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第第页保密★启用前2025届新高三学情摸底考01(新课标卷)数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合,,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为,,所以.故选:B2.已知为虚数单位,,则在复平面内的共轭复数对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】根据复数乘法可得,再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可得:,则,所以在复平面内的共轭复数对应的点位,位于第一象限.故选:A.3.向量,且∥,则实数(
)A.5 B. C.2 D.【答案】D【分析】根据向量的线性运算可得,结合向量平行的坐标运算分析求解.【详解】因为,则,若∥,则,解得.故选:D.4.设函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程,即可得其与坐标轴的交点坐标,即可得其面积.【详解】,则,即该切线方程为,即,令,则,令,则,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选:A.5.若,则的值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.【详解】由,得.故选:B6.已知,则该圆的圆心坐标和半径分别为(
)A., B.,C., D.,【答案】A【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解.【详解】的标准方程为,故所求分别为,.故选:A.7.唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力、开放的心态、丝绸之路的畅通,使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆,你会看到“东学西渐”和“西风东来”,各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯(如图1)就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体(假设内壁光滑,杯壁厚度可忽略),如图2所示.已知球的半径为,酒杯容积为,则其内壁表面积为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】设圆柱的高为,内壁的表面积为,可得,可得,利用几何体的几何特征可求内壁表面积.【详解】设圆柱的高为,内壁的表面积为,由题意可知:,解得,内壁的表面积等于圆柱的侧面积,加半球的表面积,即.故选:D.8.已知双曲线的左右焦点分别为,曲线上存在一点,使得为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】画出图形,用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.【详解】如图所示,为等腰直角三角形,且,运用勾股定理,知道根据.由双曲线定义,知道,即,解得,故离心率为:.故选:C.二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知事件满足,,则下列说法正确的是(
)A.若事件A与事件B相互独立,则它们的对立事件也相互独立B.事件A与事件B可能为对立事件C.若事件A与事件B相互独立,则D.若事件A与事件B互斥,则【答案】ACD【分析】选项A,利用相互独立事件的定义,即可求解;选项B,利用对立事件的概率和为1,即可求解;选项C,利用相互独立事件的概率公式,即可求解;选项D,利用互斥事件的概率公式,即可求解.【详解】对于选项A,根据相互独立事件的定义易知选项A正确;对于选项B,对立事件的概率和为1,但.故选项B错误;对于选项C,根据相互独立事件的定义,,故选项C正确;对于选项D,事件A与事件B互斥,则,故选项D正确.故选:ACD.10.若函数的图象经过点,则(
)A.点为函数图象的对称中心B.函数的最小正周期为C.函数在区间上的函数值范围为D.函数的单调增区间为【答案】ACD【分析】先求出解析式,对于A,求出函数的对称中心即可判断;对于B,由解析式及最小正周期公式求解即可;对于C,根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围;对于D,求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切(型)函数图象性质得出函数的单调增区间.【详解】由题,又,故,所以,对于A,令,则,所以的对称中心为,当时,,故点为函数图象的一个对称中心,故A正确;对于B,由上的最小正周期为,故B错误;对于C,当,,故,故C正确;对于D,令,所以,所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间,令即,所以即,所以函数的零点为,
所以函数的单调递增区间为,故D正确.故选:ACD.11.已知定义在上的函数,对任意有,其中;当时,,则(
)A.为上的单调递增函数B.为奇函数C.若函数为正比例函数,则函数在处取极小值D.若函数为正比例函数,则函数有两个零点【答案】AB【分析】选项A,利用函数单调性的定义,设,,得出即可得证;选项B,先得出,再设,得出,即可得证;选项C,在前提下,求函数的导函数,分析导函数的正负,得出函数的单调性以及极值即可;选项D,在前提下,函数,利用零点存在性定理,代入特殊值检验即可.【详解】对于选项A,设,且,,,即,故单调递增,选项A正确;对于选项B,是定义在上的函数,取,则,取,则,即,故是奇函数,选项B正确;对于选项C、D,设,代入,得,其中C选项,,,当时,,在区间上单调递增,当时,,在区间上单调递减,函数在处取极大值,无极小值,选项C错误;其中D选项,函数,其中,,,,由零点存在性定理可知,函数分别在区间,和上各至少存在一个零点,选项D错误;故选:AB三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.在展开式中,含项的系数是.(用数字作答)【答案】【分析】根据二项式定理及组合数的性质计算可得.【详解】,其中展开式的通项为(且),所以展开式中含项的系数为:.故答案为:13.在中,的角平分线交于,则.【答案】【分析】在中,由余弦定理可得:,由正弦定理可得,根据角平分线的性质可得:,在中,由正弦定理可得:即可求解.【详解】因为在中,
由余弦定理可得:,解得由正弦定理可得:,即,解得:,因为的角平分线交于,所以,由角平分线性质可得:,所以,在中,由正弦定理可得:,即,解得:故答案为:14.已知分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,且为等边三角形;过且垂直于的直线与椭圆交于两点,则的周长为.【答案】16【分析】根据条件可得,然后根据椭圆的定义可得【详解】由,得因为为等边三角形,,且过且垂直于的直线与椭圆交于两点,所以DE为线段的垂直平分线,得,则的周长为,故答案为:16四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,,…,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;(2)求样本成绩的第75百分位数;(3)已知落在的平均成绩是56,方差是7,另一组落在已知内,且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差.【答案】(1)(2)84.(3)平均数为65,方差为4【分析】(1)根据频率之和为1即可求解,(2)根据百分位数的计算公式即可求解,(3)根据平均数的计算可得的平均数,即可利用总体方差公式即可求解.【详解】(1)由每组小矩形的面积之和为1得,,所以.(2)成绩落在内的频率为,落在内的频率为,显然第75百分位数,由,解得,所以第75百分位数为84.(3)由频率分布直方图知,成绩在的市民人数为,成绩在的市民人数为,所以的平均数为x,方差为,,则.由样本方差计算总体方差公式,得总方差为,计算可得方差为4.16.(15分)已知数列是等差数列,且.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)由题可得,从而求出,,进而得到数列的通项公式;(2)由(1)得,采用裂项相消法求出.【详解】(1)设等差数列的公差为,解得.,可得,解得.所以.(2),所以17.(15分)如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,,,点M为AC的中点.(1)求证:平面平面PAB;(2)线段PC上是否存在点N,使得平面BMN?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,【分析】(1)根据面面垂直的判定定理可得证;(2)过点M作垂足为F,根据线面垂直的判定可证平面BMN,然后根据平面几何知识求出,进而求出即可得.【详解】(1)因为平面平面ABC,平面,,平面平面ABC,所以平面ABC,平面ABC,所以,又,,所以,又,所以,所以,又,是平面内的两条相交直线,所以平面,又平面,所以平面平面PAB(2)存在,当时,平面BMN,过点M作垂足为F,由(1)知平面ABC,平面ABC,所以,又点M为AC的中点,,所以,,是平面内的两条相交直线,所以平面,又平面,所以,,是平面BMN内的两条相交直线,所以平面BMN,由已知得,又,即,又,所以,所以,故当时,平面BMN,18.(17分)已知动圆P过点,并且与圆外切,设动圆的圆心P的轨迹为C.(1)直线与圆相切于点Q,求的值;(2)求曲线C的方程;(3)过点的直线与曲线C交于E,F两点,设直线,点,直线交于点M,证明直线经过定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2),;(3)证明见解析,定点【分析】(1)利用直线与圆相切的几何性质,结合勾股定理,即可求解;(2)由圆与圆的位置关系,构造双曲线的定义,即可求解;(3)分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论,并联立直线与双曲线方程,利用韦达定理表示,即可求解定点.【详解】(1)由直线与圆的位置关系可知,,所以点;(2)由题意可知,设动圆半径为,,,,即,所以点是以为焦点的双曲线的右支,,,则,所以曲线的方程为,;(3)当直线的斜率不存在时,,,直线,当,得,即,直线,此时直线过点,当直线的斜率存在时,设直线,,,直线,当时,,,联立,得,,,,下面证明直线经过点,即证,,把,代入整理得,即,所以直线经过点,综上可知,直线经过定点,定点坐标为.19.(17分)对于函数,规定,,…,,叫做函数的n阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数,且在开区间上具有阶导数,则对闭区间上任意一点x,,该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式,是此泰勒展开式的n阶余项.已知函数.(1)写出函数在处的3阶泰勒展开式(用表示即可);(2)设函数在处的3阶余项为,求证:对任意的,;(3)求证:.【答案】(1);(2)证明见详解;(3)证明见详解.【分析】(1)根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果;(2)根据泰勒
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