初中数学向量的线性运算强化练习

初中数学向量的线性运算强化练习

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.如果丽=丽，那么下列结论中正确的是（）

A.|fiV|=|FM|B.同7与丽是相等向量

C.丽与丽是相反向量D.而与丽是平行向量

2.已知£=2坂，那么下列判断错误的是（）

_-1-__

A.a-2^=0B.b=—aC.\a|-2|/j|D.a//b

3.已知非零向量入B和入下列条件中，不能判定£|田的是（）

A.a=-2bB.a=c>b=3c

C.a+2b-c>a-b=-cD.卜卜2代

4.已知£=7万，下列说法中不正确的是（）

A.a-7b=0B.“与.方向相同C.a//bD.p/|=7|fe|

5.已知一个单位向量工，设£、B是非零向量，那么下列等式中一定正确的是

（）

A.[e\a=aB.印」

6.下列正确的有（）

①卜司=桐

②£为单位向量，则加明•4

③平面内向量£、入总存在实数m使得向量2=，痴

④若2=3+3，乃〃4,7r//a2,则3、[就是£在囚、四方向上的分向量

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如果向量a与向量b方向相反，且3同=|同，那么向量a用向量b表示为

（）

___1__1-

A.a=3bB.a=—3bC.@=]bD.G=-1b

8.在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,那么下列结论中正确的是（）.

A.而与方心是相等向量；B.其己与豆^是相等向量；

c.而与3A是相反向量;D.而与弓后是平行向量.

二、填空题

9.如图，将而和而放置在3x3的正方形网格中，A、B、C、D、P、。均在格点

上，设前=2，AD^b，那么向量而=—(用向量入B来表示).

10.在平行四边形ABCD中，而=反=(1,1),嵩明+焉8C=i^BO,则四边

o/if>CoZJ

形ABCD的面积是.

--1-

11.计算：4。+3(。—h)=.

3

12.如图，已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延

长线交于点F.设次二£,觉=B那么向量而用向量入分表示为.

13.我们规定：若〃=(%,)，］)1=«,%)，则〃•h=为工2+.%%・例如〃=(1,3),〃=(2,4)，

则。=1x2+3x4=2+12=14,已知。=(x+l,x-l),b=(工一3,4)，且一2领k3,则

的最大值是.

14.如图，在△4?C中，点D是边BC的中点，设而=£,AC=b，用1、囚的线

性组合表示而是.

C

D

A'B

15.对于0有35-d=6,请用含；的式子表示立+^=.

16.计算：2（3a+2b]-5a=.

三、解答题

17.如图，点E、5在平行四边形ABCD的对角线BO上，且EB=Z）尸.

（1）填空：BC+BA=;BA+AF=;BC-AF=•

（2）求作:BC+AF.

18.已知：如图，AA5C中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1.

⑴设丽：=&BC=^,先化简，再求作：（?a+b）-（2a+^b）（直接作在图中）;

（2）用£+3（x、y为实数）的形式表示前.

19.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.E为OC的中点,

连接BE并延长，交边CD于点F,设丽=@,BC=b.

BC

（1）填空：向量通=；

（2）填空：向量而=,并在图中画出向量而在向量明和近方向上的

分向量.

（注：本题结果用含向量2、B的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中

表示结论的向量）

20.如图，E是平行四边形ABC。的边8A延长线上的一点，CE交AD于点尸，交BD

于点G,AE：AB=1：3,设丽=£,BC=b.

(1)用向量2、B分别表示下列向量：

-IICUU

AE=，EC=，EG=：

(2)在图中求作向量的分别在2、各方向上的分向量.(不写作法，但要写出画图结

果)

21.如图，已知在梯形ABC。中，AB//CD,AB=[2,CZ)=7,点E在边A£＞上,

DF2

隼=：,过点E作EF//AB交边BC于点F.

AE3

(1)求线段所的长；

7

(2)设A3=Q，AD=b＞联结AF,请用向量〃，坂表不向量A/.

22.已知向量关系式试用向量入B表示向量X

参考答案:

I.B

【解析】

【分析】

根据已知条件可以判定四边形EMN尸是平行四边形，结合平行四边形的性质和相等向量、

平行向量的定义作出判断.

【详解】

解：EF=MN,

:.\EF\=^MN\,EFIIMN.

，四边形EMNF是平行四边形.

A、当平行四边形尸是矩形时，该结论才成立，故不符合题意.

B、由四边形&WNF是平行四边形得到：EM=FN,且EM//FN,则©0与丽是相等向

量，故符合题意.

C、如图所示，而与而不是相反向量，故不符合题意.

D、如图所示，丽与后不是平行向量，故不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量，解题的关键是根据题意判定四边形后〃可尸是平行四边形.

2.A

【解析】

【分析】

根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案.

【详解】

解：A、由。=必知，a-2b=0,符合题意；

B、由a=2b知，6=呆,不符合题意；

C、由1=25知，\a\=2\b\,不符合题意；

答案第1页，共13页

D、由々=25知，1//5,不符合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向.

3.D

【解析】

【分析】

根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法

求

【详解】

A、a=-2b，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；

B、a=c＞B=3C.则〃人故本选项错误；

C、由已知条件知2)=-1，-3a=c＞则£〃加〃)，故本选项错误；

D、同=2忖只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，£与各不一定平

行，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键.

4.A

【解析】

【分析】

根据平面向量的定理逐一判断即可.

【详解】

解：A.a=1b

7归=6，故选项A不正确，符合题意；

B.£与万方向相同，正确，不符合题意；

C.a//b＞正确，不符合题意；

。.同=7忖，正确，不符合题意；

答案第2页，共13页

故选：A

【点睛】

本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键.

5.A

【解析】

【分析】

由工是一个单位向量，可得口=1,即可判断A；根据题目并没有告诉£、另的长度和方向,

即可判断B、C、D.

【详解】

解：•.屋是一个单位向量，

/.p|=l,

p|«=«,故A选项符合题意；

B、题目并没有告诉行的长度和方向，无法推出收；=上故B选项不符合题意；

c、题目并没有告诉B的长度和方向，无法推出力弓=",故C选项不符合题意；

1r1r

D、题目并没有告诉£、B的长度和方向，无法推出口”=闪方，故D选项不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量，熟知平面向量的相关知识是解题的关键.

6.A

【解析】

【分析】

根据向量的有关知识，对选项逐个判断即可.

【详解】

解：①|后卜网同，错误

②二为单位向量，贝加=|年工或石=_忖苞,错误，

③平面内向量2、入总存在实数4使得向量2=，痴，只有£、"共线时才成立，说法错

答案第3页，共13页

误，

④而、3也可能是公在I、％反方向上的分向量，说法错误

故选A

【点睛】

此题考查了平面向量的基本知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.

7.D

【解析】

【分析】

根据向量的表示方法直接解答即可

【详解】

解：向量a与向量b方向相反，且3同=同，那么向量a用向量b表示为］=-：5

故选D

【点睛】

本题考查了向量的表示方法，理解洞明是解题的关键.

8.D

【解析】

【分析】

根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可.

【详解】

解：A、AB=CD,但AB不平行于CD,而声反，故本选项错误；

B、AD//BC,AB=CD,AC=BD,但AC不平行于BD,或丰丽,故本选项错误；

C、AD//BC,而与而不一定是相反向量，故本选项错误；

D、AD//BC,而与心后是平行向量，故本选项正确.

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题

的关键.

答案第4页，共13页

【解析】

【分析】

由题意直接根据平面向量的加减运算法则进行计算即可求出答案.

【详解】

______1__2__12

解：VPQ=PE+EQ=--AB+-AD=--a+-b.

1_?-

故答案为：

33

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平行向量的加减运法则，本题属于基础题型.

10.6

【解析】

【分析】

先由白加+七80=熹8），可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分/ABC,四

\BA\\BC\\BD\

边形ABCD是菱形，其边长为近，且对角线BD等于边长的6倍，然后根据30。角所对

应的直角边是斜边的一半，可得到/ABD=60。，求得三角形的面积.

【详解】

解.：i，J__I,丽+1".i=j'^^：i

吟网|BC||BD|

平行四边形ABCD的角平分线BD平分/ABC

四边形ABCD是菱形，其边长为近，且对角线BD等于边长的白倍，

ZABD=60°,

；.SABCD=（应）x乎=6

故答案为

【点睛】

I,I,__

本题考查了向量与简单的几何问题相结合，通过向西+好8。=而［8方得到四边形

BA\BC\\BD\

ABCD是平行四边形且对角平分线BD平分NABC是关键.

答案第5页，共13页

ILla-b

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算法则计算即可.

【详解】

解：4a+3(a-^b)=la-b,

故答案为：7a-h•

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，解题的关键是掌握相应的运算法则.

12.a+2b

【解析】

【详解】

【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF,故

AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.

【详解】如图，连接BD,FC,

四边形ABCD是平行四边形，

，DC〃AB,DC=AB,

.,.△DCE^AFBE,

又E是边BC的中点，

.DEEC1

•.-----=-----=—,

EFBC1

EC=BE,即点E是DF的中点，

四边形DBFC是平行四边形，

.\DC=BF,故AF=2AB=2DC,

•-DF=DA+AF=DA+2DC=a+2h,

故答案是：a+2b.

答案第6页，共13页

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，向量运算等，

熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键.

13.8

【解析】

【分析】

根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答

即可.

【详解】

解：根据题意知：4B=(X+1)(X-3)+4(X-1)=(X+1)2-8.

因为—24x43,

所以当x=3时，a-b=(3+1)2-8=8.

即无B的最大值是8.

故答案是：8.

【点晴】

本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值.

1-1-

14.—a+—b

22

【解析】

【分析】

先根据向量运算求出灰，再根据线段中点的定义可得而，然后根据向量运算即可得.

【详解】

AB=a，AC=b>

:.BC=AC-AB=b-a，

•.,点D是边BC的中点，

答案第7页，共13页

:.BD=-BC=-(b-a),

22

AD=AB+BD=a+—(h-a)=—a+—h,

222

故答案为：上+与.

22

【点睛】

本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键.

7T

15.—ci

3

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则解答.

【详解】

T]T->-»7T7T

b=—a,所以2a+〃=2ad—a=-a,故填：—a.

3333

【点睛】

本题考查向量的基本运算，难度较小.

16.a+4b##4b+a

【解析】

【分析】

先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可.

【详解】

解：2{3a+2h\-5a

=6a+4b—5a>

=a+4h>

故答案为：a+4b-

【点睛】

题目主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

17.(1)BD,BFrBE;(2)见解析.

【解析】

【分析】

答案第8页，共13页

(1)根据平行四边形法则，即可得出答案.

(2)利用平行四边形法则来作合向量：宓+而即可.

【详解】

⑴BC+BA=BD,BA+AF=~BF<BC-AF=BE,

(2)：而=而,

•*-BC+AF=AD+AF，

即是根据平行四边形法则求作而和”的合向量.

图形如下所示：所作而即为所求.

【点睛】

本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练学

握.

-1--1-2-

18.(1)a+—b,作图见解析；(2)BD=—a+-6.

【解析】

【分析】

(1)根据平面向量加减混合计算的顺序和法则，先化简，再作图；

(2)首先求出恁，再根据AD：CD=2：1,求出而，根据丽=丽+而计算即可解决

问题

【详解】

解：(1)(3a+b)-(2a+—b)=3a+b-2a--b=a+—b；

222

如图，延长CB到点F,使BF=；BC,连接FA,以即为所求.

Fr.

答案第9页，共13页

(2)VAC=BC+BA=b-aAb=-[b-d]tAD：DC=2：1,

：•AD二一AC,

3

,BD=BA+AD，

——2/-\12-

.**BD=an—(。一a)=—ctH—b.

3V'33

【点睛】

本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题.

3_31_

19.(1)—b—a；(2)-a+b-作图见解析

443

【解析】

【分析】

(1)先求出AE占AC得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；

(2)先根据相似三角形的性质得到CF占CD得几分之几，然后再根据向量运算的三角形

法则以及平行四边形法则计算并画图即可.

【详解】

解：(1)•••平行四边形ABC。中

.,.AO=OC=1AC

VOE=EC=^OC=-AC

24

1Q

:.AE=AO+OC=gAC+-AC=-AC

244

,:AC=BC-BA=b-a

/.AE=—AC=-(b-a\=-b--a；

44V744

3-3-

故答案为；

44

13

(2)VEC=-AC,AE=^AC

・EC1

・・,平行四边形MCQ

/.AB//CD

答案第10页，共13页

AAFCE^ABAE

.FCEC1Hn_1

ABAE33

VAB//FC

.•.无=；丽，即比=；£

：.BF^CF+BC+=-a+b

3

故答案为：—o+b.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的三角形法则、平行四边形法则等知识，灵活运用向量运算的运

算法则成为解答本题的关键.

14416

20.(1)-a，b~-a亍石-王Q;(2)见解析

【解析】

【分析】

14

(1)根据即可求出恁，根据反=丽+而即可求出京,先证明EG=,

UUIU

EC,即可求出EG;

(2)如图，过点G作GM〃AB,GN//BC,根据平行四边形法则即可求得答案.

【详解】

解：(1)'''BA—a<AE—^BA,

.-----1—

••AE=­af

EC^EB+BC^丽=-§。，BC=h，

.—4-

••EC=b-§a

答案第II页，共13页

,:CD〃EB,

：.EG：CG=EB：8=4：3,

：.EG：EC=4：7,

.uiuu4_16-

••EG=qb--a>

14416

故答案为：-a>b~—a>~b