2024年江苏省常州市中考数学试题（解析版）

PAGE1常州市二○二四年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.的绝对值是（）A. B. C.2024 D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．【详解】解：的绝对值是，故选：C．2.若二次根式有意义，则可取的值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案．【详解】解：若二次根式有意义，则，解得，在四个选项中符合的是2，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．3.计算的结果是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：B．4.下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．【详解】解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是故选：B．5.如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（）A.与一定相等 B.与一定不相等C.与一定相等 D.与一定不相等【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F∵点P在的平分线上，∴，由平行线间间距相等可知，∴，由于和的长度未知，故二者不一定相等，故选：A，6.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（）A.光年 B.光年 C.光年 D.光年【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值．【详解】解：50亿光年光年；故选C．7.如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（）A.垂线段最短B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.两点确定一条直线D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．【详解】解：过点有，，即得到的力臂大于的力臂，其体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．8.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（）A.第所用的时间最长B.第的平均速度最大C.第和第平均速度相同D.前的平均速度大于最后的平均速度【答案】D【解析】【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意；平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意；第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意；由于前的的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意；故选D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）9.16的算术平方根是___________．【答案】4【解析】【详解】解：∵∴16的平方根为4和-4，∴16的算术平方根为4，故答案为：410.分解因式:=_________．【答案】【解析】【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫分解因式．【详解】11.计算：________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．12.若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．【详解】解：由题意，得：；故答案为：．13.如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________．【答案】【解析】【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果．【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O，∴，∴关于原点对称，∵点A的坐标是，∴点C的坐标是；故答案为：．14.如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵是的直径，，，∴，∴；故答案为：．15.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．，，，，，，，，，，，，令，，解得或（舍去），．故答案为：．16.如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，，，D是边的中点，∴，∴，∵将沿翻折，点C落在上点F处，∴，，∴，设，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故答案为：．17.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案．【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，由题意可知，，；根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，，故答案为：．18.“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．【详解】解：．根据题意得：，解得：，车速的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.解方程组和不等式组：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：（1）加减法解方程组即可；（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．【小问1详解】解：，得：，解得：；把代入①，得：，解得：；∴方程组的解为：．小问2详解】解：，由①，得：；由②，得：；∴不等式组的解集为：．20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．【详解】解：，当时，原式．21.某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：完全充放电次数t充电宝数量/个23105（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；（2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）；①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足．（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．【答案】（1）见解析（2）①②（3）500个【解析】【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体：（1）根据调查方式的选择，进行说明即可；（2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可；（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．【小问1详解】解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式．【小问2详解】解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确；将数据排序后，第10个和第11个数据均位于，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确；由统计表的中的数据可知，的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误；故答案为：①②；【小问3详解】解：（个）．22.在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：（1）直接根据概率计算公式求解即可；（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：甲乙

由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，∴甲获胜的概率为．23.如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．（1）求证：是等腰三角形；（2）连接，则与l的位置关系是________．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：（1）证明，得到，即可得证；（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．【小问1详解】证明：在和中，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；【小问2详解】∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴．24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）连接，求的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．【小问1详解】解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，∴，∴，∴反比例函数的解析式为：，，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：；【小问2详解】解：设直线与轴交于点，∵，∴当时，，∴，∴的面积．25.书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，，∵与的比是，∴，解得：，经检验是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是．26.对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；（2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）如图3，在平面直角坐标系中，点D、E、G的坐标分别是、、，以点G为圆心，r为半径画圆．若对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出r的取值范围．【答案】（1），（2）图见解析（答案不唯一）（3）或【解析】【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可；（2）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求；（3）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．【小问1详解】解：∵B、C、D是线段AE的四等分点．，∴，∴，∴线段的平移图形是，；故答案为：，；【小问2详解】解：如图：即为所求；由作图可知：，∴四边形为菱形，∴，∵，∴四边形为菱形，∴，∴即为所求；【小问3详解】∵点D、E、G的坐标分别是、、，∴，∴，∵对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，∴，当在圆外时，∵，，∴，∴，∴．当在圆内时，则：，∴，∴；综上：或．【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键．27.将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．（1）如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．【答案】（1）菱形（2）（3），理由见解析【解析】【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．【小问1详解】解：如图所示，连接∵都是等边三角形，∴，∴四点共圆，∵点E是的中点，∴，∴为过的圆的直径，又∵，∴为过的圆的直径，∴点H为圆心，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形，∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；【小问2详解】解：∵都等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴是等边三角形，过点E作，∴设，则，，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；【小问3详解】解：，理由如下：如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，∵都是边长为的等边三角形，∴，，∴由勾股定理可得，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．28.在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．（1