考点巩固卷01 集合与常用逻辑用语（7大考点）-新课标2025年高考《数学》一轮复习考点通关卷（解析版）

第第页试卷第=page22页，共=sectionpages1818页考点巩固卷01集合与常用逻辑用语(七大考点)考点01：集合元素的特征集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.1．若，则．【答案】2【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因为，所以或，若，，不满足互异性；若或2，又，所以，故答案为：2.2．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是．【答案】且且【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.【详解】解：由元素的互异性，可知，解得:且且.故答案为：且且3．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是.【答案】或【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.【详解】由方程，则或，当存在两个相等的实数根时，，解得，此时方程的解为，符合题意；当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，此时，则方程另一个解为，符合题意.综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.故答案为：或.4．已知集合，若，则实数.【答案】0【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值.【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性；若，则，故，满足题设，所以.故答案为：05．若，则.【答案】【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解.【详解】解：由题意，∵集合中有元素，∴，又∵，∴，则，∴，∴，解得：或，当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，，满足，∴，则.故答案为：.考点02：集合与集合之间的关系集合间的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.注意：1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断（2）数形结合法进行判断结论：若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．6．已知集合，，若，则.【答案】【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案.【详解】依题意可知，由于，所以，此时，所以，解得或（舍去），所以.故答案为：.7．已知集合，，若，则．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合，，由，得，又，因此，所以.故答案为：38．已知集合，则的取值集合为.【答案】【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.【详解】由题意可知：，因为,所以当时，；当时，则,则或，解得或，综上得，a的取值集合是.故答案为：9．已知集合，，则的概率为．【答案】【分析】根据给定条件，利用列举法写出样本空间的所有样本点，再结合一元二次方程解集确定事件发生的样本点即得.【详解】等价于，记该事件为，由于，，因而取值情况如表所示．123123样本空间共有9个样本点，方程的判别式，当取，，，，，时，，则，；当取时，，，；当取时，，但方程有两个无理根，不符合题意；当取时，，，，因此事件有8个样本点，那么所求概率．故答案为：10．已知集合，，则的子集个数．【答案】【分析】解不等式可得集合与，进而可得及其子集个数.【详解】由已知，，所以，所以的子集个数为，故答案为：.考点03：集合交并补运算集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．结论：（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（2）．（3）,．11．已知全集，集合，，则．（结果用区间表示）【答案】【分析】根据题意结合一元二次不等式可得集合，再根据集合的交集和补集运算求解.【详解】因为，则或，又因为，所以.故答案为：.12．已知集合，，则.【答案】【分析】求得，，进而可求.【详解】由，可得，所以，，由，解得，.故答案为：.13．已知，，，则．【答案】【分析】根据根号下大于等于0得到集合，再根据指数函数值域得到集合，再结合集合交并补运算即可.【详解】由题意可得或，，所以，所以．故答案为：.14．已知集合，，则.【答案】【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果.【详解】由，得到，所以，或，又易知的定义域为，所以，所以，故答案为：.15．已知集合，，则．【答案】或【分析】由定义域可得，由一元二次不等式的解法可得，利用交集、补集运算求解即可．【详解】由题，所以或．故答案为：或考点04：充分条件与必要条件的判定1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。如：命题是命题成立的××条件，则命题是条件，命题是结论。又如：命题成立的××条件是命题，则命题是条件，命题是结论。又如：记条件对应的集合分别为A,B则,则是的充分不必要条件；,则是的必要不充分条件。2、“”读作“推出”、“等价于”。，即成立，则一定成立。3、充要条件已知命题是条件，命题是结论（1）充分条件：若，则是的充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。如：是的充分条件。（2）必要条件：若，则是的必要条件.所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足才是偶函数，满足是奇函数。充要条件：若，且，则是充要条件.技巧：对于充分条件，可以看作是小推大，即若p是q的充分条件（q是p的必要不充分条件），则即可认为p是q的子集.若是充分不必要条件，可以认为p是q的真子集，即在判定充要条件的时候只要认准谁是谁的子集即可.16．已知向量，，则“”是“或”的（

）条件．A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.17．在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案.【详解】当成等比数列时，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，所以，充分性满足；当时，，而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.则“成等比数列”是的充分不必要条件.故选：A.18．设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据空间公理确定平面；再根据面面平行的判定定理和性质可得出充分性成立；最后根据面面平行的性质及线面位置关系可得出必要性不成立.【详解】设两条相交的直线，确定一个平面，因为，，直线，相交，，，所以根据面面平行的判定定理可得：，又因为，，直线，相交，，，所以根据面面平行的判定定理可得：，所以，充分性成立；由，，可的：，或，，必要性不成立，所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A.19．命题，命题函数且在上单调，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可.【详解】设，则可化为．充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且当时，，在上单调递增，当时，，此时没有意义，故充分性不成立．必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减，且在上恒成立，所以，得，所以当时，在上单调递增；若在上单调递增，则，所以在上单调递减，且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去.综上可知，当函数在上单调时，，因此必要性成立．所以是的必要不充分条件．故选：B．20．“”是直线和圆相交的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】圆的圆心，半径为，若直线和圆相交，则，解得，所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件.故选：B.考点05：根据充分（必要）条件求参数范围利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围；一般可按照如下步骤：（1）化简p，q两命题；（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；（3）利用集合间的关系建立不等式；（4）求解参数范围.根据充要条件求解参数范围的方法及注意点：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解；（2）注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误；21．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A22．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得.【详解】函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D23．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围.【详解】由，得，因为不等式成立的一个必要不充分条件是，所以.故选：A24．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解分式不等式求集合，根据必要条件有是的子集，即可求参数范围.【详解】解不等式，即，得，故，所以的一个必要条件是，对于A，不是的子集，故A错误；对于B，不是的子集，故B错误；对于C，是的子集，故C正确；对于D，不是的子集，故D错误；故选：C25．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意是的子集，从而求解.【详解】，因为的充分条件是，所以，则，故选：B.考点06：存在（全称）量词命题中有关参数的取值范围由特称命题的真假确定参数的取值范围解题方法：（等价转化，分离参数）（1）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围（2）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集（3）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围（4）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围由全称命题的真假确定参数的取值范围解题方法：此类型的题目主要把握全称命题为真时和恒成立问题的联系，最终转化成恒成立问题求参数的取值范围26．若“，使”是假命题，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.27．已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：．【答案】（答案不唯一）【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解.【详解】对于，，当时，对于，，则可取任意负数，如；故答案为：.28．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是．【答案】【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解.【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，不妨设，其开口向上，对称轴方程为，则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：情形一：当即时，在上单调递增，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时有，只需，解不等式组得，故此时满足题意的实数的范围为；情形三：当即时，在上单调递减，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；综上所述：的取值范围是.故答案为：.29．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意可知：命题：，.是真命题，①当时，结论显然成立；②当时，则，解得；故答案为：.30．已知命题.若为假命题，则的取值范围为.【答案】【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题，从而转化为恒成立，利用导数研究最值，即可求出的取值范围.【详解】为假命题为真命题，故，令，则，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故答案为：.考点07：你中有我，我中有你（Venn图）一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解31．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必