有限元法及其应用 课件 FEM 3 平面问题有限元法、FEM 4 ANSYS简介

3平面问题的有限元法位移函数的选取有限元法中，连续体的位移场，采用分片连续的多项式函数来表征。选取位移函数的核心问题是要保证有限元法解答的收敛性问题，即网格逐渐加密时，有限元解应当收敛于问题的理论解。为保证收敛性，位移函数必须满足三个性质：完备性、协调性、几何各项同性。完备性是收敛的必要条件，协调性和几何各向同性是充分条件。相邻单元公共边界的变形情况选取位移函数满足的三个准则：

（1）完备性——反映单元的刚体位移状态和常应变状态。真实状态下，物体任意点的位移包含刚体位移和弹性位移叠加而成。因此，插值函数必须有刚体位移状态，必须有常数项。（2）协调性——相邻单元在公共边界处位移或位移导数的连续性。在公共边界上，没有缝隙、重叠、且具有相同的法向转角。位移函数的选取（3）几何各向同性——所取位移函数从一个笛卡尔直角坐标系线性变换到另一个坐标系要保持完备性与协调性不变。选择以下的位移函数能满足单元的几何各向同性：完全的n次多项式；不完全的n次多项式，但含有保持“对称性”的合适的项。帕斯卡（Pascal）三角形位移函数的选取3节点三角形单元确定单元的位移模式设定一个简单的函数作为单元位移的近似函数，该函数称为位移函数，位移函数一般取为多项式形式。对于三角形平面单元：

节点位移列向量节点力列向量根据帕斯卡三角，单元位移函数选完全多项式前三项：式中：αi

称为广义坐标。节点位移满足位移函数3节点三角形单元单元节点处各位移分量满足该位移函数：其中，为三角形的面积。伴随矩阵求逆方法，左边方程组的解为：将系数代入位移插值函数，得到位移用节点位移的表示形式：同理，可得y方向位移用节点位移的表示形式3节点三角形单元因此，三角形单元内，位移插值函数的表达式为：3节点三角形单元令则有位移插值函数的表达式：为形函数。式中：[N]为形函数矩阵，其元素是位置坐标的函数。写成矩阵形式：式中：

形函数的性质：（1）形函数是坐标的函数，且与位移函数的形式相同。（2）形函数在本节点上取值为1，在其余节点取值为零。即有如下表达式：3节点三角形单元三个节点位移都是基本的物理量，相互独立。因此,i节点位移与其他两个节点位移无关，其系数为0。以i节点为例，i节点x方向位移：（3）在任意点(x,y)，形函数值的总和为1，即位移插值函数必然能满足物体的刚体运动，因此假设物体做刚体运动（如，任意点运动u0）3节点三角形单元帕斯卡（Pascal）三角形位移插值函数——四个节点，选四项。4节点四边形单元双线性函数：固定x，位移函数u(x,y)和v(x,y)是关于y的线性函数；固定y，位移函数u(x,y)和v(x,y)是关于x的线性函数。用形函数表示：四节点矩形单元节点3形函数N3(x,y)在节点1,2,4取0，由于形函数为双线性函数，固定一条边时，线性变化。因此，N3(x,y)在直边14和12都取0，即：4节点四边形单元N3(x,y)在节点3取1总结规律，有如下一般形式：同理，2节点的形函数可以表示为：N2(x,y)在节点2取1，则有：因此，（1）单元应变矩阵有限元方程的建立为单元应变矩阵，为3×2n矩阵；n为单元节点数目。

其中：有限元方程的建立对于线性平面3节点三角形单元，形函数为：单元应变矩阵可表示成分块的形式：其中：有限元方程的建立(2)单元应力矩阵平面应力问题的本构方程：可简写为将

代入，得到用节点位移表示单元应力的关系式：，其中[D]是与单元材料有关的弹性矩阵

（3）虚功原理——弹性体变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。有限元方程的建立虚功原理的数学表达式：内虚功外虚功计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。有限元方程的建立总内虚功有限元方程的建立内力在虚位移上所做的虚功：内力×虚位移，其中，内力=应力×面积，虚位移=虚应变×原长虚应变向量应力向量式中：外力在虚位移上所做的虚功：式中：矩阵形式：虚位移向量体力向量面力向量有限元方程的建立单元e的节点位移向量为有限元方程的建立单元e内的虚应变为单元内虚功单元e的节点虚位移向量为由单元位移产生的单元应力向量为厚度为t的单元内的虚变形功为其中单元刚度矩阵单元外虚功有限元方程的建立其中，等效节点力虚位移场得到：外力所做虚功作用于任意一个单元上的载荷有体积力和单元边界的表面力，单位体积力为，单位表面力为有限元方程的建立单元平衡方程记作用于单元e上的等效节点载荷向量为得到外力虚功由虚功原理得到即：单元平衡方程对于平面问题的3节点三角形单元，刚度矩阵：

有限元方程的建立其中有限元方程的建立对于平面应力问题，单元子刚度矩阵为对于平面应变问题，只需令单元子刚度矩阵为一厚度为h的平面薄片悬臂结构，承受一集中荷载P，求其变形及应变。现将该结构划分为4个单元，总共6个节点，单元及节点编号如图。例题先计算单元①的刚度矩阵，单元节点应按逆时针顺序编号，节点i,j,m对应的节点编号为1，2，3。按节点分块，单元节点力与节点位移的关系为:★1.单元刚阵的计算例题单元①的刚度矩阵对于单元②

，按逆时针方向取节点的顺序为2，5，3，即按节点顺序分块，其单元平衡方程为例题单元刚度矩阵对于单元③和④，因为其几何形状及节点排列的顺序与单元①完全相同，所以有例题单元③平衡方程单元④平衡方程★2.整体刚阵的叠加例题节点力与节点载荷平衡。以节点2为例，系统的有限元方程为结构的基本方程为整体结构的节点荷载列阵为★

3.基本方程和约束条件的处理其中各项为约束反力。例题整体结构的节点位移向量为基本方程含有12个方程，包含6个未知位移和6个未知约束反力是可以求解的。如只求位移，可将约束的位移条件代入（划行划线法）。★

3.基本方程和约束条件的处理例题如节点4的约束反力★

4.求位移、支反力例题求解降阶后的平衡方程即可求解节点位移。将节点位移向量代入整体平衡方程即可得到约束反力。例题★

5.求应变和应力以单元②为例，单元节点的编码为i=2，j=5，m=3，从已解的整体结构位移列阵中，找出此单元的节点位移值，即有故单元②的单元节点位移列阵为单元②的各节点坐标为可求得各有关系数为单元面积为例题★

5.求应变和应力单元②的应变矩阵为单元②的应变列阵为对于平面应力问题，也可根据求出单元的应力。例题★

5.求应变和应力4有限元软件ANSYS简介主要内容4.1ANSYS的功能模块4.2ANSYS的坐标系4.3ANSYS的单位制ANSYS部分功能列表如下：结构分析线性分析非线性分析材料、几何、接触动力学分析模态、谐分析、瞬态动力、谱分析、随机振动显式动力分析：ANSYSLS-DYNA热分析（稳态和瞬态热分析）流体分析(CFD,声学和其他流体分析)电磁场分析耦合场分析设计灵敏度及优化分析4.1ANSYS的功能模块ANSYSMultiphisical–最广泛的物理场耦合分析工具，将结构、热、流体、声学和电磁仿真功能组合为单一的软件产品。ANSYSMechanical–结构和热分析工具，包括完整的线性和非线性单元、材料范围从金属到橡胶，以及最全面的求解能力。ANSYSStructural–提供所有ANSYS非线性结构功能，以及线性功能。

ANSYSProfessional–用于结构/热分析项目的便宜、容易使用的程序。ANSYSDesignSpace–可在桌面上将想法概念化、进行设计和认证。ANSYSLS-DYNA–将LS-DYNA显式动力求解技术与ANSYS软件强有力的前/后处理融合在一起，可以分析如碰撞试验、金属成形、冲压成形和突发性失效等非线性现象。ANSYSEmag–用于低频电磁学分析。Workbench

模块：DesignModeler

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Workbench为仿真应用提供了独特的建模功能，包括详细的几何建模、CAD几何修整，以及概念建模工具。DesignXplorer–用于Workbench环境，在Workbench中执行DesignOfExperiments(DOE)仿真分析，包括CAD参数。DesignXplorerVT–强有力的变量化技术解决方案，给用户的的各个设计要点提供完整的FEA结果，从而对设计概念有一个广阔的视野。

ANSYSFatigue

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提供在给定的循环载荷条件下，对产品的预期寿命进行仿真的能力。Workbench和MechanicalAPDL的区别MechanicalAPDL是ANSYS的经典界面，通常所说的ANSYS指的就是这个经典界面；Workbench是一个CAE开发平台，便于与CAE软件进行相互交流；Workbench的界面操作系统更加友好和人性化，建模与网格划分比经典版方便，更适合工程设计人员，而MechanicalAPDL适合专业FEA人员；Workbench中网格划分只能是自由划分；从功能上来说，两者都能独立的完成有限元分析，但由于软件定位不同，MechanicalAPDL更像是一个求解器，功能强大；Workbench则更注重于不同软件之间的相互沟通，在有限元分析这一块的功能不及前者。两者的计算结果有小的差别，Workbench和经典版默认的算法是不同的，Workbench默认的PCG算法，而MechanicalAPDL是消元法。4.2ANSYS的坐标系整体坐标系(GlobalCoordinateSystems)局部坐标系(LocalCoordinateSystems)工作平面坐标系(WorkingPlaneCoordinateSystem）节点坐标系(NodalCoordinateSystems)单元坐标系(ElementCoordinateSystems)显示坐标系(DisplayCoordinateSystem)结果坐标系(ResultsCoordinateSystem)1)总体坐标系GlobalCSCartesianCS(CS,0)CylindricalCS(CS,1或CS,5)SphericalCS(CS,2)(a)Cartesian(CS,0)(b)Cylindrical(CS,1)(c)Spherical(CS,2)

(d)Cylindrical(CS,5)(X,Y,Zcomponents)(R,θ,Zcomponents)(R,θ,Φcomponents)(R,θ,Ycomponents)2)局部坐标系LocalCS局部坐标系是用户根据建模需要而定义的坐标系，可以是CartesianCS、CylindricalCS、SphericalCS当创建了局部坐标系后，分配给它一个坐标系号（必须是11或更大）用户可定义多个局部坐标系，但某一时刻只能有一个坐标系被激活。每当用户定义一个新的局部坐标系，这个新的坐标系就会自动被激活。3)工作平面坐标系WorkingPlaneCS工作平面坐标系是创建几何模型的参考平面(X,Y)，默认情况下，工作平面坐标系与总体坐标系相重合。为方便对模型进行平移、旋转或镜像等操作，可以改变工作平面坐标系的位置和方向。工作平面是由原点、二维坐标系、捕捉增量和显示栅格组成的无限平面。工作平面坐标系的编号是4。节点坐标系的作用和使用场合：定义节点自由度的方向节点输入数据（如约束自由度、荷载等）是以节点坐标系方向来表达的。定义节点结果数据的方向时间历程后处理（POST26）中节点结果数据（如自由度解、节点力等）也是以节点坐标系方向来表达的。4)节点坐标系NodalCS每个节点都有一个附着的坐标系，缺省情况下，节点坐标系平行于总体笛卡尔坐标系。节点坐标系可以通过菜单路径显示：UtilityMenu：Plotctrls→Symbols→NodalCS必要时可以转换节点坐标系的方向。例如：模拟一个斜的滚动支座；施加径向力；施加径向约束。(a)Defaultorientation-paralleltoglobalCartesianSystem(CS,0)(b)RotatedparalleltolocalcylindricalSystem(CS,11)旋转节点坐标系步骤：在圆的中心创建一个局部柱坐标系（CS，11）；选择圆上的节点，将节点坐标系旋转到该柱坐标下（Preprocessor→Move/Modify→RotateNodalCStoactiveCS），则节点坐标系的X方向指向径向，Y方向是周向。在该节点上施加的X向载荷即径向载荷，Y向载荷即周向载荷。(a)Defaultorientation-paralleltoglobalCartesianSystem(CS,0)(b)RotatedparalleltolocalcylindricalSystem(CS,11)…csys,0(激活直角坐标系为当前坐标系)nrotat,all(将节点坐标系切换到与当前坐标系方向一致)f,all,fx,100f,all,fy,100_______________________________________…csys,1(激活柱面坐标系为当前坐标系)nrotat,allf,all,fx,100f,all,fy,100(i)节点坐标系与直角坐标系一致时(ii)节点坐标系与柱面坐标系一致时5)单元坐标系ElementCS单元坐标系的作用：规定材料属性的方向（如复合材料的铺层方向）；规定所施加面力的方向；规定单元结果数据(应力或应变)的方向大多数单元坐标系的缺省方向遵循以下规则：线单元（如Link180）的x轴通常由单元的I节点指向J节点；壳单元(如Shell181)的x轴通常取I节点到J节点的方向，z轴过中心且与壳面垂直，其正向由单元的I、J和K节点按右手规则确定，y轴总垂直于x,z轴；二维和三维实体单元(如Plane182,Solid185)的单元坐标系总平行于整体直角坐标系。xyzxyLINK180SOLID185SHELL181xyz6)显示坐标系Display

CS显示坐标系对列表圆柱和球节点坐标非常有用(例如径向、周向坐标)。在缺省情况下，即使是在其它坐标系中定义的节点和关键点，列表都显示其总体笛卡尔坐标。改变显示坐标系会影响图形显示，显示坐标系若为柱坐标系，可能引起混乱。例如：在显示坐标系为笛卡尔坐标系的圆环，在显示坐标系为柱坐标下就变成一个矩形。除非用户有特殊需要，在以非笛卡尔坐标系列表节点坐标之后应将显示坐标系恢复到总体笛卡尔坐标系。改变显示坐标系操作：UtilityMenu/Workplane/ChangeDisplayCSto7）结果坐标系通用后处理器（POST1）中的结果是按结果坐标系进行表达的。缺省情况下，结果坐标系平行于总体笛卡尔坐标系。在POST1中要显示径向和环向应力，结果坐标系需要旋转到适当的坐标系下。若设置结果坐标系为计算所用坐标系“as-calculated”，则后续的等值图、列表、拾取查询等，将显示节点和单元坐标系下的结果值。（1）自由度解和支反力为节点坐标系下的结果；

（2）应力、应变等为单元坐标系的结果。/prep7et,1,plane42mp,ex,1,1e5mp,prxy,1,0.3local,11,1,17,0n,30,6,0n,35,6,90fill,30,35ngen,3,10,30,35,1,2,0,0csys,11e,30,40,41,31egen,5,1,1egen,2,10,1,5d,30,alld,40,alld,50,alld,35,alld,45,alld,55,allesel,allsfe,all,2,pres,,100fini/solusolve局部坐标系采用柱坐标系示例/post1rsys,0（将直角坐标系置为结果坐标系）plnsol,s,x（显示x方向应力云图）—————————————————rsys,11（将局部坐标系11置为结果坐标系）plnsol,s,x（显示x方向应力云图）X方向为径向X方向缺省情况下，结果坐标系为整体直角坐标系一般情况下，环形结构需要得到柱坐标系下的显示结果激活坐标系默认为总体直角坐标系。UtilityMenu>WorkPlane>ChangeActiveCSto改变激活坐标系为：总体直角坐标系[csys,0]总体圆柱坐标系[csys,1]总体球坐标系[csys,2]工作平面[csys,4]或用户定义的局部坐标系[csys,n]用于几何输入和生成，以及旋转逻辑

在定义节点或关键点时，不管哪个坐标系是激活的，ANSYS界面上都将坐标显示为X,Y,Z,如果激活的不是笛卡尔坐标系，应将X,Y,Z理解为柱坐标中的R,θ,Z或球坐标系中的R,θ,φ4.3ANSYS的单位制ANSYS不规定也不检查用户所使用的物理量的单位，而是由用户自己确定所使用的单位，只要在一个问题中各物理量的单位统一、协调就可以。ANSYS不进行单位转换，只接受输入的所有数据，而不管数据的单位是否一致，以及数据是否有效。物理量可分为基本物理量和导出物理量。基本物理量有：质量、长度、时间和温度。导出物理量有：面积、体积、速度、加速度、弹性模量、压力、应力、导热率、比热、热交换系数、能量、热量、功等。选定基本物理量的单位后，可根据公式得到导出物理量的单位。基本物理量：质量kg长度m时间s导出物理量单位密度ρ=kg/m3=10-3g/cm3力F=kg·m/s2=N弹簧