张天孝：《提高数学素养-降低学习难度》课件

提高数学素养

降低学习难度

杭州新思维教育培训中心

张天孝2024/7/301张天孝浙江省首位功勋教师、特级教师，杭州现代小学数学教研名誉主任。生于1937年，生肖属牛，正是小学数学界的“老黄牛”，50年如一日孜孜不倦、持之以恒地研究小学数学，完成了5套教材的编写，多次获得浙江省人民政府基础教育教学成果一等奖，出版专著150多部，在国际国内学术刊物发表文章120余篇。目前，带领团队主编义务教育课程标准《新数学读本》。2024/7/302

2002年，我们在《现代小学数学》实验的基础上，开展了以“提高数学素养、降低学习难度”为目标的新思维小学数学教学序列和教学方式的研究。2024/7/303我们认为，数学课程改革不能以降低学生数学水平为代价来减轻学生的负担。2024/7/304《国家中长期教育改革和发展规划纲要》（以下简称《教育规划纲要》）在论及“减轻学生课业负担”时，关于课程内容方面的提法是2024/7/305“调整教材内容，科学设计课程难度”。2024/7/306“减轻负担”不是削减数学教学内容，降低数学能力要求，而是通过设计科学的学习序列，来降低学生学习的难度。2024/7/307“降低学习难度”就是要降低学生学习新知识时第一时间产生的难度，减少学生解题起始状态所遇到的困难。2024/7/308新思维小学数学教学体系，致力于使学生在学习重要知识与形成能力时，能象“滚雪球“那样滚动发展，经历逐步积累的过程。2024/7/309采取“前有孕伏，中有突破，后有发展”的呈现序列，按照“为进而退，退中悟理，执理而进”的思路设计训练系列。2024/7/3010“前有孕伏”，是指结合可以联系的知识点，将学习一个重要知识所必需的基础进行前期铺垫，降低在新知识学习时第一时间产生的难度。2024/7/3011如“约分和通分”，在三年级学习“商不变性质”时，就设计了这样的练习：

（1）48÷16=□÷2

360÷15=72÷□

2024/7/3012把被除数或除数改小，为学习约分作铺垫。

2024/7/3013

把不同的除数转化为相同的除数，为学习通分作准备。2024/7/3014在学习“分数的意义和性质”之前，四年级安排了“分数与除法”这一单元，在学习“公因数”时，出现了：2024/7/3015写出下列各分数分子、分母的最大公因数。

2024/7/3016在学习“公倍数”时，出现了：

2024/7/3017在学习分数的基本性质时，又出现了：

2024/7/3018

为学习“约分和通分”作好充分准备。

2024/7/3019“中有突破”，有了以上“孕伏”，降低了学习“约分和通分”第一时间产生的难度，学生能主动利用原有的知识，突破新知识探索中的难点。2024/7/3020在通常情况下，总是把约分、通分分开来学，学生不容易掌握约分与通分的联系与区别，难以形成整体的认知结构。2024/7/3021《新思维数学》把它安排在同节课学习，在学生掌握简分数和分数基本性质的基础上，把约分与通分两种分数的变形作为分数基本性质应用的一个整体，2024/7/3022在把非简分数化简分数的过程中引出约分，在把两个异分母的简分数化成同分母的非简分数的过程中引出通分。2024/7/3023在不同的转化中找出转化的共同依据，从联系中进一步考察它们的区别。2024/7/3024教学时，引导学生观察下面四个分数。

2024/7/3025（1）你能将，

两个非简分数应用分数基本性质进行转化，使它们能够直接比较大小吗？2024/7/3026根据学生回答出示

2024/7/30272024/7/30282024/7/30292024/7/3030（2）你能按照转化的方式分成两类吗？

分数的分子和分母同时除以一个数作为一类。2024/7/30312024/7/3032想一想，转化结果有什么共同点？

得出：一个数的分子、分母同时除以公因数，分数的大小不变，这个过程叫约分。2024/7/3033分数的分子和分母同时乘一个分数作为另一类

2024/7/30342024/7/3035想一想，转化的结果有什么共同点？

得出：把几个异分母分数转化成与原来分数相等的同分母分数，这个过程叫通分。2024/7/3036这样处理，把静态的知识结论转化为动态的探索对象，强调学生主动参与，让他们在探索新知识的过程中付出2024/7/3037与前人发现这些知识结论时大体相同的智力价值，从而有效地实现学知识，长智慧的目的。2024/7/3038“后有发展”，是指把探索中获得的数学知识和方法进行迁移，在知识应用的深度、广度和灵活度上有所拓展。2024/7/3039如出现这样的习题：

分母是12的简分数有哪些？

2024/7/3040第一步，根据分数的基本性质，把通分，得

2024/7/3041第二步，考虑从

分母是180的分数中，哪些是约分以后分母是12的分数，

2024/7/3042因为180÷15＝12,所以

2024/7/3043得到，，

三个分数；

第三步排除，

即是答案。2024/7/3044减少学生在解题起始状态所遇到的困难，我们按照“为进而退，退中悟理，执理而进”的思路，进行题组训练。2024/7/3045如《新思维数学》（浙教版小学《数学》）第一册第107页有这样一道题：2024/7/3046从1～9这九个数中，各选一个数填入□里（每个数只能填一次）。

□+□+□=□+□2024/7/3047这道题有一定难度，对难题不是知难而退，而是要设计系列口算训练。如，2024/7/30482024/7/3049降低难度。2024/7/3050经口算训练后，据12个班569名学生的测查，5分钟内有95.2%的学生能得到1个以上的解，2024/7/3051其中5个解以上的有359人，占63.2%，10个解以上的有116人，占20.3%。有一位学生得到了19个解。2024/7/3052难题不难了，在限定时间能能否解答，能得到几个解，充分反映了学生的基本运算能力和解题的策略水平。2024/7/3053“提高数学素养”，不是增加知识点，也不是延长教学时间，而是坚持能力为重，2024/7/3054在知识应用的深度、广度、灵活度上有所拓展，着力提高学生的学习能力、实践能力、创新能力，促进智慧的生长。2024/7/3055为此，要配合知识点设计一些简结构大容量的习题，既是基础知识与基本技能的训练，又是基本思想方法的训练和基本活动经验的积累和解决问题策略的训练。2024/7/30562024/7/30572024/7/3058连接方格里的数，使和为30.

2024/7/3059连接方格里的数，使和为57。

2024/7/30602024/7/30612024/7/30622024/7/3063

在方格中找出四连方图形，并用图形中的4个数算出24。

2024/7/3064这是一道数形结合题，通过学生主动构建算式，开拓思路。2024/7/30652024/7/30662024/7/30672024/7/30682024/7/30692024/7/30702024/7/30712024/7/30722024/7/30732024/7/3074提高数学素养，在教学中要处理好两个关系：

第一，学知识与长智慧的关系。2024/7/3075居于当前课堂教学主导地位的还不是智慧，仍然是以知识传授为主的课堂，评价课堂教学的标准仍然是知识的多少，智慧被边缘化。2024/7/3076这样的课堂肯定不是培养创新精神和实践能力的课堂。小学数学课堂教学应当从知识信息的传递，走向智慧教育的轨道。2024/7/3077智慧是人们获取、应用、创造知识，以及创造性地解决问题的能力、方法、谋略和思维方式。2024/7/3078智慧不是实体，体面在过程之中，体现在思考的活动中。数学学习中的智慧整合于分析、概括、推理和化归的过程。2024/7/3079在数学学习中，每个人都有智慧的潜质，通过知识的获取，思维的训练，解决问题的锻炼，2024/7/3080人人都有潜能可开发，人人都能发展智慧，所以数学教育不能只关注学生的现实性，更应该关注从现实性走向更高的可能性。2024/7/3081知识不等于智慧，知识的积累并不一定直接带来智慧的增长。但智慧在很大程度上又依赖于知识，本质上不依赖知识的多少，2024/7/3082而依赖于对知识的理解，依赖于种种知识之间联系的把握，依赖于运用知识解决问题。2024/7/3083因此，把知识传授为主的课堂转变到智慧教育的轨道，关键是基于知识又超越知识。2024/7/3084基于知识，要重视知识教学，依托知识，打好知识基础；超越知识，强调的不能满足于知识，不能止于知识，重要的是把知识转化为智慧。2024/7/3085学数学长智慧，在数学学习过程中，从学生已有知识出发，在解决数学问题的过程中，促进数学思考，加强数学思想方法训练，提高学生的思维品质。2024/7/3086例如，我们在三、四年级的数学兴趣活动中，开展了“三角形填数”的训练，学生兴趣十分浓厚，在探索中理性思维得到训练，感受到数学的魅力。2024/7/3087两个一样大的等边三角形，各内含4个一样大的小三角形，将涂色的小三角形重叠：

2024/7/3088

在小三角形内填入1～7这七个数，分别使两个大三角形内四个数的和相等。2024/7/3089思考：

（1）1～7这七个数的和是多少？

（1+7）×7÷2＝282024/7/3090（2）哪个小三角形内的数需要重复计算？要重复计算的可能是哪几个数？为什么？2024/7/3091（3）需要重复计算的数填入后，余下的六个数怎样填才能保证两个大三角形4个数的和相等？2024/7/30922024/7/30932024/7/30942024/7/3095（4）如果在小三角形填入2～8,又怎样填呢？

（2+8）×7÷2＝352024/7/30962024/7/30972024/7/30982024/7/30992.如果增加一个

2024/7/30100三个一样大的三角形，涂色部分重叠，在小三角形内填入0～9十个数，使四个大三角形内的4个数的和相等。2024/7/30101思考：

（1）0～10这十个数的和是多少？

（0+9）×10÷2＝452024/7/30102（2）哪些小三角形里的数要重复计算？各要重复计算几次？2024/7/30103（3）重复计算最多的可能是哪几个数？你是怎样确定的？这些数应该填在哪里？2024/7/30104（4）确定中间小三角形所填的数后，余下的九个数怎样填才能保证四个大三角形内四个数的和相等？2024/7/3010545减去中间小三角形所填的数，将余下的九个数分成和相等的“三数组”。2024/7/30106（5）中间大三角形（倒三角形）三个数怎样填？2024/7/30107在三数组中各选一个数，所选的3个数的和与三数组相等，把所选的三个数分别填入需要重复计算一次的小三角形内。这样就得到如下基本解法：2024/7/30108①（45－0）÷3＝15和＝15+0＝15

9+1+5＝8+3+4＝7+6+22024/7/301092024/7/301102024/7/301112024/7/301122024/7/301132024/7/301142024/7/30115②（45－3）÷3＝14和＝14+3＝17

9+5+0＝7+6+1＝8+4+22024/7/301162024/7/301172024/7/301182024/7/301192024/7/30120③（45－6）÷3＝13和＝13+6＝19

9+4+0＝1+5+7＝8+2+32024/7/301212024/7/301222024/7/301232024/7/301242024/7/30125④（45－9）÷3＝12和＝12+9＝21

8+4+0＝1+6+5＝3+7+22024/7/301262024/7/301272024/7/301282024/7/301292024/7/30130第二，处理好大众数学教育与英才数学教育的关系。2024/7/30131数学课程改革倡导的是大众数学教育，同时倡导不同的人学习不同的数学，近几年一些学者发出“英才教育之忧”的呼喊，引发了对数学教育的思考。2024/7/30132在教育大普及的背景下，世界各国正在强化英才教育。任何一个强国都是重视英才教育的。因为英才教育是关系国家的前途和民族命运。2024/7/30133数学课程是英才教育的核心课程，法国教育部中法教育合作项目招收中国学生只考数学，说明数学对人才选拔的重要性，从数学问题解决中可反映一个人的智慧水平。2024/7/30134《教育规划纲要》有一句话应引起我们的注意：“尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育”。这为我们的教育改革指明了一个方向。2024/7/30135许多老师在多年的教学实践中，会发现这种现象：不少原来智力突出的孩子，因为“吃不饱”，2024/7/30136“吃不好”而丧失对学习的兴趣和探索的欲望，而导致“不想吃”，有的甚至变成了后进生。2024/7/30137关注教育公平，同样应尊重这部分孩子受到良好教育的权利，“数学英才教育”要为每个孩子提供适合的教育。2024/7/30138《教育规划纲要》提出，鼓励学校办出特色，办出水平，出名师，育英才”。2024/7/30139数学在培养拔尖人才所能贡献的力量是众所周知的。拔尖创新人才的培养，要从娃娃抓起。2024/7/30140在小学要“人人学数学”，确保达到基本要求的前提下，应倡导数学英才教育，研究数学英才教育。2024/7/30141小学数学英才教育不是数学知识逐年级下放，也不是加快教学进度，而是在所学的知识范围内，2024/7/30142在知识应用的深度、广度、灵活度上有所扩展，形成以数学能力为核心的训练体系。2024/7/30143通过训练提高思维能力，促进智慧的生长。如四则运算，不能停留在根据给出的算式，按标准程序操作。2024/7/30144例如连加，除必要的基本练习外，还可以安排一些思考性的习题。如用3,6,9三个数字组成的所有三位数的和是几？2024/7/30145在头脑中形成

2024/7/30146这样的思维模式，进而研究，还有哪三个数字组成的所有三位数的和也是3996,促进函数思考能力的发展。又如2024/7/30147a,b,c,k的值各是多少？2024/7/30148在纯数学结构性问题中，主动构建算式，以求得问题的解决。例如，

如下数表，在相邻的四个数中勾画出三连方，2024/7/301492024/7/301502024/7/301512024/7/301522024/7/301532024/7/30154如果要使三连方三个数的和是173,252,340,请找出三连方延伸后的位置，并确定三个数各是多少？2024/7/30155在数表中各自向右移1格，三连方三个数的和各自增加3,各自向下移1格，则三个数的和增加21.不论右移或下移，所增加的数都是3的倍数。2024/7/301562024/7/30157已知三连方三个数的和，要确定延伸后的位置及三个数，首先要确定属于哪个模式。2024/7/30158三连方三个数的和分别减去各模式三个数的和，它们的差如果能被3整除，就属此模式。2024/7/30159（1）三连方三个数的和是173,则

a:(173-11)÷3=54b:(173-12)÷3=53…2

c:(173-18)÷3=51…2d:(173-19)÷3=51…12024/7/30160