山东省枣庄市薛城区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

数学试题亲爱的同学：这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题．预祝你取得好成绩！请注意：1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里．2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写．3．考试时，不允许使用科学计算器．4．试卷分值：120分．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分．1.有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的是（）A.① B.② C.③ D.④答案：C解析：解：，故①是错误的；，故②是错误的；，故③是正确的；，故④是错误的；故选：C2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解：如图所示，，光线在空气中也平行，，.，，..故选：C.3.小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（）A.5，10 B.5，9 C.6，8 D.7，8答案：C解析：数列5，5，6，7，8，9，10的众数是5，中位数是7，去掉两个数后中位数和众数保持不变，据此逐项判断：A项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故A项错误；B项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故B项错误；C项，去掉6和8之后，新数列的中位数和众数依旧保持不变，故C项正确；D项，去掉7和8之后，新数列的中位数为6，发生变化，故D项错误，故选：C．4.进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期．细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染．今年支原体感染较为突出，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施．支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：，故选：B．5.现有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：A解析：解：，若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为7张．故选：A．6.如图，与位于平面直角坐标系中，，若，反比例函数恰好经过点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解：过点作轴，垂足为，，，，，，，在中，，即，，在中，，即，，，即，，点，．故选：A．7.如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（）A.2.5 B.2 C.3.5 D.3答案：A解析：解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中点，∴S△AED==6，∵G是AD的中点，∴S△EGD==3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故选：A．8.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，故选：D．9.如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：解：，，．，．，．，，，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，抛物线过点，，解得，，，．故选：C．10.如图，在矩形中，，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是④线段长度的最小值是；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是________．（写出所有正确判断的序号）答案：①②③解析：解：连接，∵矩形中，，，∴，∴，∴，故①正确；由折叠的性质知是的垂直平分线，∴，∴，∴，故②正确；由折叠的性质知，∵，∴点D、G、F三点共线，连接，在和中，，，∴，∴，故③正确；∵，∴点A、G、B都在以E为圆心，3为半径的圆上，，∴当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，但F是线段上的一点，∴D、G、E三点不可能共线，故④不正确；当点G落在矩形的对角线上时，由折叠性质知，∵E是的中点，由①知，∴，，∴，∴是等边三角形，∴的长度是3；由于F是线段上的一点，则点G不会落在矩形的对角线上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．二、填空题（每小题3分，共18分）11.若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是_______．答案：解析：解：∵∴∴解得∴有实数根，则，解得且当时，，解得，也满足有实数根综上：的取值范围是．故答案为：，12.今年植树节，枣庄某中学九年级一班45名同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵．已知这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问该中学至少购买了甲树苗_______棵．答案：80解析：解：∵该班的学生人数为45人；设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据题意得：，解得：，的最小值为80．答：至少购买了甲树苗80棵．故答案为：8013.如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是_____．答案：解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．AD＝BC，设AD＝3a，则AE＝a，∵DE∥BC，∴△EDF∽△CBF，∴故答案为．14.点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于_______．答案：解析：解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∴，把代入，得，∴，∴当时，取最大值，最大值为，故答案为：．15.现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加______平方米．答案：解析：解：根据题意，圆形桌面如图所示，设圆心为，连接，过点作于点，则，是⊙的直径，，，，和平行且相等，，（米），，，，，，，，，桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（平方米），故答案为：．16.如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若，，则的长______．答案：解析：解：如图，过点F做于点H，正方形，，，，，，，，，，，，，故答案为：．三、解答题（本题共8道大题，满分72分）17.计算（1）（2）答案：（1）（2）解析：小问1：原式．小问2：原式．18.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？答案：（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；（2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．解析：小问1：解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，则，答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；小问2：解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，由题意得：，∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴，解得：，∴w与m的函数关系式为；②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，∴当时，w最大，最大值，则，答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．19.某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：活动任务：测量旗杆的高度步骤一：设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．步骤二：准备测盘工具筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角步骤三：实地测量并记录数据方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下：测量过程：小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度．求解过程：由测量知，，，．法线，，①______，．，即．②______（）．故旗杆的高度为③______．方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度．（1）补全小明求解过程中①②③所缺的内容；（2）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，）答案：（1）①（或）；②；③（2）旗杆的高度约为解析：小问1：解：由测量知，，，，法线，，，，，，即，（），故旗杆的高度为．故答案为：（或）；；；小问2：解：由题知，，，，，，，，，即，解得（），（），，旗杆的高度约为．20.中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下：收集数据：随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下：109968969796789101086868771097861079109107106878991088678910整理分析：数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据上述信息，解答下列问题：（1）将条形统计图和扇形统计图补充完整．（2）简要说明这50名学生知识竞赛成绩的分布情况．（写出一条即可）（3）若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数．（4）学生们通过调查了解到，截至2023年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率．答案：（1）见解析；（2）得9分的人最多，得6分的人最少；（3）240名；（4）解析：小问1：解：，，补全条形统计图和扇形统计图如下：小问2：解：由统计图可知，得9分的人最多，得6分的人最少；（答案不唯一）小问3：解：（名），答：估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数为240名；小问4：解：画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能得情况，其中所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的情况有2种，所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率为．21.如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；（2）求直线，曲线的函数表达式；（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．答案：（1）见解析（2）直线的函数表达式，曲线的函数表达式（3）解析：小问1：根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，∴，，根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，小问2：设线段的解析式为，把，代入得，，解得，，∴，设曲线的解析式为，把代入得，，，∴；小问3：设，则，，∴，，∵∴，∴，∴，或（舍去），∴．故答案为：．22.如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．（1）求证：是的切线；（2）若是的中点，，．①求的长；②求的长．答案：（1）见解析；（2）①；②解析：（1）证明：如图，过点作于点，∵是菱形的对角线，∴，∵，，∴∠OEB=∠OMB=90︒，∵OB=OB，∴△OEB≌△OMB（AAS）∴，∴是的切线．（2）解：①如图，∵是的中点，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴由弧长公式，得到的长：．②方法一：如图，过点作于点，∵，∴，∴，∴，∵DG//NE，DN//GE，∠GEN=90︒∴四边形是矩形，∴，BN=3，OE=4，DN=6，在菱形中，AD=AB，在中，设，∴，∴．方法二：如图，过作于点，∵，，，∴，，，，∴．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；（3）如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．答案：（1）抛物线的解析式为；（2）有最大值；