高中数学选修第一册：2 .4 .2 圆的一般方程

2.4.2圆的一般方程

基础过关练

题组一圆的一般方程

1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为()

A.8兀B.4兀C.2兀D.兀

2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是()

11

A.m<-B.m>-C.m<lD.m>l

22

3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=O的距离为今则a的值为(

A.-2或2B.；或|C.2或0D.-2或0

4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是()

A.一个圆B.只有当a=0时，才能表示一个圆

C.一个点D.a,b不全为。时，才能表示一个圆

5.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,则写出圆心和半径.

(l)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;

(3)x2+y2+x+2=0;(4)x2+y2+2by=0(b^0).

题组二圆的方程的求法

6.圆x2+y2-2x-l=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()

-1-1

A.(x+3)2+(y-2)2=-B.(x-3)2+(y+2)2=-

C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2

7.与圆C:x2+y2-2x+4y-l=0有相同的圆心，且半径是圆C的半径的一半的圆的方程

为()

A.x2+y2-2x+4y+2=0B.x2+y2-2x+4y+l=0

C.x2+y2-2x+4y-1=0D.x2+y2-2x+4y+j=0

8.已知两定点A(-2,0),B(l,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为()

A.直线B.线段C.圆D.半圆

9.设A为圆(x-l)2+y2=l上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程

是.

10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知AABC的三边BC,CA,AB的中点分别是

D(5,3),E(4,2),F(1,1).

(1)求4ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；

(2)求△ABC的外接圆的方程.

题组三圆的方程的应用

n.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直

线方程是()

A.x+y-3=0B.x-y-3=0

C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0

12.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,贝Ua=()

A.9B.-9C.lD.-l

13.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则^ABC的面积的最

小值是()

A.3-V2B.3+V2C.3-yD.^

14.已知圆x2+y2+2x-4y+l=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A，仍在该圆

上，则a=.

15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部，则a的取值范围为

错

能力提升练

题组一圆的一般方程

1.(*)当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时，直线y=(a-l)x+2的倾斜

角为()

A，7CmD."

4424

2.(2020河南郑州高一上期末,#?)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m^0)

的圆心在直线x+y-7=0上，则该圆的面积为()

TT

A.4兀B.2兀C.TiD.-

3.(多选)(共)已知方程x2+y2+3ax+ay+|a2+a-l=0,若方程表示圆，则a的值可能为

()

A.-2B.OC.lD.3

题组二圆的方程的求法

4.(，)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y+l)2=1

5.(2019北京丰台高一期末,北)过三点人(1,-1),：6(1,4),(2(4,-2)的圆的方程为()

A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0

C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=0

6.(2020浙江温州中学高二上期中,")如图，已知正方形ABCD的四个顶点坐标分

别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).

(1)求对角线AC所在直线的方程；

(2)求正方形ABCD外接圆的方程；

(3)若动点P为外接圆上一点，点N(-2,0)为定点，问线段PN中点的轨迹是什么？并求

出该轨迹方程.

题组三圆的方程的应用

7.(2019福建福田高三月考,")已知：6(0,0)人(8,3),(2(2次,0),平面ABC内的动点

P,M满足|»|=1,而=祝，则|丽F的最大值是()

37+2屈卜37+6V33

AA.^—

C.fD?

44

8.0)已知圆的方程为乂2+丫26-8丫=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为

AC和BD,则四边形ABCD的面积为.

9.(2020湖南长沙明德中学高一期中,")如图,0是坐标原点，圆。的半径为1,点A(-

l,0),B(l,0),点P,Q分别从点A,B同时出发，在圆O上按逆时针方向运动，若点P的速

度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中，布­而的最大值为.

10.(")已知以点C为圆心的圆经过点A(-l,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0±.

设点P在圆C上，求APAB面积的最大值.

答案全解全析

基础过关练

1.C原方程可化为(x-l)2+(y+3)2=2,

半径r=V2,圆的面积S=7ir2=27i.

2.A由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-l)2+12-4m〉0,解得m<：,故选A.

3.C由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为点三=次,解得a=0或a=2.

4.D(2a>+4b2=4(a2+b2),所以当a=b=O时，方程表示一个点;当aWO或bWO时，方程

表示一个圆.

5解析⑴原方程配方得(％+，+(月)2哆故该方程表示以(-汩为圆心,斗为半

径的圆.

(2)原方程配方得(x+2>+y2=0,表示一个点(-2,0).

(3)二♦原方程配方得(％+(f+y2=T，无实数解,.♦.该方程不表示任何图形.

(4)原方程配方得x2+(y+b)2=b2(bW0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆.

6.C由x2+y2-2x-l=0得(x-l)2+y2=2,所以(x-l)2+y2=2的圆心01的坐标为(1,0),半径

为企,故排除A,B.又易求C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心。2的坐标为G3,2),OQ2的

中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上，而D中圆(x-3)2+(y+2>=2的圆心。3的坐标为(3,-

2),0103的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上，故选C.

7.D易知圆C的标准方程为(x-l)2+(y+2)2=6,所以圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为

逐，故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为•，所以所求圆的方程为(x-

2

l>+(y+2)2=(乎)=；,即x2+y2-2x+4y+^=0.

8.C设点P的坐标为(x,y),

动点P满足|PA|=2|PB|,

...+2)2+y2=2j(x-l)2+y2,两边平方得(x+2)2+y2=4[(x-l)2+y2],

即(x-2>+y2=4.

••.P的轨迹为圆.故选c.

9.答案(x-l)2+y2=2

解析设P(x,y),易知圆(x-l)2+y2=l的圆心B(1,O),半径r=l,

则|PAF+r2=|PBF,.\|PB|2=2.

...点P的轨迹是以(1,0)为圆心，鱼为半径的圆.

•••点P的轨迹方程是(x-l)2+y2=2.

10.解析⑴由题意可知k=kB=—=1,XF(l,l)为AB的中点，

EDA5-4

，AB所在直线的方程为y-l=l,(x-1),即x-y=0.①

同理CA所在直线的方程为x-2y=0,②

联立①②，得A(0,0).

同理可得B(2,2),C(8,4).

(2)由⑴可得B(2,2),C(8,4),

设4ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,WA,B,C的坐标代入圆的方程可

(F=0,

得4+4+2D+2E+F=0,

(64+16+8D+4E+F=0,

(D=-16,

解方程组可得E=12,

[F=0,

圆的方程为x2+y2-16x+12y=0.

11.C圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点乂(3,0)且过圆心(4,2)的弦最

长.则最长弦所在直线的斜率k=.=2,结合选项知C正确.

4-3

12.B因为直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆

的圆心(2,-1),则2x2-5x(1)+a=0,解得a=-9.故选B.

13.A易得直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线

AB的距离延,所以点C到直线AB的最小距离为越-1,所以AABC面积

712+(-1)222

的最小值为,|AB|x(¥一1月x2&x(¥

14.答案:

解析根据题意得，圆心在直线x-ay+2=0上.由x2+y2+2x-4y+1=0,W(x+1)2+(y-2)2=4,

所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中，得-l-2a+2=0,解得a=；.

15.答案(24

解析因为点A(a,2)在圆的外部,

斫以I"?+22-2a2-3X2+a2+a>0,

M“1(-2Q)2+(―3)2・4(小+a)>0.

所以2<a4.所以a的取值范围为(2,)

易错警示在运用圆的一般方程时，要注意隐含条件:D2+E2-4F〉。,防止忽略此条件

导致解题错误.

能力提升练

1.B方程x2+y2+ax+2y+a2=0可化为

(%+9+(丫+1)2=为+1,

设圆的半径为r(r>0),则於=1-穹,

4

当a=0时,F取得最大值,从而圆的面积最大.

此时，直线方程为y=-x+2,斜率k=-l,倾斜角为三故选B.

4

2.A圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-l)2=m2(mW0),其圆心为(m,2m+l).

依题意得,m+2m+l-7=0,解得m=2,

•••圆的半径为2,面积为4兀，故选A.

3.AB由(3a)2+a2-46a2+a-l)〉0,得a<l,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.

_%1+4

—'瞰1Z雉?

!y=-zy'4，

因为好+资=4,所以(2x-4>+(2y+2)2=4.

化简得(x-2>+(y+1)2=1.故选D.

5.A设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

(D-E+F+2=0,(D=-7,

依题意得。+4E+F+17=0,解得E=-3,

{4D-2E+F+20=0,=2.

因此，所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.

6.解析⑴由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为"=言，整理得x-y-2=0.

(2)设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点,G"，手)，即(2,0),

设r为外接圆的半径，则r=|AC|,

而|AC|=J(4-0)2+叶+2尸=4&,

/.r=2V2.

•••外接圆方程为(x-2/+y2=8.

(3)设点P坐标为(xo,yo),线段PN的中点M坐标为(x,y),则x=手,y=£,

xo=2x+2,yo=2y,①

•.•点P为外接圆上一点,•••(xo-2)2+羽=8,将①代入并整理，得x2+y2=2,

...该轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，轨迹方程为x2+y2=2.

7.D由题易得，点P的轨迹为以A为圆心,1为半径的圆.如图所示，建立平面直角坐

标系，取AC的中点N,

,/PM=MC,：.M为PC的中点，

,.•|万|=1,，|而|=；,从而M的轨迹为以N为圆心，;为半径的圆,

三点共线时,BM最大.

又”(遮,3),C(2魂,0),；.N件则BN=J(¥)2+GJ=3,

.♦・I丽|的最大值为3+1：,

|丽F的最大值是竺，故选D.

4

8.答案20V5

解析设圆心为P,圆的方程x2+y2-6x-8y=0可化为(x-3)?+(y-4)2=25.圆心坐标为

P(3,4),半