高中数学《等式性质与不等式性质》

II.陈,第一章一元二次函数、方程和不等式

DIERZHANG2.1等式性质与不等式性质

1H

学I法I(教师独具内容)

课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能

运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际

问题.

教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.

教学难点：用作差法比较代数式的大小.

核心概念掌握

【知识导学】

知识点一等式的性质

(1)如果a=b,那么a+c=b+c.

nh

(2)如果a=b,那么ac=bc或1=*cWO).

(3)如果b=c,那么ci~c.

知识点二作差比较法

(1)理论依据：叫一4>0台♦>/?；Ela—4=0台a=b；画"一/?<0台a<〃.

(2)方法步骤：①蚂作差;②典整理;③蚂判断符号;④蛆下结论.

知识点三两个实数大小的比较

(1)a>b^回q-h>0；

(2)。=b^a—Z?E[=0；

⑶凰a。0a—xo.

知识点四不等式的性质

⑴如果a>Z?,那么匕<a；如果"<a,那么回a>b,即回a>b0b<a.

(2)如果且6>c,那么画a>c,即a>/?,b>c=^Ba>c.

(3)如果a>h,那么a+c^^>b+c.

(4)如果a>。，c>0,那么ac国“c；如果a>。，c<0,那么ac网

(5)如果a>b,c>d,那么〃+c幽次+d.

(6)如果a>b>09c>d>0,那么ac^B>bd；

如果a>b>09c<d<0,那么ac回

nn

(7)如果a>h>Of那么aEl>h(n£N,几22).

⑻如果回那么时力(几£N,〃22).

【新知拓展】

1.关于不等式性质的理解

两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如。>〃，c>d不能推出。一°>力一

d.

2.常用的结论

⑴a>b,ab>0^-<p

(2)〃<0<a.另；

(3)a>h>0,c>^Z>O=>^>p

a+maa-tnbb+mbb-m

(4)右心〃>6m>0,贝b>用；心°)；二<=；—〃》°)。

3.比较大小的方法

比较数(式)的大小常用作差与0比较.

作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为

“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二

者并用.

4.利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具

有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避

免改变代数式的取值范围.

评价自.

1.判一判(正确的打“J”，错误的打"X")

(1)若f=0,贝iJx2O.()

(2)两个实数a,b之间，有且只有a>。，a=b,a<b三种关系中的一种.()

(3)若a>b,贝ij<2C2>/?C2.()

(4)若a>b>0,则另.()

(5)若x>l,则/+2X与r+2的大小关系为r+24¥2+2.()

答案(1)V(2)V(3)X(4)X(5)V

2,做一做

⑴已知。+。>0,b<0,那么a,b,~a,—人的大小关系是()

A.a>b>-b>-aB.a>—b>——a>b

C.a>-b>b>~aD.a>b>-a>~b

⑵设。<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是()

A.a-c>b—dB.ac>bd

C.a+c>h+dD.a+d>b+c

(3)已知xvl,则f+2与3x的大小关系是.

答案(1)C(2)C(3)f+2>3x

I核心素养形成I

题型一作差法比较大小

例1比较下列各组中两数的大小：

(1)已知〃为正数，且比较/+〃与

⑵已知xvl,比较/-1与"一"；

114

(3)已知x,y均为正数，设机=(+1,〃=不入，比较相与〃的大小.

［解］⑴面+仍一面叶苏)

=cr>+bi-a1b—ab1

=Mg—/7)——垃

=(a—b)(a2—b2)

=(a—b)2(a+b).

Vtz>0,。>0且aW。，:.(a—b)2>0,a+b>0,

J(〃+吩)—(crh+ab2)>0,即cr+kr>crh+ab2.

(2)J?—1—(2X2—2x)=zx3—Z^+ZY—1

=(X3-X2)-(X2-2X+1)=X2(X-1)-(X-I)2

=(x-l)(x2-x+l)=(x-l).

3

<<sX-

.XXI4

.•.(x-1)<0,/.x3-1<2JT—2x.

.__]]4_x+y4_(x+y)2_4x)，_(x—)，)2

()•加十yx+y~xyx+y~xy(x+y)-xy(x+y)*

又x,y均为正数，

Ax>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x—y)2^0.

.•・根一〃>0,即m2几(当x=y时,等号成立).

[变式探究]若将本例(2)中“xvl”改为“x£R”，则P-1与2/-2元的大小

又如何呢？

n3

2+-

32-4

解由例题知X—1—(2X—2X)=(X—1)27

・••当x—1<0,即犬<1时，%3—l<2x1—2x；

当x—1=0,即x=l时，x3—1=2r—2%；

当x—1>0,即心>1时，x3—l>2f—2x.

金版点睛

作差比较法的四个步骤

[跟踪训练1](1)比较/+6X与/+6的大小;

32

(2)已知a,Z?£R,x=a~b9y=ab—a9试比较了与y的大小.

解(1)(^+6%)—(JC2+6)=X(X2+6)—(X2+6)=(X—1)(X2+6).

*/x2+6>0,

:.当x>\时，x3+6x>x2+6；

当x=l时，^+6%=^+6；

当x<l时，X3+6X<X2+6.

(2)x—y=ai-h—a1b+a=a2(a—h)+a—h

=(a-b)(a2+l).

当时，x—y>0,所以x>y；

当a=Z?时，x~y=O,所以x=y；

当时，x—y<0,所以xVy.

题型二不等式的性质及应用

例2下列命题正确的是

且c>O^a>b；

②a>b且c>d^ac>bd\

③a>/?>0且C>6>0=>

—<7,11

［解析］①ab=>-<^;当a<0,">0时，满足已知条件，但推不出。泌,

,c>0

二①错误.

②当a=3,h=\,c=-2,d=-3时，命题显然不成立.，②错误.

③{:言。然>。今成立・，③正确•

④显然。2>0,.,.两边同乘以c?得a>8..,.④正确.

［答案］③④

金版点睛

解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所

需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结

论，也可举出一个反例予以否定.

[跟踪训练2](1)判断下列命题是否正确，并说明理由：

①若则ad>bc；

②设a,1为正实数,若a-则a<b.

⑵若a<XO,分别判断下列式子是否成立，并简述理由:

解⑴①由叶，所以茨沁

ad—be八北…ad-hc>0,y\ad—bc<0,

即f->0,所以或1

cd>0［cd<0.

即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0,故不正确.

②因为Q—且。>0，Z?>0,所以c^b—b<ab1—a^a2b—ab1—b+a<0

^ab(a-b)+(a~b)<O=>(a—b)(ab+1)<0,所以a~b<0,即a<b正确.

(2)①成立.由a<b<0得a<a~b<0,

11

所以<-

-a----b7a

②成立.因为中。<0,所以々+〃<〃<0,

所以VW

题型三利用不等式的性质证明不等式

例3(1)已知a>bfe>f9c>0,求证：f—ac<e~bc；

⑵己知c<d<0,求证：,

a-cb—d

a+/7一c+d

(3)已知〃c—adNO,〃d>0.求证：一厂W(1.

［证明］⑴c>0,ac>bc.

・・・——QCV——be.

•:f<e,:.于一ac<e—be.

(2)*.*c<d<0,;・—c>—d>0.

又a>b>0,，。—c>b—d>0.

：.0<—<7~^.再由Q<b<a,・'・-^-<7-^4，

a-cb—da-cb-d

⑶：历一。心0,:.adWbc,又♦：bd>0,

•«<£.«+1<£+].q±bc±d

金版点睛

利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧

(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成

立的条件.

(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结

构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.

[跟踪训练3](1)已知c>a>b>0,求证：“/

c-ac-b

(2)已知a,b,x,y都是正数，且第*，求证：

证明⑴~a<—b,又比>0,/•0<c—a<c—b,

~~~~^->0.又a>b>0,a>b

c-ac-bc-ac-b

(2)a,b,x,y都是正数，且！>),心”，—W，故?<4，则?+背+1,即

ciuciuJiyJiy

Q+Xb+y

Xy.

x+ab+y

题型四利用不等式的性质求取值范围

例4⑴已知2<aW5,3WA<10,求。一江杯的取值范围;

(2)已知一畀以质去求空，字的取值范围.

［解］(l)：3Wb<10,：.-l0<-b^~3.

乂2v〃W5，——8<。——

11115

。

又<N-N-

<一

--3-5h_3

10

兀

兀

一

22一

••4、24，4或、中

两式相加得一畀空<多

•-6^3<6J—4专忘不一%W一家不

两式相加得一

又a<B，••.^y^<0,二—

［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求。+江必的取值范围.

解由2<aW5,3WA<10得

2+3<a+6<5+10,2X3<ah<5X10,

即5<a+b<l5,6<ah<50.

金版点睛

利用不等式的性质求取值范围应注意的问题

本题中不能直接用a的范围去减或除人的范围，应严格利用不等式的性质去

求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的

"范围”间的联系.如已知20Vx+y<30,15Vx—><18,要求2x+3y的范围，

不能分别求出x,y的范围，再求2x+3y的范围，应把已知的“x+y”“x-y”

视为整体，即2x+3y=/x+y)—T(Ly),所以需分别求出去r+y),—/一y)的范

围，两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，

一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找

到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.

［跟踪训练4］已知l，-bW2,且2Wa+bW4,求4a—2b的取值范围.

解令a+/?=〃，a~b=v,

则2W〃W4,1，W2.

a=^T'

由解得彳

a-b=v,

h~^T-

,“u+vU—V

因if为4a~2b=4-2--2-^^―

=2〃+2"-〃+O=4+30,

而20W4,3W3E6,

所以5W〃+3oW10.

所以5W4a—26W10.

随堂水平达标

1.若旭=/—1,n=2（x+1）2—4（x+1）+1,则，然与〃的大小关系是（）

A.m<nB.m>n

C.in?nD."iW〃

答案D

解析n-m=x1^O,

2.设a,h,c,dCR,则（）

A.a>b,c=（ic^hd

ab,

B.->~=>a>/?

cc

c./>护，"〉。今:<、

D.屋,>〃,，。。〉0今一1<工1

ab

答案C

解析用排除法，A错误，显然c=d=O时，结论不成立.B错误，c<0时,

结论不成立.D错误，a=—2,人=—1时，结论不成立.故选C.

3.已知a<0,—1。<0,下列不等式成立的是（）

A.a>ab>ab2B.akr>ab>a

C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

答案D

解析本题可以根据不等式的性质来解，由于一1<*0,所以0〈廿<1"

a<ab2<0,且必>0,易得答案为D.

本题也可以根据。，方的范围取特殊值，比如令。=-1,b=~\,也容易得

到正确答案.

4.已知0<a<l,则a,%/的大小关系是

答案

解析“一片----«----<0,

又。一。2=。(1—a)>0,a>a2,/.a2<a<~,

5.已知一1Wa+b<l,l<〃一2。<3.求a+3b的取值范围.

解设。+3匕=21(〃+Z?)+叔〃-2b)=(2i+22)a+(2i—2Z2)Z?,则

［九十22=1,

U-222=3,

人52

解得21=1,h=—y

又一产水a+〃)Wg,

22

-2W-q(a—2")W—q,

所以一g"Wa+3hWl.

|课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一'选择题

1.若a>b,则廿+1与3。一。的大小关系是()

A./?2+1>3/?—aB.〃+123b—a

C./?2+1<3Z?—aD."+iw3b—a

答案A

解析〃+1—(3/7—q)=/?2—2〃+1+(〃一》)=(〃-ly+g—。).又a>b,：.a

一历>0.又S—l)220,

/.(b—l)2+(tz—/?)>0,即Z?2+1>3/?—a.

2.若W<0(a,bER),则下列不等式恒成立的是()

A.a<bB.a~\~b>ab

C.\a\>\h\D.ab<b2

答案D

解析V^<|<0,：.b<a<Q,故A不对；又,.,“+〃<(),ab>0,：.a+h<ab,故

B不对；由b<a<0知间<|〃，故C不对；D中ab—b2=b{a—b)<0,即QX/A故选

D.

3.设a,b,c,d£R,且〃乂，c>d,则下列结论中正确的是()

A.6ZC2>Z?C2B.a-d>b—c

C.ad<hdD./>/

答案B

解析对于A,若c=0,则A不成立；对于B,正确.对于C,若d为正数，

则C不正确；对于D,若mb为负数,则D不正确，综上选B.

4.若一lva</"l,则下列各式中恒成立的是()

A.-2<Q一4<0B.—2<a~fi<—1

C.—1<«一夕<0D.—\<a—[i<\

答案A

解析由一Ivavl,—1<。<1,得一lv一夕<1,所以一2<Q一夕<2,但a</3,故

知一2<。一夕<0.

5.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房

间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：n?)分别为羽y,z,且xvy<z,

三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/n?)分别为〃，b,c,且oQvc在不同的方案

中，最低的总费用(单位：元)是()

A.ax+by+czB.az+hy+cx

C.oy+Oz+cxD.ayA-bx+cz

答案B

解析解法一：因为x〈y<z,a<b<c,所以以+勿+。2—(。2+勿+。X)=。(九一

z)+c(z—x)=(x—z)(a^c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx；同理，ay+bz+cx-(ay

+bx+cz)=h(z—x)+c(x—z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz.^az

+by+cx—(ay+bz+cx)=a(z^y)+b(y—z)=(a—b)(z—y)<O,故az+by+cx<ay+

bz+cx.

综上可得，最低的总费用为成+外+cx.

解法二(特殊值法)：若x=l,y=2,z=3,a=\,b=2,c=3,则ac+勿+

cz=14,az+by+cx=lQ,ay+bz+cx=11,ay+/zx+cz=13.由此可知最低的总费

用是az+by+cx.

二、填空题

6.有以下四个条件：

①b>O>a；②0>〃>匕；③。>0>b；®a>b>0.

其中能使%4成立的有.

答案①②④

解析①因为/?>0>a,所以%。>十；

②因为0>a>b,所以｝；

③因为a>Q>h,所以5>。>/

④因为a>b>0,所以.〉；>。

X

7.已知60VxV84,28VyV33,则x—y的取值范围为_______,一的取值范

y

围为.

答案27cx—y<56jy<^<3

解析V28<y<33,

33<—y<—28,表V*表.

又60VxV84,，27V尤一yV56,果

即需<菱<3.

11y

8.设尢=/〃+5,y=2ah—a2—4a,若x>y,则实数。，力应满足的条件为

答案或QW—2

解析,/x>y,

.\x­y=屋〃+5—2ab+/+4。

=(a/?-l)2+(a+2)2>0,

ah—1W0或Q+2W0,

即abWl或aW—2.

三、解答题

a2一序。一人

9.设9>0,试比较二工乃与二点的大小.

解解法一(作差法)：

层一〃a—b

c^+b1a+b

(a+b)(〃2二力2)一(a—b)(〃2±必)

(a2+b2)(a-hh)

(a—力)[(a+b¥­(/+〃))

(/+/)(〃+〃)

2ab(a—b)

(。+颂屋+〃>

Va>b>09.,.a+〃>0,a-b>0,2ah>0.

.2ab（a-b）

••（4+/?）（足+庐）>3

.层一一2a-b

••/+庐>〃+//

解法二（作商法）：

“2—庐

.♦+—3+6)2++62+2〃12ab

1

g—b层+庐c^+b1〃+/72>1・

a+h

.层一层a—