1.1.2 勾股定理的验证与应用 北师大版八年级数学上册教学课件

第一章勾股定理1.1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用勾股定理的验证勾股定理的应用上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.1知识点勾股定理的验证做一做为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图2、图3.图1图2图3（1）将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式

表示出来；（2）图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？

你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种

方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，

以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．

2．用拼图法验证勾股定理的思路：(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空

隙，面积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出

图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→

推导结论．

议一议观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.

例1如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，

b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定

理正确性的图形．

(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)说明勾股定理的正确性．

导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不

重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．解：方法一(补拼法)：(1)如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为(a＋b)2，

也可以表示为c2＋4×ab，所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二(叠合法)：(1)如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为c2，

也可以表示为ab×4＋(b－a)2，

所以c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．总

结（来自《点拨》）勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如

图所示的图形，则下列结论中正确的是(

)A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2A2知识点勾股定理的应用

例2我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一

辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得

汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能

帮小王计算敌方汽车的速度吗？分析：根据题意，可以画出右图，

其中点A表示小王所在位置，

点C、点B表示两个时刻敌方

汽车的位置.由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，

也就是5002=BC2+4002,

所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，

那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）,

即它行驶的速度为108km/h.1.勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三

角形)与数量关系(三边关系)有机结合起来；在几何及

日常生活中都有着广泛的应用．2．运用勾股定理进行计算分三步：第一步：注意应用的

前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的

对象，即看是求直角边长，还是斜边长或者两种均有

可能；第三步：运用勾股定理进行计算．

例3〈实际应用题〉两棵树之间的距离为8m，两棵

树的高度分别是8m，2m，一只小鸟从一棵树的

树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多

少米？导引：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直

角三角形，再利用勾股定理求解．解：根据题意画出示意图，如图所示，

两棵树的高度分别为AB＝8m，CD＝2m，

两棵树之间的距离BD＝8m，

过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.

则BE＝CD＝2m，EC＝BD＝8m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．

在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，

即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10m.

答：这只小鸟至少要飞10m．如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙脚

1.5m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚(

)A．0.2mB．0.4mC．2mD．4mC2(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(

)A．8mB．10m