2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 三角恒等变换、函数y=Asin(wxψ)的图象及其应用（原卷版）

第03讲三角恒等变换、函数的图象及其应用目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：重点考查利用拼凑角求三角函数值 1题型二：重点考查利用拼凑角求角 5题型三：重点考查函数的图象变换 11题型四：重点考查根据图象求三角函数的解析式 16题型五：重点考查利用五点法作一个周期的图象 25题型六：重点考查利用五点法作规定范围内的图象 33题型七：重点考查利用图象解决函数零点（根）的个数问题 42题型八：重点考查利用图象解决函数零点（根）的代数和问题 51题型九：重点考查利用图象解决三角函数恒成立问题 59第二部分：易错篇 67易错一：图象平移时忽略谁平移成谁 67易错二：图象平移时忽略函数名化统一 69第一部分：题型篇题型一：重点考查利用拼凑角求三角函数值典型例题例题1．（2023春·山东临沂·高一统考期中）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·安徽·高一校联考期中）已知，则=___________.例题3．（2023春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）已知，均为锐角，，.(1)求的值；(2)求的值.例题4．（2023春·贵州毕节·高一校考期中）已知，，，．(1)求和的值；(2)求的值．精练核心考点1．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·重庆·高一校联考期中）已知是锐角，且，则___________．3．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）已知，，，求的值.4．（2023春·江苏南京·高一校考阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，且，，求的值.题型二：重点考查利用拼凑角求角典型例题例题1．（2023春·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知，均为锐角，且，，则＝________.例题．（2022春·高一校考单元测试）已知，且，，求的值及角.例题3．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知，．(1)求；(2)若，且，求．精练核心考点1．（2023春·江苏镇江·高一统考期中）已知，，且，．(1)求；(2)求角的大小．2．（2023春·江苏连云港·高一统考期中）已知角，为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．3．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）（1）已知函数，若，求；（2）已知，，，，求的值．4．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期中）已知锐角，，且满足，．(1)求；(2)求．题型三：重点考查函数的图象变换典型例题例题1．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度例题2．（2023春·河南焦作·高一统考期中）已知函数，为了得到函数的图象，只需把的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度例题3．（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）已知曲线，，则下面结论正确的是（

）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线例题4．（2023·高一课时练习）要得到函数的图象，只需的图象A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）例题5．（多选）（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位精练核心考点1．（2023春·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（

）A． B．C． D．3．（2023春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象进行如下变换得到（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位4．（2023·全国·高三专题练习）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（

）A．在区间上是增函数B．的一条对称轴为C．的一个对称中心为D．在区间上只有2个极值点题型四：重点考查根据图象求三角函数的解析式典型例题例题1．（多选）（2023·辽宁·校联考二模）函数的部分图像如图所示，，，则下列选项中正确的有（

）．A．B．C．将的图像右移个单位所得函数为奇函数D．的单调递增区间例题2．（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图是函数的部分图像，则（

）A．B．在区间单调递增C．直线是曲线的对称轴D．的图像向左平移个单位得到函数的图像例题3．（多选）（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．该图象向右平移个单位可得的图象例题4．（2023·海南·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．1例题5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______.精练核心考点1．（多选）（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．的图像关于直线对称C．在上单调递增D．若将的图像向右平移个单位长度，则所得图像关于轴对称2．（多选）（2023·安徽淮北·统考二模）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．在上单调递增D．将函数的图象向左平移个单位.得到函数的图象3．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______．5．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知函数f的部分图象如图所示，将的图象向右平移（T为的最小正周期）个单位长度得到的图象，则______．题型五：重点考查利用五点法作一个周期的图象典型例题例题1．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知函数，.(1)用五点法作图，填表并作出在一个周期内的图象(2)写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；例题2．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；(2)写出函数在上的单调递减区间；(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．精练核心考点1．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）已知函数.(1)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；(2)当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值.2．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值3．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）已知函数．(1)用“五点法”画出函数一个周期的简图；xy(2)写出函数在区间上的单调递增区间．题型六：重点考查利用五点法作规定范围内的图象典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：0010-10000(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．例题2．（2023春·江西·高一校联考期中）已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.(1)求的解析式，并用五点法画出函数在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求函数的单调递减区间，并求的最大值以及对应的取值集合.例题3．（2023春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：00100000(1)请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像；(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间.精练核心考点1．（2023春·云南临沧·高一校考阶段练习）已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其图象的一条对称轴.(1)求的值；(2)用“五点法”列表，并在图中画出函数在区间上的图象；2．（2023秋·吉林长春·高一长春市第二中学校考期末）已知函数.xπ(1)填写上表，并用“五点法”画出在上的图象；(2)先将的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求的对称轴方程.3．（2023秋·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）已知函数（1）用五点法作出在内的图象；（2）若，且，求的取值集合．题型七：重点考查利用图象解决函数零点（根）的个数问题典型例题例题1．（2023春·全国·高一专题练习）已知函数的最大值为1．(1)求实数的值；(2)将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数的取值范围．例题2．（2023·江苏·统考三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数在区间上没有零点，求的取值范围．例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数的图像如图．(1)根据图像，求的对称中心；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．例题4．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.(1)求函数与的解析式；(2)求实数与正整数，使得在内恰有2023个零点.精练核心考点1．（2023春·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数.(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在上有两个不同的零点，请直接写出实数的取值范围（不需过程）.2．（2023春·河北石家庄·高一石家庄一中校考期中）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)将函数的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.3．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知函数的部分图象如图所示，且图中的.(1)求的解析式；(2)判断函数在上的零点个数，并说明理由.4．（2023春·河南南阳·高一统考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，矩形的面积为．(1)求的最小正周期和单调递增区间．(2)先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，最后得到函数的图象．若关于的方程在区间上仅有3个实根，求实数的取值范围．题型八：重点考查利用图象解决函数零点（根）的代数和问题典型例题例题1．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围及的值．例题2．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数.(1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值；(2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和.例题3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有3个零点，请直接写出的取值范围，并求的值．例题4．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，，的图像整体向右平移个单位后图像关于原点对称.(1)求的单调递增区间；(2)若，且，，求和的值.精练核心考点1．（2023春·福建福州·高一福建省福州第八中学校考期中）已知向量，，函数.(1)求函数的解析式和对称轴方程；(2)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.2．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3．(1)求使成立的的取值集合；(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．3．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式；(2)若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值.题型九：重点考查利用图象解决三角函数恒成立问题典型例题例题1．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将函数的图象按向量平移指的是：当时，图形向右平移个单位，当时，图形向左平移个单位；当时，图形向上平移个单位，当时，图形向下平移个单位．已知，将的图象按平移得到函数的图象．(1)求的解析式；(2)若函数在区间上至少含30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值；(3)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．例题2．（2023春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期中）已知函数的部分图像如图所示．，，．(1)求的解析式；(2)将的图像先向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数为，若对于恒成立，求实数取值范围．例题3．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）设函数，将函数的图象向左平移单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为，且为奇函数.(1)求的解析式；(2)令函数对任意实数，恒有，求实数的取值范围.例题4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为；(1)求；(2)若任意，均使恒成立，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据：0020d0(1)请根据上表数据，求出函数的表达式并写出表内实数a，b，c，d的值；(2)请在给定的坐标系内，作出函数在一个周期内的图象；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.2．（2023春·北京海淀·高一北京市八一中学校考期中）已知函数，．(1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．(3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围．3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数.关于x的不等式对恒成立，求实数m的取值范围.第二部分：易错篇易错一：图象平移时忽略谁平移成谁典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函