高考高中数学必考23个经典不等式总结

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高考高中数学必考23个经典不等式总结

(解析附后)

例1.证明：I+4+K+…+4<2；

2~3"

例2.若：J+/=2,求证：a+b<2；

例3.若："wM,求证：

2n+1n+22n

例4.若:a、b>(),且ab=a+b+3,求：a+〃的取

值范围；

例5.若：〃,瓦C是416c的三边，求证：

abc

------+------->-------；

7+«1+b1+c

例6.当时，求证：

例7.若xeA，求J=NX2+x+7-y/x2-x+1的值

域；

例8.求函数r=正独叱的最大值和最小值；

2-cos0

例9.若a、b、c>0,求证：

2229

------+------4------->-----------；

a+bb+cc+aa+b+c

例10.若。,4。€区,^.a2+b2+c2=25,试求：

“-25+2。的取值范围；

例11.若a,瓦cwK,^.2a—b—2c=6，求/+/+。2

的最小值；

例12.若a,5,ewA,且

日二无+。+31=求"He的最大

1654

值和最小值；

例13.若a,反c>〃，X,J\N>〃,且满足

a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,

ax+by+cz=3(),求："+"的值；

x+y+z

ni5

例14.求证：V—<-;

jt=[A~3

例15.当时，求证:2<(J+-)n<S；

n

例16.求证:

11-31-3-5I•3・5•…•(2"-1)

-4------+----------F^2n+l

2242T・62・4♦6•…・(2")

例例.求证：

4-,—<」2〃+1-1)

例18.已知：x>〃，求证：——<ln(2+x)<x

1+x

例19.已知：〃wM,求证：

-H----F...H-------<ln(7+M)<-----F...H—；

23n+12n

例20.已知：〃N2,求证:2〃>"(〃一7)

例21.已知："cM,求证：

,111n

7d+-+・•・+------>一；

232n-l2

例22.设：s.=vn+vF5+i+j〃(〃+i),求证：

"(〃+7)v2S〃<("+7)2；

例23.已知：ne,求证：

n+1〃+23n+l

23个经典的不等式专题解析

例1.证明：1+4+4+…+4<2

2/3“

［证明］

⑴放缩法

从第二项开始放缩后，进行裂项求和.

此法称为“放缩法

⑵积分法

构建函数：=—，则〃x）在区间为单调

递减函数.

nn

从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大

于求和项时，积分限为［1.3；

积分项小于求和项时，积分限为+此法称为

“积分法

⑶加强版

数学上，这种数列求和S”叫〃阶级数；当〃f8时，

S”叫怩穷级数|,简称|级数.

例2.若：a3+/>?-2,求证：a+h<2

［证明］

⑴公式法

a34-b'=(a+h\a~+h~-ah)>ab{a+〃)，即：

ab{a+6)42

贝lj:3ab(a+b)W6,a3+b3+3ab(a+b)^8,即：

(a+bf<8,即：a+b<2.

立方和公式以及均值不等式配合.此法称为立方和

的忸式法h

⑵琴生不等式

构建函数：f(x)=x3,则在XGA+区间为单调递增

函数，且是下凸函数.

对于此类函数琴生不等式I表述为:函数值的平均值

不小于平均值的函数值.

即.)+/(*2)+…+/(x〃)之/(，+*2+…+X")

nn

对于本题：/('+/("%/(小心)即：

2一八2

小+b、’(a+/>V

-----)---->一----)--

a+b<i2

琴生不等式可秒此题.此法称为“琴生不等式

⑶权方和不等式

若(a>0,b>0,>〃或〃z<—I)

am+1

贝I]♦-!■—4-———

.b；nb,r~氏+...+4)”'

J______"

3

已知：a+/=2，即：诋2+诋2-

采用权方和不等式：

a3b3(〃+分尸_(«+/>)'

(方+向-23

即：7A("+?’,即：a+b<2.

23

此法称为‘旭方和不等式卜.

⑷幕均不等式

由于幕均函数44(。)=盯+"?+'“+%'随r单

n

I7

调递增而得到幕均不等式：

a+A<a3+b3

⑷()，即：

%4M3°~2~~~

：a+b^2.

此法称为“幕均不等式

例3.若："wN4,求证：

—4------+-------+…+—<1

2n+1n+22n

［解析］

(1)放缩法

由：〃+〃之〃+A>〃(A=7,2,...,〃)得

2nn+kn

则2五唱力r有，即:

n111n

—4------+-------+...+-------<一

2nn+1n+2n+nn

—<-------4---------+…+——<

2n+1n+22n

从一开始就放缩，然后求和.此法称为放缩法

⑵性质法

本题也可以采用不等式性质证明.

所证不等式中的任何一项如第左项，均满足

---4-------<一,当有〃项累加时，

2n〃+An

不等式两个边界项乘以〃倍，则不等式依然成立.

即：大于最小值得〃倍，小于最大值的〃倍.

另外，-----------+…+二一的最大值是

n+1n+22n

\n2»0.693147...,本题有些松.

例4.若:a^b>0,且，必=。+6+3,求：“+6的取

值范围

［解析］

⑴解析法

(«+b)~=a"+b~+2ab>4ab=4(a+b+3)=4(a+b)+

令：t^a+b,贝lj上式为：*-4-12之0,即：

«一伙+2）2〃

故：t*6或，&-2（舍）.

本题采用了I均值不等式网二次不等式.

⑵基本不等式

由而=a+b+3得：ab-a—b-^1=4,即：

(a-lXb-1)=4.

两正数之积为定值时，两数相等时其和最小.

故：当("—7)=(方-7)=2时,(Q-7)+--Z)为最小

值.

即：(a-l)+(b-l)>2+2=4,即：a+h>6.

⑶拉格朗日乘数法

拉格朗日函数为：L(a,b)=a+b+2(ab-a-b-3)

当拉氏函数取极值时，-=l+^b-l)=O；

da

OT

—=1+2(a—1)=0

db

艮:2=-------=--------，艮［1:〃=a

b—1(i—1

则〃。,方)取极值时,b=a,代入ab=a+b+3得：

a2=2a+3

即：a2-2a-3=0，即：(a-3X"7)=〃，即：。=3

故：6)取极值时，b=a=3,则：a+b=6

由于当°=2时，代入ab=a+Z>+3得：2b=b+5,

即：b=5

此时，a+h=2+5=7>6.

则a+Z>=6为最小值，故：a+bZ6.

此法称为,拉格朗日乘数法［"

例5.若：，。是的三边，求证：

abc

----F---->----

7+<z1+b1+c

［证明］

⑴单调性法

构造函数/(*)=二一，则在时，/(X)为单调

7+x

递增函数.

所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：

a+b>c

那么，对于增函数有：/(a+b)>f(c),即：

a+bc八

------->----①

1+a+h1+c

由放缩法得:

aabb

---->,------>--------

1+a1+a+b--1+b1+a+b

由上式及①式得：

1+a1+b1+a+b1+a+b1+a+b1+c

构造函数，利用函数单调性，此法称为“单调性法

对于两边之和大于第三边的式子，其实是“设限法”或

“设界法

例6.当〃N2时，求证:

［证明］

⑴放缩法

当时,n-1<n<n+1,

都扩大〃倍得：〃("-］)</<〃("+/),取倒数得：

111

n(n-I)n2n(n+1)

裂项：—--->-4>-一一—,求和：

n—1nrenn+1

JL11nn

y(—---

A-/A-7k

即：1----->―7H--—>--------.先放缩，

n2~3~〃~2n+1

裂项求和，再放缩.

此法为“放缩法

⑵积分法

构建函数：，(x)=-4，则/(X)在xwH+区间为单

x~

调递减函数.

由面积关系得到：SBDF>SAGDF>SIFFC

.k+1

即：一L，即：

XX

1__1j_1_1

A-1k>k2>kA+l

本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项

式.

后面的证法同⑴.此法称为‘叵司’

⑶加强版

由第1题的求证：4+~4+・“+•4〈二一,一一'一可

r2~4nn+1

1131

得：―7+…-1----7V-------

212n24n

故加强版为：当〃22时，求证：

1111131

------------<-7+―7+…----7V--------

2n+12~3“4n

例7.若xwA，求j，=\]x2+x+l-ylx2-x+l的值

域.

［解析］

（1）向量法

ym=lim(--]~~,)=-1

一

、XX」\XX"

故：J，w(-7,7).此法称为［极值法「.

例8.求函数)，=叵”的最大值和最小值

2—cos®

［解析］

(D斜率法

将函数稍作变形为：

j，=G〃一(一sinJ)=4匕工■

2—cosQxM—xv

设点,点MX",%),则M(2,〃),

N(cose,-sing),而点N在单位圆上，j”就是一条

直线的斜率，是过点河和圆上点N直线斜率的4

倍，关键是直线过圆上的N点.

斜率j，A的范围为：[—tan3。",tan37]

即'Ml-冬斗

j，，-74.

而是臬的倍即：y=43yk,故：

即：j的最大值是/,最小值是-7.

原本要计算一番，这用分析法，免计算了.此法称为

除率法卜

⑵辅助角法

先变形：I=J?sin-变形为:

2-cos。

2j，-j，8se=sin。=JJsin。+jcos6；

利用辅助角公式得：

______rz,

2y=,3+/(.—I——sin^4------cos0)

・'

=(3+y2sin(6+(p)

即：/~J=sin(g+g),即：

4+/

—14]：，：=sin(8+^p)<7;

/

即：-^747,EP:+,即：y247，艮［］：

3+/^

-1<)<1

如果要计算，需要用到辅助角公式.此法称为'丽|

例9.若a、b、c>0,求证：

2229

------+-------+------->------------

a+bb+cc+aa+b+c

[证明]

⑴柯西不等式

由柯西不等式：

:£+念+£)［("小("小(，+明

即：(一^-+—^-+—[•「2(a+A+c)]N(3『=9

、a+bb+cc+ojL'Al'，

即，222V9

即：----+----+----27---------------r

^a+bb+cc+aJ(a+A+c)

此法称为T柯西不等式上

⑵排序不等式

首先将不等式变形：〃+

a+bb+cc+a2

□nAC(Ib49on

即：3+---+---+--->-,即：

a+bb+cc+a2

a+bb+cc+a2

由于对称性，不妨设:aNbNc,则：

a+b>a+c>b+c；

即：一L-

b+ca+ca+b

由排序不等式得：

正序和，_+，_+二之_1_+，_+」_乱序

b+ca+ca+ba+ca+bb+c

和；

正序和」L+」-+，_N，_+-+，_乱序

b+ca+ca+ba+bb+ca+c

和；

上两式相加得：

JahcAa+bb+ca+c,

2------+-------+-------N------+-------+-------=3

(B+ca+ca+bJa+bb+ca+c

即：，+」一+±二证毕.

a+bh+cc+a2

此法称为“排序不等式

⑶权方和不等式

权方和不等式：若(a>0,b>0,m>O或m<^—l)

虬ia好等

采用权方和不等乖：

J工+2=叵+回+叵

a+bb+cc+aa+bh+cc+a

(>/7+返+。2=(302二9

(a+6)+(b+c)+(c+a)2(a+b+c)a+b+c

此法称为“权方和不等式

例10.若o,瓦eeR,且a~+b~+<?**=25,试求：

。-2〃+2c的取值范围.

［解析］

⑴向量不等式

设：//I=(7,-2,2),n=(«,/>,c)

贝IJ：/="+(-2)2”=3,

n-\/a2+b:+c2—>/25=5

m'n—(7,-2,2)。(a,b,c)=a-2b+2c

|7n|*|n|=3x5=15

代人向量不等式ni'n4mn得：—2b+2c|475

即：-15<,a-2b+2c<>15

此法称为伺爵等式I”

⑵柯西不等式

由柯西不等式得：

产+(-2)。+2。](/+/+/)之(4-25+20)。

即：9x25>[a-2h+2c)2,故：\a-2b+2c\^15

所以：-J5<a-2b+2c<15

此法称为啊盲木等式卜

⑶拉格朗日乘数法

构建拉格朗日函数：

L(a,b、c)—a-26+2c+/(a~+Z>~+c~-25)

a

由函数在极值点的导数为〃得：

—=/+—=o，贝U:Z=-2a，即：。=—Z;

daA2

生=一2+叁=。,贝IJ：2=,即：Z>=2；

daA

—=2+—=0,则：X——C,即：c——A..

daA

代入a?+52+c2=25得：-A2=52,即：2=±—

43

土Rrtte占54_5-,1010

极值点为："=---=+—,/>