高中数学公式大全导数应用八个

高中理科数学公式汇总

§01.集合与简易逻辑

1.元素与集合的关系

Aox任GA,xwQA<=>龙史A.

2.德摩根公式

Q(AB)=CUACLB,CU(AB)=CLJACLJB.

3.包含关系

AB=AoAB=B<=>AcB<=>CVBcCyA

<=>ACb,B=OCyAB=R

4.容斥原理

card{AB)=cardA+cardB-card(AB).

5.集合{《,％,,4}的子集个数共有2“个；真子集有2〃-1个；非空子集有2〃-1

个；非空的真子集有2〃-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(D一般式/(X)=依2+6x+c(Q=0)；

(2)顶点式/(x)=a(x—力下+依。。。)；

(3)零点式/(X)=a(x-x,)(x-x2)(a*0).

7.解连不等式N</(%)<M常有以下转化形式

N<f(x)<M<=>[/(x)-M][/(x)-^]<0

M+N,M-N

O"(x)———1<^—O

11

o-------->------.

f(x)-NM-N

8.方程/(x)=0在(匕)上有且只有一个实根,与)<。不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件特别地，方程qf+bx+c=0(aw0)有且只有一个实根在

卜k+k

(占次2)内，等价于/6)/(&)<°，或/g)=0且匕<一9<1,或“42)二。且

2a2

k+b

---］------<------<kf,.

2la2

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/'(x)=af+必+c(aw0)在闭区间［p,g］上的最值只能在x=-2处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

⑴当a>0时，若x=-丁e［p,司，则/(x)min=/(--),/(x)max=max{/(p),/(q)}；

2a2a

X=一(任［PM］，/(X)™x=2{/(，)，/(4)}，/(X)疝nFn{/(〃)，/(")}•

⑵当a<0时，若》=一五式〃,司，则/(x).=min{/(p)J⑷},

%=一(纪［P，。］，则/(x)1rax=max{/(p),/G7)}，/(x)^=min{/(p),/(<7)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/(/〃)/(〃)<0,则方程/(x)=O在区间(加,〃)内至少有一个实根.

设/(X)=%2+px+q,贝！I

p~~4q>0

(1)方程/(x)=O在区间(也+s)内有根的充要条件为/(㈤=0或”

/(⑼>0

(2)方程/(x)=0在区间(加,〃)内有根的充要条件为/(m)/(〃)<0或/(rt)>0或

'p2-4^>0

m<--<n

I2

7(w)=of/(«)=o

\或V；

/(n)>0\f(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(x)=0在区间(一明〃)内有根的充要条件为/(加)<0或〃

---<m

I2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(—8,+8)的子区间L(形如［%例，(―8,河，［。,+8)不同)上含参

数的二次不等式/(x,r)>0(r为参数)恒成立的充要条件是>0(xeL).

(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式f(x,r)>0(t为参数)恒成

立的充要条件是f(x,t),mr,<0(x生L).

a>0r八

(3)/(幻=4/+/7幺+。>0恒成立的充要条件是1/720或，

八b2-4ac<0

c>0I

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有(〃一1)个

小于不小于至多有〃个至少有(〃+1)个

对所有X,成立存在某X,不成立P或q「P且F

对任何X,不成立存在某X,成立p且q-1P或F

14.四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否;

逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否;

否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆;

逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否;

15.充要条件

(1)充分条件：若pnq,则P是4充分条件.

(2)必要条件：若p,则p是4必要条件.

⑶充要条件：若pnq,且qnp,则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02.函数

16.函数的单调性

(1)设为•%e［a,。］%wx2那么

(%-/(4>/(}><=>一石)二(%)>o=/(幻在［a,"上是增函数；

(x-xjf(x)-@如上£^<00/(x)在［a,同上是减函数.

〜•玉

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果

f'(x)<0,则/(x)为减函数.

17.如果函数/(X)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减

函数；如果函数y=/(“)和“=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

y=/Tg(x)］是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个

函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，贝!|/(x+a)=/(-x—a)；若函数y=/(x+a)是偶

函数，则f(x+a)=f(-x+a).

20.对于函数y=f(x)(xeR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，则函数/(无)的对称轴

是函数x=巴吆；

2

两个函数y=/(x+a)与y=/(>-x)的图象关于直线x=巴萨对称.

21.若/(x)=-/(-x+a),则函数y=/(幻的图象关于点(|,0)对称；

若/(x)=~f(x+a)，则函数y=/(x)为周期为2a的周期函数.

22.多项式函数P(x)=a,x"+4iX"T++4的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(%)的图象的对称性

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称o/(a+力=艮a-

=/(2a-x)=/(.

(2)函数y=/(x)的图象关于直线》=等对称=/(a+机］=fb-7

<=>/(a+b-ni)x=(fr.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线戈=()(即y轴)对称.

(2)函数y=f(nix-a)与函数y=f(b-rwc)的图象关于直线x=—对称.

2m

(3)函数y=/(x)和y=(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移4、上移b个单位，得到函数y=/(x—a)+Zj的图

象；若将曲线f(x,y)=O的图象右移。、上移6个单位，得到曲线,f(x—a,y—初=0的

图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函数y=/(日+b)存在反函数，则其反函数为y='"T(x)-切，并不是

k

y="T(H+6),而函数y=[/-'(丘+》)是)，=-[f(x)-b]的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(x)=ex,/(x+y)=/(x)+/(^),/(1)=c.

(2)指数函数f(x)=f(x+y)=/(x)/(y),/(l)=ah0.

⑶对数函数f(x)=log„x,/(肛)=/(x)+/(y),/(a)=l(a>0,aw1).

(4)幕函数/(x)=/,f(xy)=/(x)/(y),/(l)=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(_y),

/(0)=l,lim^^=l.

X

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=/(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或/(x+a)=—J—(/(x)k0),或/(x+a)=-(/(x)*0),

fix)/(x)

或g+Jf(x)—/(》)=/(%+«),(/(x)e[0,1]),则/(x)的周期T=2a

(3)/(x)=1-、(/(x)+0),则/(x)的周期T=3a；

f(Jx+a)

(4)/(%1+々)=伫+、华且/(«)=1(/(为)"(方)。1,0<1%—91<2。)，贝U

1-/(与)/(*2)

/(%)的周期T=4a；

(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)/(x+3«)/(x+4«),

则/(x)的周期T=5a；

(6)/(%+«)=/(x)-f{x+a),则/(x)的周期T=6a.

30.分数指数幕

"1

(1)a"=.—(a>0,m,neTV*,且〃〉1).

Na",

-巴1

(2)a"=—(a>0,m,〃eN*,且">1).

a"

31.根式的性质

(1)而)"=a.

(2)当〃为奇数时，叱=a；

当〃为偶数时，.

一a,。<0

32.有理指数嘉的运算性质

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,seQ).

(2)(ar)s=61rs(a>0,r,sGQ).

(3)(ab)r=arbr(a>O,/?>O,re0.

注：若a>0,p是一个无理数，则表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性

质，对于无理数指数募都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log”N=b<=>ab=N(a>0,a1,N>0).

34.对数的换底公式

logN

log4N=——-—(。〉()，且〃。1,m>0,且m。1,N>0).

log,,,a

n

推论logb"=—log“b(a>0,且。>1,且/〃Hl,n^\,N>0).

"m

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWLM>0,N>0,则

(1)log”(MN)=log.M+logaN;

M

⑵l°g"N=bg"MT°g"M

(3)log((M"=用og“M(〃GR).

36.设函数/(x)=log,”(分2+hx+c)(a*0),记△=/一4tzc.若/(x)的定义域为

R,则。>0,且△<();若/(x)的值域为R,则。>0,且AN0.对于。=0的情形，需要

的汕蛤蛤

37.对数换底不等式及其推广

若”>0">0,x〉0,工。,，则函数〉=108〃1.(衣)

a

(1)当a>匕时，在(0」)和(L+oo)上y=log“rSx)为增函数.

aa

.(2)当a<b时,在(0」)和(士+oo)上y=log”,(")为减函数.

aa

推论:设〃〉“?〉1,p>0>a>0>且贝11

⑴log“”5+P)<log,"〃・

⑵log“〃Hog“〃<log"

§03.数列

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值了，有

y=N(l+，「

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

fy,n=\

(数列｛。“｝的前n项的和为s“=4+a,++a“).

区一4-|，〃22

40.等差数列的通项公式

an=q+(n—1)J=dn+ay—d(nGN*)；

其前n项和公式为

n(a,+a.)n(n-l),

S“=~=叫+2~^d

“2/1八

41.等比数列的通项公式

—■q'\neTV")；

q

其前n项的和公式为

l-q

na},q=1

,q，T

或"q

叫,q=1

42.等比差数列{4}:a,l+l=qan+d,4=b(q*0)的通项公式为

b+(n-l)d,q=\

hq"+(d-h)qn-'-d

,4*1

q-i

其前n项和公式为

nb+n{n—l)d,(q=1)

i—g"

(b-工)+—〃,("1)

\-qq-\\-q

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=-元(贷款。元,〃次还清，每期利率为b).

(1+/2)-1

§04.三角函数

44.常见三角不等式

(1)若了£(0,—),则sinxvxvtanx.

2

(2)若xw(0,g),则1vsinx+cosx〈收.

(3)|sinx|+|cosx|>l.

45.同角三角函数的基本关系式

qjn0

sin28+cos26=1,tan8=----,tan0-cotO=1.

cos0

46,正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

n

(-1)2sina,(n为偶数)

sin(-----\-a)-«

2H-l

：（T产c°sa,（n为奇数）

n

p九(-Ikoa,(n为偶数)

cos(—+aA〈

2〃+l

IFson(n为奇数)

47.和角与差角公式

sin(a±/?)=sinacos0±cosasin尸；

cos(a土尸)=cosacos[3sinasin/7；

,c、tana±tan£

tanz(a±J3)=----------------.

1tanatan0

sin(6f4-/3)sin(<z-J3)=sin2a-sin2/3(平方正弦公式);

cos(a+0)cos(a-/3)=cos2a-sin2(3.

as\na+hcosa=1a1+b?sin(a+夕)(辅助角(p所在象限由点(a,b)的象限决

二b、

定,tan0=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos%=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

2tana

tan2a-

1-tan2a

49.三倍角公式

sin36=3sine-4sin*=4sin6sinq-e)sinq+e).

cos36=4cos3^-3cos6=4cos^cos(--9)cos(—+6)

cc3tantan3八/万八、.n八、

tan36=-------------；-----=tan0tan(-----0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数y=sin(Gx+°),x£R及函数y=cos(+x+°),x£R(A,w,.为常数,且A#0,

万

3>0)的周期7='2；

co

jr

函数y=tan(69x+0),xw匕T+万次£Z(A,3,夕为常数，且AHO,3>0)的周期

T=~.

CO

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+C2-2Z?ccosA；

b2=c2+a2-2CQCOS3;

c2=a2+b2-labcosC.

53.面积定理

(1)S=gah“=gb%,=gch,(h”、瓦、例分别表示a、b、c边上的高).

(2)S=—absinC=—/jcsin/I=—easinB.

222

(3)SA3gj(|OA||O例了—(OA.OB)2.

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+3+C=7roC=万一(A+8)

0一^=2C=2»—2(A+8).

55.简单的三角方程的通解

sinx=a<=>x=攵乃+(—1)“arcsina(keZ,\a\<\).

cosx=aox=2k7i±arccosa{kGZ,|(2|<1).

tanx=a=x=k7r+arctana*£Z,a£R).

特别地，有

sina=sin/?0二=左才+(—1)"/?(左£2).

cosa=cos[30a=2k兀±尸(攵£Z).

tana=tan/=>a=+f3(keZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(|a区1)。x£(2攵%+arcsina,Zk/c+4一arcsind),keZ.

sinx<Q(|a区1)oxc(2左乃一兀一arcsina,2Z»+arcsind),keZ.

cosx>a(\々区1)ox£Qk兀-arccosa.Zkrc+arccosa),keZ.

cosx<«(|«|<1)<=>xG(2Z»+arccosa,2k兀+24一arccosa),keZ,

71

tanx>a(aG7?)=>xG(k九4-arctana.kn+—),ZrGZ.

冗

tanx<a(ae/?)=>xG(左万一5,々乃+arctana),keZ.

§05.平面向量

57.实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：A(ua)=(Au)a;

(2)第一分配律：(X+y)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(2a)•b=A.(a・b)=4a・b=a・(2b)：

(3)(a+b)•c=a,c+b,c.

59.平面向量基本定理

如果&、ez是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数人卜入2,使得a=入网+入2ez.

不共线的向量做、e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a=(X],y),b=(X2，%)，且bHO,则ab(bH0)O>%一%乂=。.

53.a与b的数量积(或内积)

a'b=\a\|b|cos6.

61.a•b的几何意义

数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos6的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=(X]，x),b=(X2，%)，则a+b=(x,+x2,yt+y2).

⑵设a=(X,x),b=(々，%)，则a-b=(百一々,一见)•

(3)设A。，％),B(x2,y2),则=08-。4=(赴一玉,必一乂)・

(4)设a=(x,y),2eR,则4a=(%x,2y).

⑸设a=(x,y),b=(%,%)，则a,b=(%,x2+y%)・

63.两向量的夹角公式

cos0=,^X-^y^2==(a=(%,%),b=(%,为))•

4汇+厉7芯+%

64.平面两点间的距离公式

dAB=\AB\=^ABAB

=正2-%)2+(%-乂)2(A(X],y),B(%,%))•

65.向量的平行与垂直

设a=(X]，x),b=(X2，%)，且b，0，贝！I

A||bob=、a。/%一/凹=0.

a_Lb(a。。)Oa•b=O=X]%+»%=0.

66.线段的定比分公式

设片(％,y),鸟(%,斗)，Rx，y)是线段[鸟的分点，尤是实数，且片P=X松，则

「1+几。”="+如鸟

,_%+2%1+4

7-1+/L

oQP=3+(l-r)0£(r=-^-).

1+4

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X],%)、B(x2)y2),Clx?,y?),则△ABC的重心的坐

标是G(X|+；+X3,X+g+%).

68.点的平移公式

x=x+hx=x-h

«,=<OOP=OP+PP.

j=y+&y=y-k

注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F'上的对应点为P'(x,y),且PP的

坐标为(〃,女).

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(%,k)平移后得到点P\x+h,y+k).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=(〃,Z)平移后得到图象C',则C的函数解析式

为y=f(x-h)+k.

(3)图象C按向量a=(〃,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=/(x),则C'的函数

解析式为y=/(x+〃)-h

⑷曲线C:7(x,y)=O按向量a=(〃,Z)平移后得到图象C',则C'的方程为

f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(〃,A)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A4BC所在平面上一点，角A,3,C所对边长分别为a,。,c,则

222

(1)。为"的外心=OB~=OC.

(2)。为A4BC的重心=04+Q8+OC=O.

(3)。为"BC的垂心o0A0B=0B0C=0C04.

(4)。为的内心oa04+Z?0B+c0C=0.

(5)。为AABC的NA的旁心oaQ4=Z?OB+cOC.

§06.不等式

71.常用不等式：

(1)a,b^R=>a2+b222"(当且仅当a=b时取“=”号).

(2)。,。€/?+=>竺22而(当且仅当@=13时取“=”号).

2

(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|tz|-1/?|<|a+Z?|<|a|+|b|.

72.极值定理

已知，都是正数，则有

(1)若积刈是定值P，则当冗=y时和x+y有最小值2折；

1

(2)若和%+>是定值s,则当x=y时积p有最大值一$29.

4

推广已知则有(x+y)2=(x-y)2+2孙

(1)若积犯是定值，则当I尤-y|最大时，|x+y|最大;

当|x-y|最小时，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，则当|x-y|最大时，|孙|最小；

当|x-yl最小时，|町|最大.

73.一元二次不等式ax2+/?x+c>0(或<0)(a，0,A=Z?2—4ac>0),如果a与

a?+版+。同号，则其解集在两根之外；如果a与双2+法+。异号，则其解集在两

根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

X1O(X-X1)(X-W)<0(王<x2)；

WO(X—%)(x—工2)>0(%<x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

2

<0X<相o-a<x<a.

>a<^>x2>。20尤>。或％<—a.

75.无理不等式

/U)>0

"(X)>Jg(x)OJg(x)>0

(1)

f(x)>g(x)

/U)>0

/(x)>0

(2)"(x)>g(x)og(x)N0或<

g(x)<0

J(x)>[g(x)]2

7u)>o

"(x)<g(x)6g(x)>0.

J(x)<[g(x)/

76.指数不等式与对数不等式

（1）当。>1时，

afM>as（x）o/（x）>g（x）；

/U)>0

log”/(%)>log„g(x)o-g(x)>0

f(x)>g(x)

(2)当()<a<l时，

af(x)>as(x)<=>/(x)<g(x);

7(x)>0

logu/(x)>log„g(x)o，g(x)〉0

f(x)<g(x)

§07.直线和圆的方程

77.斜率公式

左=江耳（片（芭，Y）、月6,%））­

々一西

78.直线的五种方程

（1）点斜式y-y=Z（x—M）（直线/过点片（看,弘），且斜率为2）.

（2）斜截式y=6+6（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式。~~"可（yH%）（耳（与，、1）、8（电,为）（玉。%））.

%一乂为2一%

（4）截距式2+N=l（a、b分别为直线的横、纵截距，。、人工（））

ab

（5）一般式Av+5y+C=0（其中A、B不同时为0）.

79.两条直线的平行和垂直

⑴若4:y=,l2:y=&x+4

①411404=&，4w/

②k-LI2<=>4e=-1.

（2）若4：4x+gy+G=0,4：4%+52y+G=°，且Ai、Az、Bl、B2都不为零,

①4II/2OA=，G；

124B2c2

②4u044+4坊=。；

80.夹角公式

(1)tana=|&—―|.

1+七勺

(/(:y^k}x+b],Z2:y=七》+为"

(2)tana=—---.

44+4员

(4:Alx+Bly+Ci=0,/2:Ax+B2y+C2=0,44+4坊/())•

n

直线4_L/,时，直线/1与/2的夹角是上.

-2

81.4到/2的角公式

(1)tana=冬~.

1+k2kl

(l{-.y=kxx+bx,l2-.y=k2x+b2,kxk2^-\)

(2)tana=---.

4A2+4B2

(A-.A^x+B^y+Q^0,l2:A2x+B2y+C2=0,44+45H0).

直线4_L4时，直线h到12的角是T.

82.四种常用直线系方程

（1）定点直线系方程：经过定点写（朝,为）的直线系方程为了一%=依%一%0）（除直线

x=x0），其中人是待定的系数；经过定点4（%,%）的直线系方程为

4（尤一天）+8（＞-%）=0，其中4台是待定的系数.

（2）共点直线系方程：经过两直线4：4x+gy+G=0,/2：4尤+82y+。2=。的交

点的直线系方程为（4%+用丁+。］）+〃4%+为卜+。2）=0（除/2），其中人是待定的系数・

（3）平行直线系方程：直线），=a+。中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是AX+B），+；1=0（/IH0）,人是

参变量.

（4）垂直直线系方程：与直线4t+8），+C=0（AWO,BW0）垂直的直线系方程是

Bx-Ay+A=0,A•是参变量.

83.点到直线的距离

d=的上吐Cl（点p（Xo,为），直线/：Ax+By+c=o）.

\IA2+B2

84.4+8），+。＞0或＜（）所表示的平面区域

设直线/:Ar+8），+C=0,则—+5y+C＞0或＜0所表示的平面区域是：

若840,当8与Ax+gy+C同号时，表示直线/的上方的区域；当8与Ac+8y+C

异号时，表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若8=0,当A与Ax+B），+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ax+8y+C

异号时，表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.（4兀+4^+。1）（41+与》+6）＞0或＜0所表示的平面区域

设曲线c：（Ax+4y+G）（4x+32y+G）=o（44432。。），贝（J

（4工+4、+0（4%+62丁+6）＞0或＜0所表示的平面区域是：

(Ax+gy+CJ(&x+与y+G)>0所表示的平面区域上下两部分；

(Ax++G)(4x+与y+G)<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-^)2=r.

(2)圆的一般方程x1+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4F>0).

—x=a+rcosO

(3)圆的参®数方程\.八.

y-b+rsm0

(4)圆的直径式方程(x-玉)(x—X2)+(y—X)(y-必)=。(圆的直径的端点是

A(%,y)、B(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(X],y),8(々,火)的圆系方程是

(x-Xi)(x—x2)+(y-M)(y-y2)+R(x-%)(yi-y2)-(y—yi)(Xi-々)1=0

<^>(x-xI)(x-x2)+(y-yl)(y-y2)+2(ax+^y+c)=0,其中ax+by+c=O是直线

AB的方程，入是待定的系数.

⑵过直线/:Ax+By+C=O与圆。：％2+丫2+瓜+砂+尸=0的交点的圆系方程

是/+/+瓜+或+/+；1(/5+3)，+0=0,入是待定的系数.

(3)过圆G:f+y2+£>/+耳T+6二。与圆&：必+9+已工+4丁+月二。的交

22

点的圆系方程是x+y~+Dtx+Ety++/l(x+y~+D-,x+£,y+/^)=0,人是待定的

系数.

88.点与圆的位置关系

点与圆(x—a/+(y—初2=/的位置关系有三种

若d={(a-Xof+3-%)2,贝！|

d>r=点P在圆外；d=ro点P在圆上；d<r=点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+8)，+C=0与圆(x—。产+(y—32=尸的位置关系有三种：

d>ro相离o△<0;

d—r<=>相切<=>A=0;

“<广。相交oA>0.

IAa+Bb+C|

其中d=

y/A2+B2

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0“。2,半径分别为n,r2,\O}O2\=d

d>rt+r2o外离。4条公切线；

。=4+Go外切o3条公切线；

\rt-r2\<d<rt+r2o相交=2条公切线；

d=\r]—r2\o内切ol条公切线；

0cd<卜-q|o内含o无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆X2+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切点(毛,％)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D（X+A:）£（y+y）

/工+先丁+—30—+—0—+/=（）•

当（x0,为）圆外时，x0x++。呼"）+"今+'）+/=。表示过两个切点

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为^-加=-%-拓），再利用相切条件求k,这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为丁=奴+人，再利用相切条件求b,必有两条切线.

（2）已知圆f+j?=r.

①过圆上的玲（拓,为）点的切线方程为x（）x+x）y=，；

②斜率为k的圆的切线方程为y=kx+n/1+T.

§08.圆锥曲线方程

22

92.椭圆，+[=1(。>。〉0)的参数方程是•x=acosO

a~b~y=hsin0

22

93.椭圆5+与=1(。>。>0)焦半径公式

a~h~

22

|P£|=e(x+?),\PF2\=e(^--x).

94.椭圆的的内外部

r22r2v2

（1）点P（xo，%）在椭圆—•+4v=l（a＞b〉0）的内部0T•+普＜1.

abah

2222

（2）点在椭圆=+4=1（。＞。＞0）的外部=与+4＞1.

Q.b~a"b"

95.椭圆的切线方程

22

（1）椭圆二+二=1（。＞。＞0）上一点尸（%,%）处的切线方程是岑+誓=1.

abab

X2,y2

（2）过椭圆r+与=l（a＞b＞0）外一点%）所引两条切线的切点弦方程是

警+誓=1.

a2b1

x22

(3)椭圆r+、v=l(a>%>0)与直线Ax+By+C=O相切的条件是

ab

A^a2+B2b2=c2.

22

96.双曲线=一4=1(。>0,8>0)的焦半径公式

a~b"

22

\PF\=\e{x^--)|,\PF2\=^e(---x)|.

cc

97.双曲线的内外部

2222

(1)点P(XO,%)在双曲线—y—=1(Q>0,/?>0)的内部<=>-y->1•

abab

(2)点P(x0,%)在双曲线=Ka〉0,。＞0)的外部o之一与＜1.

ab~ab

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为二•一4=1=＞渐近线方程：「-与=0=y=±2x.

a-b2a2b2a

22

(2)若渐近线方程为?；=±2'0±±2=0=双曲线可设为二—==九.

aahab~

2222

(3)若双曲线与「一马=1有公共渐近线，可设为三-q=