沪科版九年级数学上册第22章相似形 集体备课教学设计

第二十二章相似形教学设计

22.1比例线段..............................................................-I-

22.2相似三角形的判定....................................................-13-

22.3相似三角形的性质....................................................-25-

22.4图形的位似变换.......................................................-30-

22.1比例线段

第1课时相似图形

教学目标

【知识与能力】

知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法

——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”。

【过程与方法】

经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界

的丰富多彩。

【情感态度价值观】

在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质。

教学重难点

【教学重点】

知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等。

【教学难点】

能运用相似图形的性质解决问题。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

观察以下三组图形：

(1)(2)(3)

每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：相似图形

例1如下图所示的四组图形，相似的有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同.①形状相同是指一模一样，没

有一点不同之处，(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要

形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)组就是这样.故选C.

易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是

相似的一种情形.

探究点二：相似多边形与相似比

【类型一】相似多边形

例2下列图形都相似吗？为什么？

(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰梯形;

(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形.

解：(1)相似，因为正方形每个角都等于90°,所以对应角相等，而每个正方形的四条

边长都相等，所以对应边长度的比相等；

(2)不一定，虽然矩形的每个角都等于90°,对应角相等，但是对应边长度的比不一定

相等，如图①；

(3)不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们

的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；

(4)相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边长度的比

相等，并且对应角都等于60°；

(5)不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等;

图③图④

(6)不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等；

(7)相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°,45°,90°,所以对应角相等，

而且每一个三角形的三边的比都是1：1：^2,所以对应边长度的比相等；

(8)相似，因为正五边形的各角都等于108°,所以对应角相等，而且正五边形的各边都

相等，所以对应边长度的比相等.

方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，

必须同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等.

【类型二】相似比

例3已知四边形力版与四边形同丘〃相似，试根据图中所给出的数据求出四边形牙纺

和四边形4及力的相似比.

80。875。/,80。675]

解：：四边形46切与四边形价劭相似，且N4=N£=80°,N片/6=75°,

...46与所1是对应边.

..EF63

•拓

3

...四边形以切与四边形/时的相似比为］

方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形

对应边和对应角的方法.

三、板书设计

「相似图形：形状相同的两个图形

r相似多边形：各角分别相等、各边成

相比例的两个多边形

似＜相似比：相似多边形对应边长度的比

图相似多边形《性质：相似多边形的对应角相等，

形对应边长度的比相等

判定：各角分别相等，对应边长度的

、比相等，二者缺一不可

教学反思

在探索相似多边形特征的过程中，让学生运用“观察一比较一猜想”分析问题，进一步发展

学生观察、分析判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反

例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质.在解决问题过程中体会学习数学的乐趣。

第2课时比例线段

教学目标

【知识与能力】

从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念。

【过程与方法】

在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察一比较一猜想”的方法分析问题。

【情感态度价值观】

在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识。

教学重难点

【教学重点】

认识成比例的线段。

【教学难点】

理解成比例线段的概念。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？

旃醐3餐

Q&

这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应

的线段的长度不同.

二、合作探究

探究点一：线段的比

【类型一】根据线段的比求长度

AMB

例1如图所示，已知M为线段上一点，4"：M?=3：5,且/6=16cm,求线段4从

的长度.

解：线段4v与，监的比反映了这两条线段在全线段48中所占的份数，由4"：,监=3:5

可知A卡JAB,MB=[AB.

oo

VJZ?=16cm,

3/、5/、

/.AIA=QX16=6(cm),MB=-X16=10(cm).

oo

方法总结：本题也可设4仁3%珈=5衣，利用34+55=16求解更简便，这也是解这类

题常用的方法.

【类型二】比例尺

例2在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm,则甲、乙两地的

实际距离是m.

解析：根据“比例尺=提黑”可求解.设甲、乙两地的实际距离为xcm,则有1：50

000=3:x,解得x=150000cm=1500m.

方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.

探究点二：成比例线段

【类型一】判断线段成比例

例3下列四组线段中，是成比例线段的是()

A.3cm,4cm,5cm,6cm

B.4cm,8cm,3cm,5cm

C.5cm,15cm,2cm,6cm

D.8cm,4cm,1cm,3cm

解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四

26

条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有三=了.故选C.

方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：

(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相

等作出判断；

(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相

等作出判断.

【类型二】由线段成比例求线段的长

例4已知三条线段的长分别为1cm,/cm,2cm,请你再给出一条线段，使得它的长与

前面三条线段的长能够组成一个比例式.

解：因为本题中没有明确告知是求1,正，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能

是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.

设要求的线段长为x,若x：1=蛆：2,则*=坐

若1：x=W:2,则x=@；

若1：2,则户卷

若1：y[2=2：x,则x=2*.

所以所添加的数有三种可能，可以是半，木,或2dl

方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转

化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.

三、板书设计

〃线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段

AB,CZ）的长度分别是/力，那么这两

条线段的比就是它们长度的比，

比ABm

加即46：CD=m：，或写成方尸一

例।JCDn

线、成比例线段：四条线段&b,c,d,如果a与万的比

段等于C与岫比，即a产力c那么这

四条线段a,b,c,MU做成比例线段，

、简称比例线段

教学反思

从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，

适时引入新知识.并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力

第3课时比例的性质与黄金分割

教学目标

【知识与能力】

1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.

2.会辨认比例式中的“项”.

3.会求常见图形中的线段比.

4.会进行黄金分割的有关计算。

【过程与方法】

1.经历探究比例、比例线段的性质的过程，体会类比的思想，促进探究、质疑、归纳能力的发

展.

2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.

3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式,

增进数学学习的情感。

【情感态度价值观】

在交流协作中，体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,

增强学习数学的兴趣。

教学重难点

【教学重点】

比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算。

【教学难点】

比例及比例线段的应用；黄金分割点的有关计算。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.

胜糖水糖水

若有含糖a千克的糖水6千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水F千克

它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为芸芸:

力十"十…十〃b

二、合作探究

探究点一：比例的性质

【类型一】比例的基本性质

勺7A

例I已知-^=5,求％的值.

解：解法一：由比例的基本性质,

得2(a+30=7X26.

:・a=4b,・•・日=4.

b

左力、上一.a+3/27力己+3b

解法一：由2b='得b=7'

方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代

数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.

【类型二】合比性质

,„ABAC

例2如图，已知肃=育

UDCL

/、ADAE

求证:(1)—=—•

、“DBEC

解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1,便可证明(1)

成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立.

,.AB_AC.AB-DBAC-EC叩亚—也

证明:⑴'~DB=~EC'"DB=EC'即无=击

,、

ADAEDBECDB+ADEC+AE^,,liUCCX.独="即世=〃

⑵；犷立..犷布'F=F(合比性质)•/1AC~AE

方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键.

【类型三】等比性质

例3已知正数a、b、c,且4一=/一=一长=〃，则下列四个点中，在正比例函数y

b+cc+aa-rb

=在才图象上的点是()

A.(1,1)B.(1,2)

C.(1,—g)D.(1,—1)

o—|—A—|—

解析：求出在的值是关键.・・・a、汰。为正数，・・・d+6+。£0.由等比性质，得,(、

2(.a+b+c)

=k,即当x=\时，y=Jx1=［,・•.点(1,1)在正比例函数的图象上.故

乙乙乙乙乙

选A.

方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为

0.在解题时需注意这一点.

探究点二：黄金分割

【类型一】利用黄金分割进行计算

例4如果点C是线段45的黄金分割点，且4O8GBC^mAB,求皿的值.

4CBC、/B—1

解：；点。是线段4?的黄金分割点，.••■^=齐=上=.又♦；%=勿区."。=(1一血初

/iLjZICN

.(1—AB:一［m一］.3—

••一而2'即Bn1-〃=丁,..勿=廿亚・

方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段4C,BC,48之间的表达式，再利用比、=麻18

变形，求出位的值.

【类型二】黄金分割的实际应用

I।।।

ADCB

例5如图所示，乐器上有一根弦AB,两个端点A,8固定在乐器的面板上，支撑点C

是靠近点8的黄金分割点，支撑点〃是靠近点力的黄金分割点，若小的长度为4试求这根

弦的长度.

解：根据黄金分割的定义，可知备妥曜二，："C=BD=亚/加，：.AD=AB-BD

ADADZ/

=AB~y^~1AB.

CD=AC—AD=^^—AB—（AB-邓2［阴=（m一2）AB=d.

."8=诟七7=(m+2)d

三、板书设计

'基本性质

比例的性质合比性质

［等比性质

比例

的性「定义

质与V黄金分割点：一条线段有两个黄金

黄金分割点

黄金分割＜

分割黄金比：较长线段：原线段=

耳：1

教学反思

经历探究比例的性质和黄金分割的过程,体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通

过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增

强学习数学的兴趣

第4课时平行线分线段成比例及其推论

教学目标

【知识与能力】

1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.

2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理。

【过程与方法】

通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用

锻炼识图能力和推理论证能力。

【情感态度价值观】

通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提

高学习数学的兴趣。

教学重难点

【教学重点】

平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

【教学难点】

平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

梯子是我们生活中常见的工具.

如图是一个梯子的筒图，经测量，AB=BC,AD//BE//CF-,那么如和原相等吗？

二、合作探究

探究点一：平行线分线段成比例的基本事实

例1如图，直线Z〃/2〃A,直线｛。分别交这三条直线于点4,B,C,直线加分别交

7

这三条直线于点以E,F,若46=3,DE^~,跖=4,求8C的长.

7

解：•.•直线人〃且/8=3,应=5，EF=4,

•••根据平行线分线段成比例可得彩需

130EF

424

即BC=~*AB=-X3=—

DE1_1

2

方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想

到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出

方程，解方程求出待求线段长.

探究点二：平行线分线段成比例基本事实的推论

例2如图所示，在△板中，点〃Z?分别在/昆4c边上，DE//BC,若/〃：4?=3：4,

4f=6,则力。等于（）

A.3

B.4

C.6

D.8

解析：由庇〃BC可得为即:=*."C=8.故选D.

易错提醒：在由平行线推出成比例的线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比

例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.

探究点三：运用平行线分线段成比例基本事实作图

例3如图，已知线段力尻求作线段的四等分点.

.41---------------------------小

解析：这里的四等分点的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺规作图的方法，所以

可考虑平行线等分线段定理去作图.

解:作法：(1)作射线4G⑵在射线然上顺次截取力4=44=44=44=任意长；⑶

连接46；⑷过点4、4、4分别作46的平行线，交4?于点笈、民、&,点&、氏、氏即为

所求的四等分点.

三、板书设计

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所

平行线

得的对应线段成比例

分线段

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边

成比例

(或两边的延长线)所得的对应线段成

及其推论

比例

教学反思

通过教学，培养学生的观察、分析和概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼

类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能

力.在探索过程中，体验探索结论的方法和过程，发展学生的推理能力和有条理的说理表达

能力

22.2相似三角形的判定

第1课时平行线与相似三角形

教学目标

1、经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程.

2、会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题。

教学重难点

【教学重点】

相似三角形的定义与三角形相似的预备定理。

【教学难点】

三角形相似的预备定理的应用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

二、合作探究

探究点一：相似三角形

【类型一】利用定义判定相似三角形

例1与△〃价,的各角度数和边长如图所示，则与△比尸能否相似？说明理

由.

解：因为/力=70°,N6=60°,所以/850°.

因为/尸=60°,N£=50°,所以N470°.

所以//=/〃，NB=NF,NC=/£

rm且AB36c3AC3.63

又E为苏■=]而=]，应=二=,

ADDCAr

所以清济正所以△wS△小

方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边

成比例.另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上.

【类型二】相似三角形的性质

例2如图，已知AABCS/\ADE,4£=50cm,£C=30cm,5(7=58cm,ZBAC=45°,ZACB

=40°,求:

⑴N/fi?和//施的度数;

(2)龙的长.

解：/\ABCS/\ADE,

:.NAED=NACB=4Q°.

在a,中，N49f=180°-40°-45°=95°；

AEDE50DE50X58

⑦•：XABCsMADE,，而=而艮?50+30=58->',"=50+30=36.25(cm).

方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形

的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段.

探究点二：平行线与相似三角形

例3如图，已知在ABCD中,£为46延长线上一点，AB=3BE,然与比相交于点£

请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

解：•.•四边形4%/是平行四边形,

：.AB//CD,AD//BC,

:.XBEFsACDF,XBEFsXAED,

：.△郎s△CDF^/XAED.

故当△戚's△如'时，相似比为跖：CD=BE,.AB=\：3；

当/\BEFs丛AEDK,相似比为跖：力£=1：4；

当△CZ*s△/初时、相似比为切：4£=3：4.

例4已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m

处，己知窗户48高为2m,6点距地面高为1.2m,求下檐光线的落地点”与窗户的距离AC

BeNC12NC15

解：'：AM//BN,:.△NBCs/XMAC,即六7==，."仁

ACMC3.22.5lo

三、板书设计

平行「相似三角形的定义：三角分别相等、三边对应成

线与比例的两个三角形

相似《结论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或

三角两边的延长线）相交，截得的三角形与原

形三角形相似

教学反思

感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特

殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学

生的观察、动手探究、归纳总结的能力

第2课时相似三角形的判定定理1

教学目标

1.经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力.

2.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.

3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。

教学重难点

【教学重点】

三角形相似的判定方法lo

【教学难点】

三角形相似的判定方法1的运用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角

形.那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找

判定两个三角形相似的条件呢？

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理1

例1在△4%'和△/!'B'C中，//=//=80°,N6=70°,ZC=30°,这两

个三角形相似吗？请说明理由.

解：XABCsX』ffC.

理由：由三角形的内角和是180。，

得NC=180°-N4-N6=180°-80°一70°=30°,

所以,AC=AC'.

WXABCsXNB'C（两角分别相等的两个三角形相似）.

方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，

在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.

探究点二：相似三角形的判定定理1的应用

【类型一】由三角形相似计算对应边的长

例2如图所示，已知DE〃BC,DF//AC,Af=4cm,BD=8cm,如=5cm,求线段跖的长.

解：解法一：因为DE〃BC,所以ZA/fD^ZC,所以△ADESAABC,

.ADDE45

所以茄=初即an百百=市

所以旌=15cm.

又因为DF//AC,

所以四边形"还是平行四边形，

即FC^DE^cm,

所以BF=BC-FC=15-5=10（cm）.

解法二：因为DE〃BC,所以//应三/笈

又因为加所以NA=NBDF,

所以△/应's△侬；

…ADDE45

所以砺=而即§=而

所以母、=10cm.

方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个

三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.

【类型二】由相似三角形确定对应边的比例关系

AFEF

例3已知：如图，△脑的高被缈相交于点凡求证：

A

B^c

Bf)C

证明：'：BEVAC,ADVBC,

:.NAEF=/BDF=9Q°.

又,：NAFE=NBFD,

AFEF

ARFR

方法总结：要证明犷质可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑

△力也与46划是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.

三、板书设计

'判定定理1：两角分别对应相等的两个

相似三角形的

■三角形相似

判定定理1

.判定定理1的应用

教学反思

在探索活动中，要增强学生发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯.进一步

培养学生合情推理能力和初步逻辑推理意识.

第3课时相似三角形的判定定理2

教学目标

1、掌握并会推导相似三角形的判定定理2.

2、会用相似三角形的判定定理2进行一些简单的判断、证明和计算。

教学重难点

【教学重点】

三角形相似的判定方法2。

【教学难点】

三角形相似的判定方法2的运用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

ARAC

画△四，与B'C',使,jrk和rk都等于给定的值上设法比较/

ADAC

B与NB'的大小（或/。与/C的大小），判断与B'C相似吗？

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理2

例1如图，已知点。是△力a1的边4C上的一点，根据下列条件，可以得到

的是（）

A.AB-CD^BD-BC

B.AC-CB=CA•CD

C.Bd=AJDC

D.B4=CD,DA

解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角

相等，则这两个三角形才相似.本题中，/C是欧和△颇7的公共角，关键是找出NC的

CD

两边对应成比例，即=力。・DC.故选C.

CDAC

方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共

角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.

探究点二：相似三角形的判定定理2的应用

例2如图所示，零件的外径为a,要求它的厚度x,需求出内孔的直径4?,但不能直接

量出46,现用一个交叉长钳（两条尺长”■和物相等）去量，若如：*=如：勿=〃，且量得

CD^b,求厚度x.

解：因为OA：OC=OB：OD,AAOB=ZCOD,所以AAOBs/\COD,故为尸刀;=〃，可得力8

tzZzL/C

.a—bn

bn>所以x=•

方法总结：欲求厚度x,根据题意较易推出△/@s^CW,利用相似三角形的对应边成

比例，列出关于x的比例式，解之即可.

例3如图，在△/8C中，46=8cm,6C=16cm,求点一从点力开始沿四向点6以lcm/s

的速度移动，点0从点6开始沿回向点。以2cm/s的速度移动.如果点R。同时出发，经

过多长时间后△月%与△46C相似？

,、“BPBQ」

⑴当瓦=瓦时,

APBg4ABC.

此时*=需解得Z=4.

816

即经过4s后△如。与△/况■相似；

⑵当胃=笔时，/XPBgXCBA.

此时］J=三,解得t=l.6.

即经过1.6s后△"%与△力比1相似.

综上所述可知，点凡0同时出发，经过1.6s或4s后与△48。相似.

易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△哪的形状也

会发生变化，因此既要考虑△/WS/X4笫的情况，还要考虑△阳0s△烟的情况.要证明△

哪与比■相似，很显然Z5为公共角，因此可运用两边对应成比例，且夹角相等列方程求

解，同时要注意分类讨论.

三、板书设计

相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

教学反思

经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、

发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定

理2与全等三角形判定方法（S/S的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.

第4课时相似三角形的判定定理3

教学目标

1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.

2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算。

教学重难点

【教学重点】

三角形相似的判定方法3。

【教学难点】

三角形相似的判定方法3的推导和运用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

如图，如果要判定△49C与B'C相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和

对应边的关系？

可否用类似于判定三角形全等的方法（SSS,通过一个三角形的三条边与另一个三角形的

三条边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它

的各边长都是原来三角形各边长的％倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个

三角形相似吗？

二、合作探究

探究点：三边对应成比例的两个三角形相似

【类型一】利用三边长来判定三角形相似

例1如图所示，在△/8C中，点〃、£分别是a1的边/8/C上的点，/〃=3,AE=6,

DE=5,龙=15,龙=3,船=15.根据以上条件，你认为/8=/力劭吗？并说明理由.

解：NB=/AED.

理由：由题意得

/8=<〃+刃=3+15=18,

仍=4?+龙=6+3=9,

AC9AB18CB15

---==z—==.---=---=Q,---=---=Q

AD36DE5

ACABCB八

所以拓=拓=^谟故.丛ABCs/XAED,

所以NB=NAED.

方法总结：要说明只需要得到根据三边对应成比例的两个

三角形相似可证得△川以

【类型二】网格中相似三角形的判定

例2如图甲，小正方形的边长均为1,则乙图中的三角形（阴影部分）与相似的是

哪一个图形？

EEhH匚二

BC①②③④

甲乙

解：由甲图可知/。=肝钎=*,BC=2,48="+33=弧

同理，图①中，三角形的三边长分别为1,乖,272:

同理，图②中，三角形的三边长分别为1,小,乖;

同理，图③中，三角形的三边长分别为乖，乖,3；

同理，图④中，三角形的三边长分别为2,#,V13.

/.图②中的三角形与△48。相似.

方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长,

然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判定三边是否对

应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由

比值是否相等来确定两个三角形是否相似.

三、板书设计

相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似

教学反思

从学生已掌握的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析

问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定方法（SS。的区

别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明

的过程，发展学生的推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识.

第5课时判定两个直角三角形相似

教学目标

【知识与能力】

了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用。

【过程与方法】

1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.

2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力。

【情感态度价值观】

通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点。

教学重难点

【教学重点】

直角三角形相似定理的应用。

【教学难点】

了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

1.到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？

答：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形

相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似.

2.判定两个直角三角形相似有几种方法？

答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例.

还有没有其他的方法证明直角三角形相似？

二、合作探究

探究点一：判定两个直角三角形相似

【类型一】判定两个直角三角形相似的特殊方法

例1如图，在RtZ\46C中，/49G=90°"6=4,47=5.在m4卬B'C中，N/'CB'

=90°,A'C=6,A'B'=10.求证：△/吐△夕CA'.

解析：先求两直角三角形的斜边4。和/'9的比，再求两直角边回和HC的比.

证明：在RtZX/a1中，BC=y/A(^AE>=^5"4"=3,.".~p一一~^~2*'~一~B'~=T3=5'

Be1°

k=又,：NABC=NA'CB'=90°，：,RtAASC^RtAB'CA'.

ACAD

D

解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出各边的长度，求出三边的比，然后结

合四个选项即可得解.设网格的边长是1,则力6=护1=/，勿=后两=①,然=

yl22+2~=2y[2,：.AB：AC：BC=@:2取：四=1：2：木,是直角三角形...,选

项A、D中的三角形不是直角三角形，.•.排除A、D选项；：4？：氐7=1：2,B选项中的三角

形的两直角边的边长比为1：2,C选项中的三角形的两直角边的边长比为3:2,.•.选项B正

确.

方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比,

这是解题的关键.

探究点二：直角三角形相似的计算

例3如图，在△四C中，/C=90°，比'=16cm,4C=12cm,点。从6出发沿比1以2cm/s

的速度向C移动，点。从C出发，以lcm/s的速度向力移动，若只。分别从6、C同时出发，

设运动时间为饴，当t为何值时，△。过与△曲相似？

解析：分和％是对应边，少和。是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比

例列式计算即可得解.

CpCQ]621t

解：当"和龙是对应边时，XCPgXCBA,所以方=7?，即一^-=而，解得力=4.8；

L/JDlz/i101Lt

CPrni—o/t64

当少和。是对应边时，XCPgXCAB,所以不=为即一记一=而，解得t=TT综上所述，

64

当i=4.8或打时，与△曲相似.

方法总结：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点

在于分情况讨论.

三、板书设计

1.如何判定两个直角三角形相似呢？

一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.

2.直角三角形相似的判定定理的简单应用.

教学反思

由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具备一般三角形所没有的特殊性质.通过本节

课的学习，要求理解己经学过的判定相似三角形的三种方法均可以用来判定两个直角三角形

相似，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相似”这一重要

而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形相似.在研究的过程中，

注意渗透由一般到特殊的数学思想方法.为了实现教学目标，本节课改变了教材的情境设置，

择取了一个更便于学生理解、更能激发学生兴趣的实例，使学生能在生活中找到数学原型，

在思考中找到解决问题的办法.教学中鼓励学生大胆猜想，大胆辩驳，教师始终是一位引导

者、组织者，学生的积极性得到充分发挥，取得了很好的教育效果.

22.3相似三角形的性质

第1课时相似三角形性质定理1、2及其应用

教学目标

【知识与能力】

理解并掌握相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）之间的关系，理解并掌握相似三角形

周长的比等于相似比，掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提

高分析和推理能力。

【过程与方法】

在对性质定理的探究中，学生经历“观察一猜想一论证一归纳”的过程，培养学生主动探究、

合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于

探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观】

1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.

2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心。

教学重难点

【教学重点】

相似三角形性质定理的探究及应用。

【教学难点】

综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系，理解并掌握

相似三角形周长的比等于相似比。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，

相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两

个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三

角形的其他性质.

二、合作探究

探究点一：相似三角形性质定理1

【类型一】相似三角形对应高的比

例1如图，中，DE//BC,于点//,/〃交应于点G.已知小=10,60=15,

46=12.求67/的长.

解：'：DE//BC,

:.XADESMABC.

又，：AHLBC,DE//BC,

：.AHLDE.

.DEAG1012

''BC~AH115~AH

.•.{〃=18.

，GH=AH-AG=18-12=6.

方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应

高的差.

【类型二】相似三角形对应角平分线的比

例2两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm,如果它们对应的两条角平分

线的和为42cm,那么这两条角平分线的长分别是多少？

解：（方法一）设其中较短的角平分线的长为xcm,则另一条角平分线的长为（42—才）cm.

x6

根据题意，得互不=6解得x=18.

所以42-x=42-18=24（cm）.

x6

（方法二）设较短的角平分线长为xcm,则由相似性质有数=工.解得x=18.较长的角平分

线长为24cm.

故这两条角平分线的长分别为18cm,24cm.

方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段

的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比.列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.

【类型三】相似三角形对应中线的比

例3已知笫s△/ffC,"=1A?边上的中线切=4cm,求/B'边上的

ADO

中线C'D'的长.

解：B'C,必是四边上的中线，CD'是"B'边上的中线，

.CDAB2

"CD'=A'B'=?

又..•34cm,

：.CD'=券等4=6(cm).

即/B'边上的中线rD'的长是6cm.

方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比.

探究点二：相似三角形性质定理1的应用

例4如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的｛处和6m的。处用铁丝将两电

线杆固定，求铁丝/〃与铁丝力的交点M距地面的高.

解析：如图所示，过点"作物小物于点〃由题意得相〃"〃勿，散AABMs丛DCM,△

时AB1MHBM“—

BMH^/AXBCD,故7^=加故"可求.

MLLUZLUDC

解：过点M作MLLBD于点、伍YABLBD,CD工BD,：.AB//MH//CD,J优△

BMAB31BM1『BMMH