重难点03全等三角形（4种模型2种添加辅助线方法）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

重难点03全等三角形（4种模型2种添加辅助线方法）

题型一：一线三等角模型

题型二：手拉手模型

题型三：半角模型

题型四：旋转模型

题型五：倍长中线法

题型六：截长补短法

u技巧方法

题型一：一线三等角模型

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）

常见的两种图形:

二-------------1/)

题型二：手拉手模型

【基本模型】

一、等边三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有.：

①ABCD^AACE；②BD_LAE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分/BFE；

图3

题型三：半角模型

过等腰三角形顶点两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一

边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线

段之间的数量关系。

解题技巧:

在图1中,△AEB由4AND旋转所得,可得△AEM丝△AMN,

，BM+DN=MN

NAMB=NAMN

AB=AH

△CMN的周长等于正方形周长的一半

在图2中将△ABC旋转至△BEF,易得△BED^ABCD同理得到边角之间的关系；

总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等一得到相关结论.

题型四：旋转模型

一、奔驰模型

旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类

题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点：旋转的本质是把分散的条件集中化，从而

解决问题

二、费马点模型

费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.

最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而

来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.

题型五：倍长中线法

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线

延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

在4ABC中AD是BC边中线

•E

延长AD至IJE,使DE=AD,连接BE

E

作CF_LAD于F,作BE_LAD的延长线于E连接BE

延长MD到N,使DN=MD,连接CD

题型六：截长补短法

截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一

直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思”即截长和补短.

截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段，证剩下的那一段等于另外一段较

短的线段.当条件或结论中出现济炉。时，用截长补短.

1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中

那一条线段相等；

2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线

段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之

与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常

用.

BTD

*F.*F图］

F*G*F图2

*A*H图3

如图1,若证明线段AB,CD,所之间存在E六AB+CD,可以考虑截长补短法.

截长法：如图2,在h'上截取EG=AB,在证明诋切即可；

补短法：如图3,延长四至〃点，使小口再证明力斥旗即可.

U能力拓展

题型一：一线三等角模型

一、填空题

1.（2023春・全国•七年级专题练习）如图，AE1AB,且=且BC=C£）,请按照图中所

标注的数据计算FH的长为.

【答案】18

【分析】由4E_LA8,EF，"7,BG_L4G,可以得到Z£4F=WG,而AE=AB,NEK4=NAGB,由此可以

证明.EFA^ABG,进而得出aBGC^.DHC,即可得出FH.

【详解】解：：AE_L43且AE=A8,EFVFH,BGA.FH,

：.NEAB=乙EFA=ZBGA=90°,

ZE4F+ZBAG=90°-ZABG+ZBAG,

：.NEAF=ZABG,

：.AE=AB,ZEFA=ZAGB,ZEAF=ZABG,

空ABG(AAS),

AF=BG=3,AG=EF=S,

同理证得..BGC^.DHC得GC=DH=4,CH=BG=3,

故切=/^+AG+GC+C〃=3+8+4+3=18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是根据全等三角形的对应边相等解答.

2.(2023春♦全国♦七年级专题练习)如图所示，JLBC中，AB=AC,ZBAC=90°.直线/经过点A,过点8

作BEL于点E,过点C作CF_L/于点F.若BE=2,CF=5,则砂=.

【答案】7

【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案;

【详解】解：CF±l,

：.ZA£B=ZCM=90°.

，ZEAB+ZEBA=90°.

又•.•/B4C=90°,

ZEAB+ZCAF=90°.

ZEHA=ZCAF.

在AAEB和△(?心中

VZAEB=ZCFA,NEBA=/CAF,AB=AC,

：.AAEB^ACM.

：.AE=CF,BE^AF.

：.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

'：BE=2,CF=5,

：.EF=2+5=7；

故答案为：7.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的

证明三角形全等.

二、解答题

3.(2023春•全国•七年级专题练习)(1)如图1,已知：在ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,直线机经过

点A,/直线加，CEL直线加，垂足分别为点£>、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AA8C中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

ZBD4=NA£C=NB4C=a,其中a为任意钝角，请问结论£>E=8O+CE是否成立？如成立，请你给出证

明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析

【分析】(1)根据AAS可证明=4)3丝_田可得=AD=CE,可得。E=8O+CE.

(2)由已知条件可知Nfl4Z)+NC4E=180。-。，ADBA+^BAD=\W-a,可得/DBA=NC4£,结合条件可证

明同(1)可得出结论.

【详解】证明：（1）如图1,

C

图1

♦.•80工直线〃?，CE_L直线

・・・ZBZM=ZCE4=90°,

,/NE4c=90。，

・・・ZeAD+ZC4£=90o,

■:ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABDf

在.4必和一CEA中，

/BDA=/CEA

,ZCAE=ZABD

AB=AC

：.AA£>B^ACEA(AAS),

:・AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)如图2,

C

图2

•:/BDA=/BAC=a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\^-a,

・・・ZDBA=ZCAEf

在一ADB和,CE4中，

'/BDA=NCEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

：.的△CEA(AAS),

:・AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD^rCE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到AD=CE是解题

的关键.

4.(2023春・全国•七年级专题练习)(1)观察理解：

如图1,NAC8=90。，AC=BC,直线/过点C,点A,8在直线/同侧，BDVl,AE±lf垂足分别为。，E,

求证：2AEgACDB.

图1“

(2)理解应用：

如图2,过AA8C边4B、AC分别向外作正方形ABOE和正方形ACFG,AH是8c边上的高，延长“4交

EG于点/.利用(1)中的结论证明：/是EG的中点.

图2

(3)类比探究：

①将图1中4AEC绕着点C旋转180。得到图3,则线段ED、EA和BD的关系:

图3

②如图4,直角梯形ABC。中，AD//BC,ABLBC,AO=2,BC=3,将腰0c绕。点逆时针旋转90。至

DE,AAED的面积为.

图4

【答案】（1）见解析；（2）见解析；⑶®ED=EA-BD；②1

【分析】（1）根据同角的余角相等可得/A=NBC£>,再利用AAS证得△4EC四△COB,即可；

（2）分别过点E、G向印作垂线，垂足分别为"、N,由（1）可证得△AANG^ACHA,

从而得到EM=GM可得到△EM/丝△GN/,从而得到E/=/G,即可求证：

（3）①由（1）得：AAEC注ACDB,可得CE=BD,AE=CD,即可；②过点C作CP,A。交4。延长线于

点P,过点E作EQLAO交AO延长线于点。，根据旋转的性质可得根据题意得：ZCDE=90°,CD=DE,

再由（1）可得△CDPWADEQ,从而得到。P=EQ,然后根据两平行线间的距离，可得AP=8C,进而得到

PD=1,即可求解.

【详解】（1）证明：AE±l,

：./AEC=/8OC=90。，

又,:ZACB=90°

：.ZA+ZACE=NACE+/BCD=90°,

：.ZA^ZBCD,

在△4£。和4CO8中,

ZAEC=/CDB

<ZA=/BCD

AC=BC

：./\AEC^/\CDB(A4S)；

(2)证明：分别过点从G向H/作垂线，垂足分别为M、N,

由(1)得：△E'MAg/XAHB,XANG"/\CHA,

:・EM=AH,GN=AH,

:・EM=GN,

在〃和△GN/中，

NEIM=/GIN

<NEMI=NGNI=90。

EM=GN

:,/\EM哙/\GNI(AAS)；

：.EI=IG,

即/是EG的中点；

(3)解：①由(1)得：4AEC"ACDB,

:・CE=BD,AE=CDf

,:ED=CD-CE,

：.ED=EA~BD；

故答案为：ED=EA-BD

②如图，过点C作CAQ交A。延长线于点P,过点E作EQLAQ交延长线于点Q,

根据题意得：ZCDE=90°,CD=DE,

由(1)得：△CDP出4DEQ,

：.DP=EQf

直角梯形ABC。中，AD//BC,AB±BC,

：.AB.LAD9

：.AB//CP,

：・BC人CP,

•；BC=3,

：.AP=BC=39

\'AD=2f

：.DP=AP-AD=\,

：.EQ=\f

...△4。后的面积为，4£)?硒，仓也1=1.

22

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，平行间的距离，熟练掌握全等三角形的

判定和性质，图形的旋转的性质，平行间的距离，并利用类比思想解答是解题的关键.

5.(2023春•全国•七年级专题练习)在直线机上依次取互不重合的三个点。，A,E,在直线机上方有AB

=AC,且满足N8£)A=ZAEC=NBAC=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段OE,BD,CE之间的数量关系是

(2)如图2,当0VaV180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由.

【答案】(1)DE=BD+CE.

(2)£>E=8C+CE仍然成立，证明见解析

【分析】(1)由NBD4=NBAC=NAEC=90。得到N8AO+NEAC=NBA£>+/QBA=90。，进而得到NQBA

-ZEAC,然后结合A8=AC得证AOBA丝△EAC,最后得到。E=8Z)+CE；

(2)由/BO4=/BAC=/AEC=a得到/BA£>+/EAC=Na4»+N£>BA=180。-a,进而得到/O&4=

NEAC,然后结合AB=AC得证△/阳4丝△£■£,最后得至ijOE=8£)+CE.

【详解】(1)解：DE=BinCE,理由如下，

♦；N3OA=NB4C=/AEC=90。，

二ZBAD+ZEAC=ZBAD+ADBA=90°,

；.NDBA=NEAC,

,：AB=AC,

：.^DBA^/\EACCAAS),

：.AD^CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)OE=B£>+CE仍然成立，理由如下，

,//BDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=ISO°-a,

.'.ZDBA=ZEAC,

"：AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(/US),

：.BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE=BD+CE-,

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练

掌握全等三角形的判定与性质.

6.(2023春•全国•七年级专题练习)已知，在4?C中，AB=AC,D,A,E三点都在直线,〃上，且

DE=9cm,NBDA=ZAEC=NBAC.

(1)如图①，若4?4AC,则30与AE的数量关系为,CE与AO的数量关系为

(2)如图②，判断并说明线段30,CE与DE的数量关系；

(3)如图③,若只保持NBDA=NAEC,BD=EF=1cm,点A在线段OE上以2cm/s的速度由点。向点E运动,

同时，点C在线段E尸上以mm/s的速度由点E向点尸运动，它们运动的时间为Ks).是否存在x,使得

与」E4C全等？若存在，求出相应的f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)3O=AE,CE=AD

(2)DE=BD+CE

928

(3)/=1,=2ggr=-,x=--

x49

【分析】(1)利用平角的定义和三角形内角和定理得NC4E=NAB。，再利用A4S证明A3。丝.C4E,得

BD=AE,CE=AD；

(2)由(1)同理可得△ABO乡△C4E,得BD=AE,CE=ADf可得答案；

(3)分一D4fig_EC4或△ZMB&4c两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题.

【详解】(1)解：VZBDA=ZAEC=ZBAC,

:.NBAD+NCAE=NBAD+ZABD,

:.NCAE=ZABD,

VZBDA=ZAEC,BA=CAf

：._ABD^C4E(A45),

:・BD=AE,CE=AD,

故答案为：BD=AE,CE=AD；

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得.A3。丝iC4E(A4S),

:.BD=AE,CE=ADf

：.DE=BD+CE；

(3)存在，当_DAB丝_EC4时，

/.AD=CE=2c777,BD-AE=1cm,

/.r=1,此时x=2；

当△D4B0时,

/.AD=AE=4.5cm,DB=EC—7cm,

.AD9-928

♦・，==-X=/-：=,

24t49

928

综上：f=l,x=2^Z=-,x=—

49

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解

题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想.

7.（2023春•全国•七年级专题练习）已知.ABC为等腰三角形，ZACB=90°,直线DE过点、C（不经过点AB）,

过点A作45_LOE于点D,过点3作BE工DE于点、E.

（D如图1,当点AB位于直线。£的同侧时，判断A。与CE的大小关系，并说明理由;

图1

（2）如图2,若点A8位于直线的两侧,

①（1）的结论是否还能成立，请说明理由;

②设与A8交于点尸，当N£BF=22.5°时，判断物与。尸是否相等，并说明理由.

【答案】（1）AD=CE；理由见解析

（2）①成立，理由见解析；②BE=FD,理由见解析

【分析】（1）根据“AAS”证明△">€£△88即可得出结论;

（2）①仍然根据“AAS”证明△4DC/ACEB即可得出结论；

②根据全等三角形的性质以及题意证明AC=A产，进而得出CO=FD,则结论可得.

【详解】(1)解：AD=CE,理由如下：

•・•_A5C为等腰三角形，

:.AC=CB,

VAD1.DE,BEJ.DE,

：.ZADC=NCEB=900,

,/ZACB=90°,

:.ZACD+ADAC=ZACD+ZECB=90°,

・・・/DAC=/ECB,

在△ADC和一CEB中，

NDAC=NECB

<ZADC=/CEB,

AC=CB

：.^ADC空CEB(AAS),

,AD=CE；

(2)(2)①成立，

同理可得..4OCg.CE8(AAS),

・・・AD=CE；

②BE=FD,理由如下：

VZ£BF=22.5°,ZBEF=90。,

J4BFE=ZAFC=90°-22.5°=67.5°,

VAC=CB,ZACB=90°,

:.ZCAB=ZCBA=45°,

：.ZACF=180°-45°-67.5°=67.5°,

即NAC尸=NA尸C,

•/AD1.DE,

：.CD=FD,

:AADC^ACEB,

・•・CD=BE,

・•・BE=FD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定马性质，熟练掌握“一线三等角”模型证明

全等是解本题的关键.

8.（2023春・全国•七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列

问题：

证：BC=AE.

［模型应用］如图2,人后，43且越=48,BCLCD且3c=8,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围成的图形的面积为.

［深入探究］如图3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC_LAF于点尸，DE

与直线版交于点G.若8C=21,A尸=12,则△AOG的面积为.

【答案】［模型呈现］见解析；［模型应用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈现］证明A48C丝根据全等三角形的对应边相等得到8C=AE；

［模型应用］根据全等三角形的性质得到”=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根据梯形

的面积公式计算，得到答案；

［深入探究］过点。作£>P，AG于P,过点E作E。，AG交AG的延长线于Q,根据全等三角形的性质得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,证明一短PG且“EQG,得到PG=GQ,进而求出AG,根

据三角形的面积公式计算即可.

【详解】［模型呈现］证明：：/皿^90。，

二ZBAC+ZDAE=9Q°,

•；BC1AC,DE1AC,

：.ZACB=ZDEA=90°,

：.ABAC+ZABC=90°,

：.ZABC=ZDAE,

在一ABC和ZME中,

ZABC=ZDAE

<ZACB=ZDAEf

BA=AD

.・.，ABC-DAE(AAS),

：.BC=AE-

［模型应用］解：由［模型呈现>可知，..AKP纥AAGpCBGgqDC",

:.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

故答案为：50；

［深入探究］过点。作DPAG于P,过点E作EQLAG交AG的延长线于Q,

由［模型呈现］可知，.A五修..DPA-A”•四一石QA,

:.DP=AF=\29EQ=AF=\2,AP=BF,AQ=CFf

在ZkOPG和，.七QG中，

NDPG=ZEQG

<ZDGP=4EGQ,

DP=EQ

.。尸G四八EQG(AAS),

・・・PG=GQ,

,:5。=21,

.・.AQ+AP=2\,

:.AP+AP+PG+PG=21,

:.AG=AP+PG=i0.59

・，.SADO='x10.5x12=63,

2

故答案为：63.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题

的关键.

9.(2023春•七年级单元测试)在ABC中，ZACB=90",AC=BC,直线MN经过点C,且于。,

BELMN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①.AC哈一CEB；

②DE=AD+BE.

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问OE、AD,踮具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

【答案】(1)①见解析；②见解析

(2)见解析

⑶DABE—AD,证明见解析

【分析】(1)①由垂直关系可得/1=/3,则由AAS即可证明.4)CwCE3；②由.ADCwCEB的性质及

线段和的关系即可证得结论；

(2)由垂直可得N1=NC8E,则由AAS可证明ACD'CBE,由全等三角形的性质及线段差的关系即可证

得结论；

(3)由垂直可得NA8=NC3E,则由AAS可证得..AC。三C8E,由全等三角形的性质及线段的和差关系

即可得到三线段间的关系.

【详解】(1)如图

图1

①：ZADC=ZAGS=90°,

・•・Zl+Z2=Z3+Z2=90°,

JZ1=Z3.

又・；AC=BC,ZADC=ZCEB=90°f

:.ADCmCEB.

②・・・一ADCMCEB,

；・CE=AD,CD=BE,

：.DE=CE+CD^AD+BE.

(2)VZACB=ZCEB=90°,

.•・Zl+Z2=ZCj?£+Z2=90o,

：.Z1=ZCBE.

又.：AC=BC,ZADC=NC£B=90。，

:•一ACD'CBE,

：.CE=AD,CABE,

：.DE=CE-CD=AD-BE.

图2

(3)当MN旋转到图3的位置时，AD.DE、BE所满足的等量关系是。E=8£-AD(或

AD=-BE-DE9BE=AD+DE等).

,?ZACB=ZCEB=90°f

ZACD+NBCE=NCBE+NBCE=90°,

ZACD=NCBE,

XVAC^BC,ZADC^ZCEB^O0,

:.一ACDjCBE,

：.AD=CE,CD=BE,

:.DE=CD-CE=BE—AD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键.

10.(2023春・全国•七年级专题练习)在直线加上依次取互不重合的三个点2AE,在直线用上方有

AB=AC,且满足NB£M=ZAEC=Zfi4C=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段。E8Q,CE之间的数量关系是.

(2)如图2,当0<&<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由;

(3)应用：如图3,在ABC中，N54C是钝角，AB=AC,/BAD<NCAE,NBDA=NAEC=NBAC,直线机

与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,,ABC的面积是12,求一丽与ZVICE的面积之和.

【答案】(1)DE=BD+CE

(2)Z)E=BD+CE仍然成立，理由见解析

(3)Z\FBD与AACE的面积之和为4

【分析】(1)由/BOA=/8AC=/AEC=90°得到/BA£>+/EAC=NBAZ)+/。&4=90°,进而得到/

=ZEAC,然后结合A8=AC得证△。区4段△£?!(?,最后得至I」OE=BO+CE；

(2)由NB/)A=NBAC=/AEC=a得到N8AO+/E4C=N8AO+/O8A=180°-a,进而得到N/)84=

ZEAC,然后结合A8=AC得证△DBA丝△E4C,最后得到。E=BD+CE；

(3)由NBAO>/CAE,ZBDA=ZAEC^ABAC,得出/C4E=NA8。，由A4s证得△AOB丝△C4E,得

出SA48O=SZ\CE4,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S4ABB即可得出结果.

【详解】(1)解：DE=BD+CE,理由如下，

,/ZBDA=ZHAC=N4EC=90°,

:・NBAD+NEAC=NBAD+/DBA=90°,

：.ZDBA=ZEACf

9：AB=ACf

(AAS),

：.AD=CE,BD=AEf

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

・・・ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAEh-ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

；・NDBA=NEAC,

*：AB=ACf

：./\DBA^/^EAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

.・.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：。：/BADV/CAE,ZBDA=ZAEC=ZBACf

：.ZCAE=/ABD,

在△A8。和△CAE中，

ZABD=ZCAE

</BDA=ZCEA,

AB=AC

：./XABD^ACAE(AAS),

:,S4ABD=S4CAE,

设△ABC的底边8C上的高为h,则△48尸的底边8b上的高为h,

：.S/\ABC=^BC*h=\29SLABF=gBF・h,

•:BC=3BF,

ASAABF=4,

SdABF=S4BDF+SAABD=SAFBDtS/\ACE=4,

.,・△五B。与△ACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌

握全等三角形的判定与性质.

11.(2023春•全国•七年级专题练习)如图，NABC=90,E4_L4B于点A,点。在直线A8上,

(1)如图1,若点。在线段上，判断。尸与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点。在线段A8的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，并说明理由.

【答案】(1)OF=OC,DFVDC-,理由见解析

(2)成立，理由见解析

【分析】(1)先证△AO尸丝△BCD,得Z>F=OC,^ADF=ABCD,再证/尸3c=90。即可得垂直;

(2)先证△ADFg△8?£>,WDF=DC,以DF=NBCD,再证NEDC=90。即可得垂直.

【详解】(1)解：VZABC=90,FAYAB,

：.ZABC=ZDAF=90,

AF=BD

在△AQF与&BCD中"NDAF=ZABC,

AD=BC

：.△ADF^ASCD,

ADF=DC,ZADF=ZBCD,

；ZBDC+ZBCD=9O°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,即DFLDC.

(2)VXABC=90,FALAB,

：■ZDBC=ZDAF=90,

\AF=BD

在与"CZ）中^DAF=ZDBC,

\AD=BC

.MADF迫ABCD,

：.DF=DC,ZADF=ABCD,

,：ZBDC+ZBCD=90°,

，ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,即DF1DC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等.

12.(2023春・全国•七年级专题练习)在_A8C中，ZACB=90°,AC^BC,直线MN经过点C,且ADJLMV

于。，BELMN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①人位心会②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问。E、AD.8E具有怎样的等量关系？请写出这个

等量关系，不必证明；

(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD.BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关

系，不必证明.

【答案】(1)①见解析；②见解析

⑵AD=BE+DE

(3)BE=AD+DE

【分析】(1)①用AAS证明△AOCgZXCEB即可；

②根据全等三角形的性质，得出AD=CE,BE=CD,进而得出OE=8石+CD；

(2)先证明一ACZ)，.CRE(AAS),可得AD=CE,BE=CD,进而得出AZ>=C£>+。七=BE+OE；

(3)先证明AC。乌..CRE(AAS),可得AO=CE,BE=CD,进而得出BE=CD=CE+DE=AD+DE.

【详角星】(1)证明：①的V,BE1MN,

：.ZADC=ZBEC=90°f

丁ZBC4=90°,

:.ZACD+/BCE=90°,/BCE+CBE=90°,

:.ZACD=ZCBE,

在八4。。和一C£B中，

ZADC=ZCEB=90°

•/]ZACD=ZCBE,

AC=BC

：.Z\ADC^ACEB(AAS)；

②:AADC经ACEB,

：.AD=CE,BE=CD,

：.DE=DC+CE=BE+AD.

(2)解：AD=BE+DE.

VAD1MN9BE1MN,

：.ZADC=/BEC=90。，

•.*ZACB=90°,

・・・ZACD+/BCD=90°,ZBCD+/CBE=90°,

:.ZACD=NCBE,

在-AC£>和△C3E中，

ZADC=ZCEB

9

：\^ACD=ZCBEt

AC=BC

・・・_A8空C3£（AAS）,

:・AD=CE,BE=CD,

：.AD=CD+DE=BE+DE.

（3）解：BE=AD+DE.

VADIMN,BE1MN,

：.ZADC=/BEC=90。,

•/ZACB=90°,

JZACD+/BCD=90°,/BCD+ZCBE=90°,

:.ZACD=4CBE,

在..AC£>和△C3E中,

/ADC=/CEB

9：\ZACD=ZCBE,

AC=BC

：...ACD^.,CBE（AAS）,

/.AD=CEfBE=CD,

：.BE=CD=CE+DE=AD+DE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质.解题的关键熟练掌握三角

形全等的条件，证明△ACD空ACB石.

题型二：手拉手模型

一、单选题

1.（2023春,全国•七年级专题练习）如图，。为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在4E同侧分别作

等边三角形A3C和等边三角形CZ）£AO与3E交于点。，AO与8C交于点尸，BE与CD交于点Q,连结

PQ.以下结论错误的是（）

ACE

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC^ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,得出A正确；根据△CQBg/XC%(ASA),得出B

正确；由△AC。丝得NCBE=NZMC,力口之NACB=N£)CE=60。，AC=BC,得到ACQB^ACPA(ASA),

再根据NPCQ=60。推出APCQ为等边三角形，又由/PQC=NQCE,根据内错角相等，两直线平行，得出C

正确；根据/C£>E=60。，ZDQE=ZECQ+ZCEQ=6Q°+ZCEQ,可知/。。用NCDE,得出D错误.

【详解】解：：等边AABC和等边ACOE,

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NOCE=60。，

,ZACB+ZBCD=ZDCE+ABCD,即NAC£>=NBCE,

在△AC£>与△8CE中，

AC=BC

-ZACD=NBCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

:.NCBE=NDAC,

又：ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,即/ACQNBCQ,

又•.•AC=8C,

在^CQ8与△CPA中，

ZACP=ZBCQ

,AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

：./\CQB^/\CPA(ASA),

:.CP=CQ,

又•；NPC0=6O。可知△PCQ为等边三角形，

，NPQC=NDCE=60°,

：.PQ//AE,

故C正确，

:.AP=BQ,

故B正确，

'：AD=BE,AP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

,：NDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

/.ZDQE^ZCDE,故D错误；

NACB=NDCE=60。,

：.ZBCD=60°,

•.•等边△DCE,

/EDC=60o=NBCD,

:.BC〃DE,

ZCBE=ZDEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=f>0°,

故A正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到

不变量.

二、填空题

2.（2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，C为线段4E上一动点（不与点A、E

重合），在AE同侧分别作正ABC和正aCDE,AD与8E交于点O,4）与BC交于点P,BE与CD交汗■点、

Q,连接PQ.以下五个结论：①AD=BE；©PQ//AE；③AP=8Q；④DE=DP；⑤ZAO3=60。.

恒成立的结论有.（把你认为正确的序号都填上）

B

D

Q

ACE

【答案】①②③⑤

【分析】①由于49c和CDE是等边三角形，可知AC=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=(A)°,从而证

出VACZ^VBCE,可推知仞=BE；②由VACD^VBCE得NCB£=ZDAC,和ZACB=ZDCE=60°,

AC^BC,得到.CQ3gCR4(ASA),再根据NPCQ=60。推出△PC。为等边三角形，又由NPQC=NDCE,

根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：4AC尸也△BC。，即可得出结论；④根据

NDQE=NECQ+NCEQ=60°+NCEQ,NCDE=60°,可知NCQEWNCDE,可知④错误；⑤利用等边三角形

的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到NC8E=ZD£O,于是

ZAOB=ZZMC+ZBEC=ZBEC+NDEO=ZDEC=60p,可知⑤正确.

【详解】解：①].ABC和CDE为等边三角形，

:.AC=BC,CD=CE,^BCA=ZDCE=60°,

:.NACD=NBCE,

AC=BC

在_A8和一BCE中，,ZACD=NBCE,

CD=CE

ACD^BCE(SAS),

;.AD=BE,/ADC=NBEC,①正确;

(2)NDCP=180°-2x60°=60°=NECQ,

.NADC=ZBEC

在△CDP和VCEQ中，C£>=CE

ZDCP=ZECQ

comCEg(ASA).

:.CP=CQ,

ZCPQ=ZCQP=60°,

NQPC=2BCA,

..PQ//AE,②正确；

③同②得：△AC0XBCQ,

AP=BQ,③正确；

④DE>QE,且DP=QE,

.♦.r>E>£>p,故④错误；

⑤ZACB=ZDCE=60°,

:.ABCD=60P,

DCE是等边三角形,

ZEDC=60°=ZBCD,

:.BC//DE,

4CBE=ZDEO,

^AOB=ZDAC+/.BEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60P,

・•.⑤正确；

故答案为：①②③⑤.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的

性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

三、解答题

3.（2023春♦全国•七年级专题练习）如图，。为/BC内一点，AB=AC,ZBAC=50°,将AO绕着点A顺

时针旋转50°能与线段AE重合.

⑴求证：EB=DC；

（2）若NA£>C=125。，求N8ED的度数.

【答案】（1）见解析

(2)ZBED=60°

【分析】(1)根据将绕着点A顺时针旋转5()°能与线段AE重合，得ZZME-50%通过SAS

证明AACD^zMBE,即可证出EB=CD；

(2)由△AC-ZVIBE得：ZADC=ZAEB=\25°,再根据4)=AE,ZZME=50°,得NA££)=65。，即可

求出答案.

【详解】(1)证明：•••将AD绕着点A顺时针旋转5()°能与线段AE重合，

AAD=AE,ZZME=50°,

/a4c=50。，

...ZDAE=ZBAC,

NCAD=NBAE,

在“CDE和,ABE中，

AC=AB

"ZCAD=ZBAE,

AD=AE

：.ACD^ABE（SAS）,

：.EB=DC；

(2)解：由A4C以△ABE得：ZADC=ZAEB,

■:ZADC=125°,

ZAEB=125°,

VAD=AE,ZZME=50°,

，ZAED=65°,

：./阻)=60。.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出

△ACD^AABE是解题的关键.

4.(2023春•全国七年级专题练习)(1)如图1,AABC与ACDE均为等腰直角三角形，N4C8=NOCE=90。,

猜想并证明：线段4以BD的数量关系和位置关系.

CD

E

AB

图1

(2)在(1)的条件下，若点4,E,。在同一直线上，CM为AOCE中OE边上的高，请判断/AOB的度

数及线段CM,AD,80之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)AE=BD,AEYBD,证明见解析.(2)ZADB=90°,AD=2CM+BD.证明见解析

【分析】(1)延长AE交8。于点H,A”交BC于点0.只要证明AACE四△BC£>(SAS),即可解决问题;

(2)由AACEGZXBC。，即可解决问题.

【详解】解：(1)如图I中，延长AE交BD于点，，AH交8c于点。，

：.AC=BC,CD=CE,

：.NACE=NBCD,

.,.△ACE丝△BCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

,：ZCAE+ZAOC=9Q°,ZAOC=ZBOH,

/.NBOH+NCBD=90。.

：.ZAHB=90°,

：.AE±BD.

故答案为AE=B£>,AE±BD；

(2)N4OB=90°,AD=2CM+BD,

理由如下：如图2中，

'：/\ACB和AOCE均为等腰直角三角形，NACB=N/)CE=90。，

?.ZCD£=ZCE£>=45°,

二NAEC=180°-ZCED=135°,

由(2)可知：4ACE刍/\BCD,

：.AE=BD,ZBDC=ZAEC=135°,

ZADB=ZBDC-ZCDE=135o-45°=90°；

在等腰直角三角形OCE中，CM为斜边。£上的高，

CM=DM=ME,

：.DE=2CM,

：.AD=DE+AE=2CM+BD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全

等三角形解决问题.

5.(2023春•全国•七年级专题练习)如图1,B、C、。三点在一条直线上，4。与8E交于点O,AABC和

△EC。是等边三角形.

(1)求证：4ACD会/\BCE；

(2)求N8。。的度数；

(3汝”图2,若B、C、。三点不在一条直线上，NBO。的度数是否发生改变？(填''改变”或“不改

变”)

【答案】(1)证明见解析

(2)/800=120°

(3)不改变，理由见解析

【分析】(1)根据"SAS'证明△ACC丝ABCE即可；

(2)由全等三角形的性质得NAOC=NBEC,再由三角形的外角性质得NAO8=60。，即可求解;

(3)同(1)得：bACDQ丛BCE,得出ND4C=NE8C,根据三角形外角求出/4。七二120。，即可得出答

案.

【详解】(1)证明：:△ABC和△ECQ是等边三角形，

AZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=/ECD+/ACE,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC。中

BC=AC

♦；<4BCE=NACD,

CE=CD

:•△BCEmAACD(SAS\

(2)解：VABCE^AACD,

:.ZADC=ZBECf

*/ZAOB=NEBC+/ADC,

：.NAOB=NEBC+NBEC=NDCE=60。,

•/ZAOB+ZBOD=\SO0,

：.ZBOD=\20°.

(3)解：不改变，理由如下：

同(1)得：△ACDgZsBCE(SAS),

:・/DAC=NEBC,

・.,ZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO+ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

：.ZBOD=ZAOE=nO09

即N30。的度数不改变.

故答案为：不改变.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，对顶角性质，

证明△48名△BCE是解题的关键.

6.（2023春•全国♦七年级专题练习）如图，大小不同的等腰直角三角形AABC和直角顶点重合在点C

处，连接AE、80,点A恰好在线段8。上.

（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；

（2）猜想4E与8。的位置关系，并说明理由.

【答案】（l）AC8D0kG4£,理由见解析

（2）AE1BD,理由见解析

【分析】（1）根据SAS证明△CB£>=AC4E即可；

（2）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可.

【详解】（1）解：ACBZ泾AC4E,理由如下：

QZACB=ZDCE=90°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即N8C3=ZACE,

在ACM）与ACAE中，

BC=AC

-ZBCD=NACE,

DC=EC

^CBD^SCAE（SAS）.

（2）解：AE1BD,理由如下：

设AE与CO相交于点0,在AAOO与ACOE中，

R

SCBD^SCAE,

:.ZADO=ZCEO,

ZAOD=ZCOE,

:.ZOAD=ZOCE=90°,

.-.AEYBD.

【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据SAS得出ACB。与

AC4E全等的解题的关键.

7.(2022春・重庆•七年级重庆一中校考期中)如图，等腰三角形ABC和等腰三角形AOE,其中AB=AC,

AD=AE.

(1)如图1,若NBAC=90。，当C、D、E共线时，AO的延长线AFLBC交BC于点尸，则NACE=；

(2汝口图2,连接C。、BE,延长ED交BC于点F,若点尸是8c的中点，ZBAC^ZDAE,证明：ADVCD-,

(3)如图3,延长。C到点M,连接3M,使得NABM+NACM=180。，延长E。、BM交于点、N,连接4V,

若NBAC=2/NAD,请写出NAOM、/D4E它们之间的数量关系，并写出证明过程.

【答案】(1)22.5°

(2)见解析

⑶/D4E+2/A£>M=180。，详见解析

【分析】(1)由等腰直角三角形性质得NB=NC”=45。，再由三角形外角性质知NACE=/BCF,代入求值

即可；

(2)连接AF,过A作AH_LEF,由手拉手相似得△ACOS^A"/,得NCDF=；NBAC,再由NAZ)E=90。

-|ZDAE,等量代换即可得证；

(3)将AN绕4逆时针旋转/BAC的度数，交延长线于。，证明AACQ四△ABN,WAN=AQ,再证明

LAN