高中数学 2-3-1双曲线的标准方程规范训练 苏教版选修2-1_第1页
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文档简介

2.3双曲线2.3.1双基达标限时15分钟1.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k=______.解析由eq\f(y2,-\f(8,k))-eq\f(x2,-\f(1,k))=1知-eq\f(8,k)-eq\f(1,k)=9,故k=-1.答案-12.已知双曲线的焦点在y轴上,且a+c=9,b=3,则它的标准方程是____________.解析由a+c=9,c2=a2+b2=a2+9,解得a=4,又焦点在y轴上,故双曲线的方程为eq\f(y2,16)-eq\f(x2,9)=1.答案eq\f(y2,16)-eq\f(x2,9)=13.过双曲线eq\f(x2,4)-eq\f(y2,3)=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点,F2为其右焦点,则MF2+NF2-MN的值为______.解析MF2+NF2-MN=(MF2-MF1)+(NF2-NF1)(根据双曲线的定义)=2a+2a=4×2=8.答案84.已知双曲线的焦距为26,eq\f(a2,c)=eq\f(25,13),则双曲线的标准方程是____________.解析c=13,a2=25,∴b2=144.答案eq\f(x2,25)-eq\f(y2,144)=1或eq\f(y2,25)-eq\f(x2,144)=15.双曲线两焦点坐标分别为F1(0,-5)、F2(0,5),2a解析由题意知焦点在y轴上且a=4,c=5,则b2=9.答案eq\f(y2,16)-eq\f(x2,9)=16.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(15,4))),Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(16,3),5)),且焦点在坐标轴上;(2)c=eq\r(6),且过点(-5,2),焦点在x轴上;(3)与双曲线eq\f(x2,16)-eq\f(y2,4)=1有相同焦点,且经过点(3eq\r(2),2).解(1)设双曲线方程为eq\f(x2,m)+eq\f(y2,n)=1(mn<0),∵P、Q两点在双曲线上,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)+\f(225,16n)=1,\f(256,9m)+\f(25,n)=1)),解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m=-16,n=9)),∴所求双曲线方程为eq\f(y2,9)-eq\f(x2,16)=1.(2)∵焦点在x轴上,c=eq\r(6),∴设所求双曲线方程为:eq\f(x2,λ)-eq\f(y2,6-λ)=1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(-5,2),∴eq\f(25,λ)-eq\f(4,6-λ)=1,解得λ=5或λ=30(舍去).∴所求双曲线方程是eq\f(x2,5)-y2=1.(3)设所求双曲线方程为:eq\f(x2,16-λ)-eq\f(y2,4+λ)=1(其中-4<λ<16).∵双曲线过点(3eq\r(2),2),∴eq\f(18,16-λ)-eq\f(4,4+λ)=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线方程为eq\f(x2,12)-eq\f(y2,8)=1.综合提高限时30分钟7.若方程eq\f(x2,9-k)+eq\f(y2,k-3)=1表示焦点在y轴上的双曲线,则k的取值范围是____________.解析由k-3>0,9-k<0得k>9.答案k>98.方程eq\f(x2,1+k)+eq\f(y2,1-k)=1表示双曲线,则k的取值范围是________.解析由题意得(1+k)(1-k)<0即(k+1)(k-1)>0,∴k>1或k<-1.答案k>1或k<-19.双曲线eq\f(x2,25-k)+eq\f(y2,9-k)=1的焦距为__________.解析∵25-k>9-k,则25-k>0,9-k<0,即a2=25-k,b2=k-9,∴c2=16,c=4,焦距为2c答案810.已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1,点A、B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,AB=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为________.解析由AF1-AF2=2a,BF1-BF2=故AF1+BF1=4a+而AF1+BF1+AB=4a+2AB=4a+答案4a+11.已知F1、F2是双曲线eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1的左、右焦点,P在双曲线右支上,且PF1·PF2=32,求∠F1PF2的大小.解由双曲线定义和条件,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PF1-PF2=6,,PF1·PF2=32,))所以62=(PF1-PF2)2=PF12+PF22-2PF1·PF2所以PF12+PF22=100.在△PF1F2中,由余弦cos∠F1PF2=eq\f(PF12+PF22-F1F22,2PF1·PF2)=0,所以∠F1PF2=90°.12.如图所示,在△ABC中,已知AB=4eq\r(2),且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程,并指明表示什么曲线.解如图,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2eq\r(2),0),B(2eq\r(2),0).由正弦定理得sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R),∵2sinA+sinC=2sinB,∴2a+c=2b,即b-a=eq\f(c,2),从而有CA-CB=eq\f(1,2)AB=2eq\r(2)<AB.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支.∵a=eq\r(2),c=2eq\r(2),∴b2=c2-a2=6.所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,2)-eq\f(y2,6)=1(x>eq\r(2)).故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(eq\r(2),0).13.(创新拓展)以原点为圆心,以双曲线eq\f(x2,9)-eq\f(y2,3)=1的半焦距为半径作圆与双曲线相交,求其中一个交点到两个焦点的距离之和.解∵a=3,b=eq\r(3),∴c=2eq\r(3),2a=6,2c=F1F2=4eq\r(3),设其中一个交点为M,MF1=d1,MF2=d2,其中F1、F2为双曲线的两个焦点,则∠F1MF2=90°,d12+d22=F1F22=(2c)|d1-d2|=|MF1-MF2|=2aeq\b\

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