考点巩固卷11 复数（五大考点）-新课标2025年高考《数学》一轮复习考点通关卷（解析版）

第第页考点巩固卷11复数（五大考点）考点01：复数与复平面内点的关系复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义．复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量1．当时，复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先化简复数，再根据参数范围分别判断实部和虚部范围进而判断点的象限即可.【详解】因为,且,所以,则复数在复平面上对应的点位于第一象限.故选：A.2．已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由复数的除法得到，从而得到实部的值，由复数的乘法得到，从而得到虚部的值，从而得到，得到对应的点，得到所在象限.【详解】，所以，所以，其在复平面内的对应点为，位于第一象限．故选：A．3．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求．【详解】，，，，，的共轭复数的虚部为，故选：．4．虚数z满足，则z的虚部为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。【详解】解法一：设复数,则，化简得，故，即①，②此时，对于选项中的值，代入：若，则，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，综上可得故选：A解法二：由可得，故，故或，由于为虚数，故，故虚部为1，故选：A5．复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数除法运算法则求出复数z即可得复数z的虚部.【详解】由题，故复数z的虚部为.故选：B.6．在复平面内，复数对应的向量为，其中是原点，则下列说法正确的是（

）A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第一象限C．当时，复数为纯虚数 D．向量对应的复数为【答案】BC【分析】选项A，利用复数的定义可知选项A错误；利用复数的几何意义，即可判断出选项B和D的正误；选项C，利用复数的运算，即可判断出选项C的正误.【详解】对于选项A，因为，所以复数的虚部为，故选项A错误，对于选项B，因为，所以，故复数对应的点为，在第一象限，所以选项B正确，对于选项C，因为，又，所以，故选项C正确，对于选项D，因为，所以，得到向量对应的复数为，所以选项D错误，故选：BC.7．若复数满足：（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（

）A．的虚部是 B．C． D．【答案】CD【分析】利用复数的运算性质，即可作出判断.【详解】由得：，所以的虚部是，故A是错误的；由，故B是错误的；由，故C是正确的；由，故D是正确的；故选：CD.8．已知复数满足，则（

）A．的虚部为 B．C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点在第四象限【答案】AD【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，可得，对于A中，由的虚部为，所以A正确；对于B中，由，可得，所以B不正确；对于C中，由，可得不是纯虚数，所以C错误；对于D中，由在复平面内对应的点为位于第四象限，所以D正确.故选：AD.9．若，则（

）A．B．的虚部为8C．D．在复平面内对应的点位于第二象限【答案】BC【分析】根据化简复数得，即可由模长公式求解A，根据复数的乘方可得，根据虚部的概念即可求解B，根据复数的除法运算即可求解C，根据复数对应的点为即可求解D.【详解】，故，A错误.，B正确.，C正确.在复平面内对应的点位于第四象限，D错误.故选：BC10．复数，则的虚部为．【答案】/-2.2【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解.【详解】复数，则，此复数的虚部为.故答案为：考点02：复数模及几何意义复数复平面内的点复数平面向量11．已知复数，则下列选项正确的是（

）．A．若z为纯虚数﹐则或B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】根据纯虚数特征求参判断A选项；根据复数的象限判断实部虚部范围解不等式判断B选项，应用模长公式计算判断C选项，应用共轭复数判断D选项.【详解】若z为纯虚数，则，所以，故A不正确；若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，所以，故B正确；若，则，所以，故C不正确；若，则，所以，故D正确．故选：BD.12．已知复数，，则下列说法正确的是（

）A． B．存在实数，使得为实数C．若为纯虚数，则 D．【答案】AC【分析】根据复数的模长计算判断A选项，应用实数和纯虚数定义判断B,C选项，根据模长及乘方运算判断D选项.【详解】因为所以，A正确；因为,无实数解，B选项错误；因为为纯虚数，则，即，C选项正确；当时，，则，D选项错误.故选：AC.13．已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（

）A．B．若，则，中至少有个是C．满足的点形成的图形的面积为D．若，则的最小值为【答案】ABD【分析】设复数，对于A，分别计算即可；对于B，根据可得即可判断；对于C，由可得即可判断；对于D，由得，并计算即可计算最小值.【详解】设复数，对于A，，则，所以，而，故A正确；对于B，若，则，即，则或，则或，则，中至少有个是，故B正确；对于C，，所以，所以点形成的图形面积为，故C错误；对于D，因为，所以，且，所以，且所以，所以最小值为，故D正确.故选：ABD.14．已知复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AC【分析】复数除法化简的，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项；【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误；在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误；故选：AC.15．已知复数，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．若，则【答案】BC【分析】举反例排除AD，设，根据复数的运算性质和求模长的公式判断BC，从而得解.【详解】A选项，令，则，但不满足，A错误；B选项，设，则，，B正确；选项，设，则，则，C正确；选项，令，则，但不满足D错误.故选：BC.16．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（

）A．B．若，则复平面内对应的点位于第二象限C．若，则的最大值为D．若是关于的方程的一个根，则【答案】BCD【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.【详解】对于A，设，则，，A错误；对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确；对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确；对于D，依题意，，整理得，而，因此，解得，D正确．故选：BCD17．若复数是方程的两根，则（

）A．虚部不同 B．在复平面内所对应的点关于实轴对称C． D．在复平面内所对应的点位于第三象限【答案】ABC【分析】利用一元二次方程的虚根是共轭，并加以计算，就可以判断各选项.【详解】由方程的求根公式可得：，故A正确；由在复平面内所对应的点分别为，显然关于实轴对称，故B正确；由，故C正确；由，它对应的点位于第一象限，故D错误；故选：ABC．18．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为4C．当时，则 D．当时，则【答案】AD【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项.【详解】设在复平面内的对应点分别为，由得，所以在直线上.由得，所以在圆上.如图所示：对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，所以的最小值为，故A正确；对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，所以的最小值为，故B错误；对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，所以.若，即或，此时，由得或，∴当或时，；当时，，故C错误；若，即，此时，为一对共轭虚根，，故D正确.故选：AD.19．已知复数，，则（

）A． B．在复平面内对应的点位于第一象限C． D．为纯虚数【答案】ABC【分析】根据复数除法运算可得，即可判断A，根据复数的减法运算以及几何意义可判断B，根据模长公式可判断C，根据乘法运算，结合纯虚数定义可判断D.【详解】,故A正确，，对应的点为，故B正确，，故，C正确，，不为纯虚数，故D错误，故选：ABC20．设，为复数，下列说法正确的是（

）．A． B．C．若，则 D．若是实数，则为纯虚数【答案】BC【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据共轭复数的定义结合模长公式分析判断.【详解】设，，对于选项A：例如，则，两者不相等，故A错误；对于选项B：因为，且，则，即，故B正确；对于选项C：若，则，所以，故C正确；对于选项D：例如是实数，则也为实数，故D错误；故选：BC.考点03：复数相等的充要条件复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．21．设，其中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数相等求参数，再根据共轭复数的的形式，即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故．故选：D22．设，其中为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】根据给定条件，结合复数乘法运算及复数相等求解即得.【详解】由，得，而，因此，所以.故选：A23．已知复数，的模长为1，且，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】设，，分别计算，，，，由可得，即可求得，，即可求解.【详解】设，，则，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，所以，即，所以，所以，，所以.故选：.24．已知复数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.【详解】复数，且，所以，则因为，所以，当时，，当时，所以的取值范围是.故选：B.25．已知，下列命题正确的是（

）A．B．C．若，则至少有1个为0D．若是两个虚数，，，则为共轭复数【答案】BCD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据除法运算结合共轭复数概念分析判断；对于C：根据复数乘法结合复数相等分析判断；对于D：根据复数的四则运算结合复数的相关概念分析判断.【详解】设，对于选项A：例如，则，显然，故A错误；对于选项B：因为，则，可得；又因为，可得，所以，故B正确；对于选项C：因为，可得，解得或，即或，所以至少有1个为0，故C正确；对于选项D：若是两个虚数，则，因为，则，即，又因为，则，即，可得，所以，即为共轭复数，故D正确；故选：BCD.26．若，则下列结论正确的是（

）A．若为实数，则B．若，则C．若，则D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则【答案】AC【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的模长公式、复数相等以及复数的乘除法运算逐个选项判断可得答案.【详解】若为实数，则虚部为，即，故A正确；若，则，则，解得，故B错误；若，则，解得，则，，故C正确；若在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得，故D错误.故选：AC.27．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（）A．是关于的方程的一个根，则B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件C．若复数，且，则D．若复数满足，则复数的虚部为【答案】BD【分析】将代入方程，化简后利用复数相等列式求解即可判断A；根据纯虚数的定义及充分性和必要性得定义即可判断B；根据复数的模的计算求出，即可判断C；设复数，根据复数的加法运算及复数相等的条件即可求出复数，即可判断D.【详解】对于A，因为是关于的方程的一个根，所以，即，所以，解得，故A错误；对于B，当时，若，复数是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；当是纯虚数，则且，故必要性成立，故正确；对于C，若复数，则，解得，故C错误；对于D，设复数，则，所以，故，所以复数的虚部为，故D正确.故选：BD.28．设为虚数单位．若集合，，且，则．【答案】【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.【详解】由集合，，因为，当时，此时，方程组无解；当时，此时，解得，综上可得，实数的值为.故答案为：.29．已知，且，则．【答案】1【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可.【详解】，所以，解得.故答案为：130．已知复数满足，则的最大值为．【答案】/【分析】设出的代数形式，利用复数相等求出，再借助复数的几何意义求解即得.【详解】设复数，由，得，整理得，于是，即，，由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上，表示这个圆上的点到表示复数的对应点的距离，距离的最大值是.故答案为：考点04：复数代数形式的除法运算设，（），我们规定：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．31．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案.【详解】由题意可得，故，解得，故选：A32．已知，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】将化为，根据复数的相等，求得，求得答案.【详解】由可得，即，故，故，故选：A33．已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.【详解】，所以，解得，故选：B.34．已知是复数的虚数单位，且，则的值为．【答案】【分析】计算出，从而求出，以及的值.【详解】因为，所以，，所以，故答案为：.35．已知复数,,如果为纯虚数,那么.【答案】【分析】根据为纯虚数,进行化简,使实部为0,求出a即可.【详解】解:由题知,,,为纯虚数,,.故答案为:36．已知，复数（i是虚数单位），若，则，.【答案】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，利用求出，利用模长公式求出模长即可.【详解】，因为，故，得，故.故答案为：；.37．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可；（2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】（1）设，由，得，即，整理得，因为，即，所以，解得，所以；（2）由（1）结合，可得，所以，所以.38．解答下列各题：(1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；(2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．【答案】(1)(2)【分析】（1）设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得.（2）由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可.【详解】（1）（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数．（2），由复数表示的点位于第四象限，可得，解得，当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，∴m的取值范围为.39．已知复数是方程的解，(1)求；(2)若，且（，为虚数单位），求．【答案】(1)(2)【分析】（1）解出方程即可求解；（2）由，可得，再结合条件求出，，进而求解.【详解】（1）由，即，可得，解得，即（2）由（1）知，，因为，所以，，所以，所以，解得，，所以.40．已知复数，，其中a是正实数．(1)若，求实数a的值；(2)若是纯虚数，求a的值．【答案】(1)2(2)2【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值；（2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值；【详解】（1）解：∵，，，∴，从而，解得，所以实数a的值为2．（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．考点05：在复数范围内解方程复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．注意：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．41．关于的方程在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】首先利用实系数一元二次方程的求根公式求解，再根据复数的运算判断选项.【详解】由求根公式可知，不妨取，，（本题与的顺序无关），，所以，且，故BD正确；，故A正确；由A可知，，，所以，故C错误.故选：ABD42．下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若是关于的方程的根，则【答案】ACD【分析】对于A，利用利用复数的乘方运算求解判断，对于B，举例判断，对于C，通过计算判断，对于D，利用根与系数的关系求解.【详解】对于A，，所以A正确，对于B，若，则满足，而两个复数不能比较大小，所以B错误，对于C，，则，，所以，所以C正确，对于D，因为是关于的方程的根，所以是关于的方程的另一个根，所以，得，所以D正确，故选：ACD43．已知是虚数单位，下列说法中正确的是（

）A．若，互为共轭复数，则B．若复数满足，则复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上C．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为D．若是关于的方程的一个根，其中，为实数，则【答案】ACD【分析】根据复数的相关概念及复数的运算直接可判断各选项.【详解】A：设，则，则，A正确；B：设复数，则其对应的点为，，所以，即，所以复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，B错误；C：由已知，，则，对应的复数为，C正确；D：易知方程的两个根互为共轭复数，设分别为与，又，则，且，所以，D正确；故选：ACD.44．已知是方程在复数范围内的根，则．【答案】【分析】求出复数根，后求模即可.【详解】方程解得，得.故答案为：.45．若虚数i是方程的一个根，则.【答案】1【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解.【详解】因为i是方程的一个根，所以，即，得，解得，所以.故答案为：146．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则.【答案】【分析