统考版2025届高考数学全程一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第五节古典概型几何概型学生用书

第五节古典概型、几何概型·最新考纲·1．结合详细实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事务所含的基本领件数及事务发生的概率．2．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义．3．了解人类相识随机现象的过程．·考向预料·考情分析：古典概型及其与平面对量、函数、解析几何、统计等学问综合是考查的热点．学科素养：通过古典概型、几何概型的应用，考查数据分析的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．基本领件的特点(1)任何两个基本领件是________的．(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成________的和．2．古典概型(1)古典概型的定义及特点具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中全部可能出现的基本领件______．②每个基本领件出现的可能性________．(2)古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有n个，而且全部结果出现的可能性都相等，假如某个事务A包含的结果有m个，那么事务A的概率为P(A)＝________．3．几何概型(1)几何概型的定义假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的________(________或________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．(2)在几何概型中，事务A的概率的计算公式如下：P(A)＝_____________________________________________.二、必明1个常用结论古典概型与几何概型的区分与联系(1)共同点：基本领件都是等可能的；(2)不同点：古典概型基本领件的个数是有限的，几何概型基本领件的个数是无限的．三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“在相宜条件下，种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型，其基本领件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事务是等可能事务．()(3)在古典概型中，假如事务A中基本领件构成集合A，全部的基本领件构成集合I，则事务A的概率为cardA(4)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形态有关．()(6)几何概型与古典概型中的基本领件发生的可能性都是相等的，其基本领件个数都有限．()(二)教材改编2．[必修3·P127例3改编]把一颗骰子投掷两次，视察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，其次次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，2)，则向量m与向量n不共线的概率是()A．16B．1112C．13．[必修3·P146习题B组T4改编]如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为______．(三)易错易混4．(分类不清出错)现有7名成果优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成果优秀，B1，B2的物理成果优秀，C1，C2的化学成果优秀．从数学、物理、化学成果优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参与竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为________．5．(几何概型类型不清)如图所示，M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过2R的概率是________．(四)走进高考6．[2024·全国甲卷]将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一简洁的古典概型[基础性]1．[2024·广西高三开学考试]视察一枚匀称的正方体骰子，随意选取其中两个面的点数，点数之和正好等于5的概率为()A．110B．115C．22．小华、小明、小李、小章去A，B，C，D四个工厂参与社会实践，要求每个工厂恰有1人去实习，则小华去A工厂，且小李没去B工厂的概率是________．反思感悟利用公式法求解古典概型问题的步骤考点二困难的古典概型[综合性][例1]已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．听课笔记：反思感悟求较困难事务的概率问题的方法(1)将所求事务转化成彼此互斥的事务的和事务，再利用互斥事务的概率加法公式求解．(2)先求其对立事务的概率，再利用对立事务的概率公式求解．【对点训练】某市为庆祝北京夺得2024年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康，同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参与活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30)，第2组[30，40)，第3组[40，50)，第4组[50，60)，第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．考点三几何概型[综合性]角度1与长度有关的几何概型[例2]若任取k∈[－5，5]，则直线y＝k(x＋1)与曲线y＝A．15B．310C．2听课笔记：反思感悟与长度有关的几何概型(1)假如试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．角度2与体积有关的几何概型[例3][2024·湖南衡阳八中模拟]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－π4B．π12C．π听课笔记：反思感悟与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事务的体积(事务空间)，对于某些较困难的也可利用其对立事务求解．角度3与面积有关的几何概型[例4][2024·湖北省四校联考]如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为()A．14B．13C．1听课笔记：反思感悟求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事务对应的面积，所求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．【对点训练】1．[2024·广东佛山调研]将一根长为6m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为()A.13B．23C．22．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由翱翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为()A．34B．23C．13．折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期在折扇扇面上题诗赋词作画，成为当时的一种时尚，并始终流行至今．现有一位折扇爱好者打算在如图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为()A．34B．13C．5考点四古典概型与几何概型的综合问题[综合性]角度1与数学文化有关的古典概型、几何概型问题[例5](1)为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，假如每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为()A．23B．12C．1(2)如图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3听课笔记：角度2与函数、向量、线性规划等学问交汇的古典概型、几何概型问题[例6](1)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事务“-1≤log1A．34B．23C．1(2)小波以嬉戏方式确定是去打球、唱歌还是去下棋．嬉戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．①写出数量积X的全部可能取值．②分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．听课笔记：角度3与实际生活有关的古典概型、几何概型问题[例7](1)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在图中三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为()A．12B．13C．1(2)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23A．43B．83C．2听课笔记：反思感悟解决此类综合问题的方法是充分读取题目信息，脱去向量、线性规划、正负等“外衣”，恰当转化为古典概型、几何概型问题，代入概率公式求解．【对点训练】1．现在某类病毒记作Xm，Xn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以随意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．2．若a，b∈{－1，0，1，2}，则使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为________．3．假设某人订了一份牛奶，送奶人在早上6：00～7：00之间随机地把牛奶送到他家，而他在早上6：00～7：30之间随机地离家上学，则他在离开家前能收到牛奶的概率是________．第五节古典概型、几何概型积累必备学问一、1．(1)互斥(2)基本领件2．(1)有限相等(2)m3．(1)长度面积体积几何概型(2)构成事件A的区域长度三、1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×2．解析：若m与n共线，则2a－b＝0.而(a，b)的可能性状况为6×6＝36个．符合2a＝b的有(1，2)，(2，4)，(3，6)共三个，故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112答案：B3．解析：由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率计算公式可得S4＝30200，所以答案：0.64．解析：基本领件共有3×2×2＝12(个)，其中符合条件的基本领件有2＋2×2＝6(个)，故A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为12答案：15．解析：当弦MN的长度恰为2R时，∠MON＝π2，如图，当点N落在半圆弧NMN'上时，弦MN的长度不超过2R，故所求概率为P＝答案：16．解析：把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率P＝610答案：C提升关键实力考点一1．解析：视察一枚匀称的正方体骰子，随意选取其中两个面的点数的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种取法，其中和为5的取法有(1，4)，(2，3)，共2种取法，由古典概型概率公式可得事务点数之和正好等于5的概率P＝215答案：C2．解析：记小华、小明、小李、小章分别为：1、2、3、4，数组(a，b，c，d)对应A，B，C，D的依次，由题意可知总的安排状况有：(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，3，1)，(2，4，1，3)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，2，3，1)，(4，2，1，3)，(4，3，2，1)(4，3，1，2)，(4，1，3，2)，(4，1，2，3)，共6×4＝24种，其中符合条件的状况有：(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，共4种，故所求概率P＝424＝1答案：1考点二例1解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事务M发生的概率P(M)＝521对点训练解析：(1)设第1组[20，30)的频率为f1，则由题意可知，f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.解析：(2)∵第1组[20，30)的人数为0.05×120＝6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A，B，C，3名女性群众分别为x，y，z，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15个基本领件．至少有一名女性群众包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12个基本领件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P＝1215＝4考点三例2解析：直线y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，曲线y＝4-x-22，即(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆的上半部分，直线y＝k(x＋1)与该曲线相切时，k＝255，因为直线y＝k(x＋1)与曲线y＝4-x-22有两个交点，所以0≤k＜25答案：A例3解析：正方形ABCD的面积为22＝4，圆锥的底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是4-π4＝1－π答案：A例4解析：设六角星的中心为点O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝12答案：C对点训练1．解析：绳子的长度为6m，剪成两段后，设其中一段的长度为xm，则另一段的长度为(6－x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事务A，则A＝＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝23.答案：B2．解析：因为VF－AMCD＝13×SAMCD×DF＝14a3，VADF－BCE＝12a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为1答案：D3．解析：由题得，扇面的面积为S1＝12·2π3·182－12·2π扇子的面积为S2＝12·2π3·18则墨汁恰好落入扇面的概率P＝96π108π＝8答案：D考点四例5解析：(1)记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a、b、c、d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的全部状况有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6种，符合条件的状况为ab共1种，故概率为16(2)方法一取AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积为SⅢ＝12·π(2)2－2＝π－2，区域Ⅱ的面积为SⅡ＝π·12－SⅢ＝2，故p1＝p方法二设AC＝b，AB＝c，BC＝a，则有b2＋c2＝a2，从而可以求得△ABC的面积为S1＝12bc黑色部分的面积为SⅡ＝π2·(c2)2＋π2·(b2)2－π2·a22-12bc＝π2(c24+b24-a24)＋所以有SⅠ＝SⅡ，依据面积型几何概型的概率公式，可以得到p