行列式的展开

关于行列式的展开§1.3行列式的展开与计算一般来讲,高阶行列式计算麻烦,而低阶行列式计算起来简单.这一节介绍把高阶行列式转化为低阶行列式的方法.

1.3.2拉普拉斯(Laplace)定理

1.3.1行列式按一行（或一列）展开第2页,共34页，星期六，2024年，5月1.3.1行列式按一行（或一列）展开定义1.3.1在n阶行列式D=|aij|n中，划掉元素aij所在的第i行和第j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij.称为元素

aij的代数余子式.

第3页,共34页，星期六，2024年，5月中元素

a23的代数余子式

元素a23的代数余子式是

例如四阶行列式第4页,共34页，星期六，2024年，5月定理1.3.1n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或定理1.3.1表明:行列式可以按它的任一行（列）展开，这样就可把一个行列式用较低阶的行列式表示出来.第5页,共34页，星期六，2024年，5月(1)首先讨论行列式D的第一行中除

a11≠0外,其余元素均为零的情形，即按行列式的定义证定理分三步证明.第6页,共34页，星期六，2024年，5月第7页,共34页，星期六，2024年，5月(2)其次讨论行列式D中第i行元素除aij≠0外，其余元素均为零的情形即第8页,共34页，星期六，2024年，5月先将D的第

i行依次与第

i-1,…,2,1各行作i-1次相邻对换调到第一行,再将第

j列依次与j-1,…,2,1各列作j-1次相邻对换调到第一列,这样对D共进行了i+j-2次对换,由行列式的性质3及情形（1），

第9页,共34页，星期六，2024年，5月(3)一般情形，把D写为

由行列式的性质4及情形(2),第10页,共34页，星期六，2024年，5月第11页,共34页，星期六，2024年，5月定理1.3.2n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即

第12页,共34页，星期六，2024年，5月证

=====两边行列式都按第i行展开,得

第13页,共34页，星期六，2024年，5月移项化简,得同理可证另一式.证毕.把定理1.3.1与1.3.2结合起来，得到两个重要公式：第14页,共34页，星期六，2024年，5月上面定理提供的降阶法：通常要计算多个降阶行列式,计算量仍然比较大。在应用这个方法时,通常先利用行列式的性质,使行列式中某行(或列)的元素尽可能多的化为零,然后再利用降阶法。第15页,共34页，星期六，2024年，5月例1.3.1计算行列式第16页,共34页，星期六，2024年，5月例1.3.2计算n+1阶行列式,其中

第17页,共34页，星期六，2024年，5月例1.3.3计算n阶行列式

解按第1列展开

第18页,共34页，星期六，2024年，5月第19页,共34页，星期六，2024年，5月由于对于n2,Dn=xDn-1+an都成立,从而

因为D1=a1+x,于是

第20页,共34页，星期六，2024年，5月在上例中，我们把行列式的计算化为形式相同而阶数较低的行列式的计算,这种方法称为递推法,关系式Dn=xDn-1+an称为行列式的递推公式.下面我们介绍另外一种行列式的计算方法—数学归纳法.第21页,共34页，星期六，2024年，5月证明：对Vn的阶数

n作数学归纳法.

当n=2时,

例1.3.4

证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式结论成立。第22页,共34页，星期六，2024年，5月假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，考虑n阶范德蒙行列式.从第n行起,每行减去前一行的a1倍,得到按第一列展开后,将每一列的公因子提出来,得到第23页,共34页，星期六，2024年，5月上式右端是一个n-1阶范德蒙行列式,由归纳假设得因此，对

n阶范德蒙行列式结论成立。

第24页,共34页，星期六，2024年，5月1.3.2拉普拉斯(Laplace)定理

推广：行列式按若干行（或若干列）展开的计算方法。第25页,共34页，星期六，2024年，5月定义1.3.2

在n阶行列式D中,任取k行、k列(1

k

n-1)，由这些行和列交叉处的元素按原相对位置所构成的k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的n

k阶行列式M,称为N的余子式.若N所在的行序数为i1,i2,…,ik,所在的列序数为

j1,j2,…,jk

,则称

为N的代数余子式.第26页,共34页，星期六，2024年，5月例如，在4阶行列式中选取第1，4行，第2，3列，得到一个2阶子式

第27页,共34页，星期六，2024年，5月N的余子式为N的代数余子式为

第28页,共34页，星期六，2024年，5月定理1.3.3(拉普拉斯(Laplace)定理)在n

阶行列式D中任意选取k行（列）(1

k

n-1)

,则由这k个行（列）中的一切k阶子式

N1,N2,…,Nt与它们所对应的代数余子式A1,A2,…,At乘积之和等于D，即

定理的证明从略,有兴趣的同学可参考文献[1]：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等数学，2版，北京：高等教育出版社，1988.第29页,共34页，星期六，2024年，5月例1.3.5计算五阶行列式第30页,共34页，星期六，2024年，5月例1.3.6计算2n阶行列式

解：由于D的左下角的n2个元素全为零,故可选取D的前n列展开.由这n列构成的所有n阶子式中,只有左上角的一个可能不为零,于是由拉普拉斯定理,

第31页,共34页，星期六，2024年，5月第32页,共34页，星期六，2024年