2024-2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第一章第14节洛必达法则教师版

洛必达法则学问与方法在有的问题中，我们要探讨函数的图象，但函数存在没有定义的点，代入解析式计算函数在该点处的函数值时，会出现诸如、的不定式，从而无法用初等的方法探讨函数在该点旁边的图象走势.例如，在探讨函数在旁边的图象时，初等代数的方法就会显得手足无措，此时，我们须要用到高等代数中的一个重要定理：洛必达法则.1．洛必达法则：设函数与在上存在导数，，且或，，其中a为有限值或无穷大，则（其中表示从的右侧无限靠近，类似的，表示从的左侧无限靠近）类似的，对于左侧极限，也有相应的结论：洛必达法则给了我们一种求极限的简便方法，在中学数学的范畴，一般来说，洛必达法则的条件都能够满意，因此，假如遇到型、型的不定式，就可以把分子分母分别求导，再求极限，所得的结果与原来的极限值是相等的.下面我们来考虑时，式的极限值，留意到该式的分子，分母，属于型的不定式，分子分母在旁边都能求导，所以两者相除所得的极限值等于分子分母分别求导之后再相除求极限所得值，即.假如我们要作出函数的图象，可以先求导探讨其单调性，再作草图.易求得，令，则，明显，，所以在上单调递增，在上单调递减；从而，当且仅当时取等号，故，所以在和上均为减函数，虽然在处没有定义，但我们已经求出了它在时的极限，再求出当、时的极限值，，据此就可以作出函数的草图，如下图所示.洛必达法则在高等代数中的应用特别广泛，在中学数学里，我们也可以用它来解决一些简洁的求极限问题.下面通过一些实例来感受洛必达法则的作用.提示：①若用了一次洛必达法则后，仍旧满意洛必达法则的运用条件，那么可以再用洛必达法则，直到不满意洛必达法则的运用条件为止；②在解答题中运用洛必达法则，存在被扣分的风险，所以本节的例题和强化训练，我们都只选取小题.解答题中运用洛必达法则的方法和小题中类似；③同学们提前了解洛必达法则，主要目的是学习一个新的探讨函数的工具，能够站在更高处，更为透彻地看待问题，不应当是为了用它投机取巧，反而忽视了中学数学中本该重点学习的初等方法.典型例题【例1】若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________.【解析】明显，所以0是函数的一个零点，从而当时，应还有1个零点，此时，，设，则，令，则，，所以，，从而在上，在上，又，所以恒成立，从而在R上，而，所以当时，，从而，当时，，从而，故在和都是增函数，由洛必达法则，，，所以函数的大致图象如图所示，由图可知当且仅当且时，直线与函数的图象有1个交点，此时共有2个零点，所以实数a的取值范围是.【答案】【例2】若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】当时，不等式对随意的实数a都成立，当时，不等式等价于,令，则，令，则，所以在上，又，所以，从而，所以在上，由洛必达法则，，所以要使恒成立，只需，故实数a的取值范围是.【答案】强化训练1.（★★★★）若函数有且仅有3个零点，则实数α的取值范围是________.【解析】明显是函数的1个零点：当且时，，所以共有3个零点等价于直线与函数（且）的图象有2个交点，令（且），则，令，则令，则,所以，，从而在上，在上，又，所以恒成立，从而，故在上，因为，所以当时，，从而；当时，，从而，所以在上，在上，由洛必达法则，，，，所以函数的大致图象如图所示，由图可知，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点，故a的取值范围是.【答案】2.（★★★★）若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】明显当时，不等式对随意的a都成立，当时，，令，则恒成立，，令，则，，所以在上，又，所以，从而在上，结合知，故，所以在上，由洛必达法则，，从而要使恒成立，需满意.【答案】3.（★★★★）若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】明显当时，不等式对随意的a都成立，当时，，从而要使恒成立，首先，恒成立，所以①，此时，，设，则，设，则，设，则，所以在上，又，所以恒成立，从而，故在上，因为，所以恒成立，从而，故在上，由洛必达法则，，所以当且仅当时，恒成立，结合①可得实数a的取值范围是.【答案】4.（★★★★）不等式对随意的成立，则实数a的取值范围是________.【解析】，令，则，令，则，，易证当时，，所以当时，，从而，故在上，又，所以恒成立，故在上，结合可得恒成立，