)<1 B.2－x<2－yC.lg(x－y)>0 D.x2>y2答案B解析由x>y,得－x<－y,所以2－x<2－y,故选B.5.(2020·深圳调研)若a,b∈R,且a＞|b|,则()A.a＜－b B.a＞bC.a2＜b2 D.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)答案B解析由a＞|b|可知,当b≥0时,a＞b;当b＜0时,a＞－b,则a＞0＞b,综上可知,当a＞|b|时,a＞b恒成立,故选B.6.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知x＞y＞z,x＋y＋z＝0,则下列不等式不成立的是()A.xy＞yz B.xy＞xzC.xz＞yz D.x|y|＞|y|z答案ACD解析因为x＞y＞z,x＋y＋z＝0,所以x＞0,z＜0,y的符号无法确定,对于A,因为x＞z,若y＜0,则xy＜0＜yz,故A不正确;对于B,因为y＞z,x＞0,所以xy＞xz,故B正确;对于C,因为x＞y,z＜0,所以xz＜yz,故C不正确;对于D,因为x＞z,当|y|＝0时,x|y|＝|y|z,故D不正确.考点一比较数(式)的大小1.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则eq\f(S3,a3)与eq\f(S5,a5)的大小关系为________.答案eq\f(S3,a3)<eq\f(S5,a5)解析当q＝1时,eq\f(S3,a3)＝3,eq\f(S5,a5)＝5,所以eq\f(S3,a3)<eq\f(S5,a5);当q>0且q≠1时,eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a1(1－q3),a1q2(1－q))－eq\f(a1(1－q5),a1q4(1－q))＝eq\f(q2(1－q3)－(1－q5),q4(1－q))＝eq\f(－q－1,q4)<0,所以eq\f(S3,a3)<eq\f(S5,a5).综上可知eq\f(S3,a3)<eq\f(S5,a5).2.若a,b为正数,且a≠b,则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).答案＞解析(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b),∵a>0,b>0且a≠b,∴(a－b)2>0,a＋b>0,∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0,即a3＋b3>a2b＋ab2.3.若a＝eq\f(ln3,3),b＝eq\f(ln4,4),c＝eq\f(ln5,5),则()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c答案B解析法一易知a,b,c都是正数,eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164<1,所以a>b;eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024>1,所以b>c.即c<b<a.法二构造函数f(x)＝eq\f(lnx,x),则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2),由f′(x)>0,得0<x<e;由f′(x)<0,得x>e.∴f(x)在(0,e)为增函数,在(e,＋∞)为减函数.∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.4.若a＞0,b＞0,则p＝(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2))与q＝ab·ba的大小关系是()A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q答案A解析由题意知p＞0,q＞0,则eq\f(p,q)＝eq\f((ab)\s\up6(\f(a＋b,2)),ab·ba)＝aeq\s\up6(\f(a－b,2))·beq\s\up6(\f(b－a,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up6(\f(a－b,2)),若a＞b＞0,则eq\f(a,b)＞1,a－b＞0,则eq\f(p,q)＞1;若0＜a＜b,则0＜eq\f(a,b)＜1,a－b＜0,则eq\f(p,q)＞1;若a＝b,则eq\f(p,q)＝1.综上,p≥q,故选A.感悟升华1.作差法一般步骤：(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题,可以选取符合条件的特殊值比较大小.考点二不等式的性质【例1】(1)(多选题)设b＞a＞0,c∈R,则下列不等式中正确的是()A.aeq\s\up6(\f(1,2))＜beq\s\up6(\f(1,2)) B.eq\f(1,a)－c＞eq\f(1,b)－cC.eq\f(a＋2,b＋2)＞eq\f(a,b) D.ac2＜bc2(2)(多选题)(2021·长沙调研)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0,则下列不等式中正确的是()A.eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab) B.|a|＋b＞0C.a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b) D.lna2＞lnb2答案(1)ABC(2)AC解析(1)因为y＝xeq\s\up6(\f(1,2))在(0,＋∞)上是增函数,所以aeq\s\up6(\f(1,2))＜beq\s\up6(\f(1,2)).因为y＝eq\f(1,x)－c在(0,＋∞)上是减函数,所以eq\f(1,a)－c＞eq\f(1,b)－c.因为eq\f(a＋2,b＋2)－eq\f(a,b)＝eq\f(2(b－a),(b＋2)b)＞0,所以eq\f(a＋2,b＋2)＞eq\f(a,b).当c＝0时,ac2＝bc2,所以D不成立,故选ABC.(2)由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0,可知b＜a＜0.A中,因为a＋b＜0,ab＞0,所以eq\f(1,a＋b)＜0,eq\f(1,ab)＞0.故有eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab),即A正确;B中,因为b＜a＜0,所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|,即|a|＋b＜0,故B错误;C中,因为b＜a＜0,又eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0,则－eq\f(1,a)＞－eq\f(1,b)＞0,所以a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b),故C正确;D中,因为b＜a＜0,根据y＝x2在(－∞,0)上为减函数,可得b2＞a2＞0,而y＝lnx在定义域(0,＋∞)上为增函数,所以lnb2＞lna2,故D错误.由以上分析,知A,C正确.感悟升华解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证;(2)利用特殊值法排除错误答案,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练1】(1)(2020·海南模拟改编)已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0,则下列选项中一定成立的是()A.ab＞ac B.c(b－a)＜0C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0(2)下列命题中正确的是()A.若a＞b,c∈R,则ac＞bcB.若a＞b,c＜d,则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)C.若a＞b,c＞d,则a－c＞b－dD.若ab＞0,a＞b,则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)答案(1)A(2)D解析(1)因为a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0,所以c＜0＜a.对于A,因为b＞c,a＞0,所以ab＞ac,故A正确;对于B,因为b＜a,c＜0,所以b－a＜0,c＜0,所以c(b－a)＞0,故B不正确;对于C,因为c＜a,b4≥0,所以cb4≤ab4,故C不正确;对于D,因为ac＜0,a－c＞0,所以ac(a－c)＜0,故D不正确,故选A.(2)A中,当c＝0时不成立,c＜0时也不成立,故A不正确.B中,当c＜0＜d＜b＜a时,eq\f(a,c)＜0＜eq\f(b,d),故B不正确.C中,因为a＞b,(－c)＜(－d),不满足不等式的同向相加性,故C不正确.D中,因为ab＞0,所以a,b同号,所以当a＞b时,eq\f(1,a)＜eq\f(1,b),故D正确.故选D.考点三不等式及其性质的应用角度1不等式在实际问题中的应用【例2】某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数;(2)女学生人数多于教师人数;(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.答案①6②12解析令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且2z>x>y>z,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x＝7时,y取得最大值6.②当z＝1时,1＝z<y<x<2,不满足条件;当z＝2时,2＝z<y<x<4,不满足条件;当z＝3时,3＝z<y<x<6,y＝4,x＝5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.角度2求代数式的取值范围【例3】(经典母题)已知－1<x<4,2<y<3,则x－y的取值范围是________,3x＋2y的取值范围是________.答案(－4,2)(1,18)解析因为－1<x<4,2<y<3,所以－3<－y<－2,所以－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3,得－3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x＋2y<18.【迁移1】将本例条件改为"－1<x<y<3”,求x－y的取值范围.解因为－1<x<3,－1<y<3,所以－3<－y<1,－4<x－y<4.①又因为x<y,所以x－y<0,②由①②得－4<x－y<0,故x－y的取值范围是(－4,0).【迁移2】将本例条件改为"已知－1<x－y<4,2<x＋y<3”,求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y),即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y,于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝3,,μ－λ＝2,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2),,μ＝\f(5,2),))∴3x＋2y＝eq\f(1,2)(x－y)＋eq\f(5,2)(x＋y).∵－1<x－y<4,2<x＋y<3,∴－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)(x－y)<2,5<eq\f(5,2)(x＋y)<eq\f(15,2),∴eq\f(9,2)<eq\f(1,2)(x－y)＋eq\f(5,2)(x＋y)<eq\f(19,2).故3x＋2y的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2),\f(19,2))).感悟升华1.解决有关不等关系的实际问题,应抓住关键字词,例如"要”"必须”"不少于”"大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过"一次性”不等关系的运算求解范围.【训练2】(2021·武汉质检)已知实数a∈(1,3),b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8),\f(1,4))),则eq\f(a,b)的取值范围是________.答案(4,24)解析依题意可得4<eq\f(1,b)<8,又1<a<3,所以4<eq\f(a,b)<24.A级基础巩固一、选择题1.限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式为()A.v<40km/h B.v>40km/hC.v≠40km/h D.v≤40km/h答案D解析由汽车的速度v不超过40km/h,即小于等于40km/h,即v≤40km/h,故选D.2.(多选题)下列四个条件,能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的有()A.b＞0＞a B.0＞a＞b C.a＞0＞bD.a＞b＞0答案ABD解析运用倒数性质,由a＞b,ab＞0可得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b),B、D正确.又正数大于负数,A正确,C错误,故选A,B,D.3.若a,b都是实数,则"eq\r(a)－eq\r(b)>0”是"a2－b2>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析eq\r(a)－eq\r(b)>0⇒eq\r(a)>eq\r(b)⇒a>b⇒a2>b2,但由a2－b2>0⇒/eq\r(a)－eq\r(b)>0.故选A.4.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是()A.a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C.a－eq\f(1,b)>b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)答案A解析取a＝2,b＝1,排除B与D;另外,函数f(x)＝x－eq\f(1,x)是(0,＋∞)上的增函数,但函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增,所以,当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,即a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)⇔a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a),但g(a)>g(b)未必成立,故选A.5.已知a1∈(0,1),a2∈(0,1),记M＝a1a2,N＝a1＋a2－1,则M与N的大小关系是()A.M<N B.M>NC.M＝N D.不确定答案B解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1),又a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1－1<0,a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0,即M－N>0,∴M>N.6.(2021·齐鲁名校联考)若α,β满足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2),则2α－β的取值范围是()A.－π＜2α－β＜0 B.－π＜2α－β＜πC.－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2) D.0＜2α－β＜π答案C解析∵－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2),∴－π＜2α＜π.∵－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2),∴－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2).∴－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(3π,2).又α－β＜0,α＜eq\f(π,2),∴2α－β＜eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2).7.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b,则()A.ln(a－b)>0 B.3a<3bC.a3－b3>0 D.|a|>|b|答案C解析法一由函数y＝lnx的图象(图略)知,当0<a－b<1时,ln(a－b)<0,故A不正确;因为函数y＝3x在R上单调递增,所以当a>b时,3a>3b,故B不正确;因为函数y＝x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3－b3>0,故C正确;当b<a<0时,|a|<|b|,故D不正确.故选C.法二当a＝0.3,b＝－0.4时,ln(a－b)<0,3a>3b,|a|<|b|,故排除A,B,D.故选C.8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3,则()A.c≤3 B.3<c≤6C.6<c≤9 D.c>9答案C解析由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c,,－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6,,b＝11,))则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c,由0<f(－1)≤3,得0<－1＋6－11＋c≤3,即6<c≤9.二、填空题9.eq\f(1,\r(5)－2)________eq\f(1,\r(6)－\r(5))(填">”"<”或"＝”).答案<解析分母有理化有eq\f(1,\r(5)－2)＝eq\r(5)＋2,eq\f(1,\r(6)－\r(5))＝eq\r(6)＋eq\r(5),显然eq\r(5)＋2<eq\r(6)＋eq\r(5),所以eq\f(1,\r(5)－2)<eq\f(1,\r(6)－\r(5)).10.设f(x)＝ax2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________.答案[5,10]解析设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m,n为待定系数),则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b),即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4,,n－m＝－2,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10,故5≤f(－2)≤10.11.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题：①若ab>0,bc－ad>0,则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0;②若ab>0,eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0,则bc－ad>0;③若bc－ad>0,eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0,则ab>0.其中正确的命题是________(填序号).答案①②③解析∵ab>0,bc－ad>0,∴eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0,∴①正确;∵ab>0,又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0,即eq\f(bc－ad,ab)>0,∴bc－ad>0,∴②正确;∵bc－ad>0,又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0,即eq\f(bc－ad,ab)>0,∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确.12.若0<a<b,且a＋b＝1,则将a,b,eq\f(1,2),2ab,a2＋b2从小到大排列为________________.答案a<2ab<eq\f(1,2)<a2＋b2<b解析∵0<a<b且a＋b＝1,∴a<eq\f(1,2)<b<1,∴2b>1且2a<1,∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)<eq\f(1,2).即a<2ab<eq\f(1,2).又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2),即a2＋b2>eq\f(1,2).∵eq\f(1,2)<b<1,∴(a2＋b2)－b＝[(1－b)2＋b2]－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0,即a2＋b2＜b.B级能力提升13.(多选题)(2021·山东新高考模拟)若0＜a＜1,b＞c＞1,则()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(a)＞1 B.eq\f(c－a,b－a)＞eq\f(c,b)C.ca－1＜ba－1 D.logca＜logba答案AD解析对于A,∵b＞c＞1,∴eq\f(b,c)＞1.∵0＜a＜1,则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(a)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(0)＝1,故正确.对于B,若eq\f(c－a,b－a)＞eq\f(c,b),则bc－ab＞bc－ac,即a(c－b)＞0,这与0＜a＜1,b＞c＞1矛盾,故错误.对于C,∵0＜a＜1,∴a－1＜0.∵b＞c＞1,∴ca－1＞ba－1,故错误.对于D,∵0＜a＜1,b＞c＞1,∴logca＜logba,故正确.故选AD.14