第14章三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

第14章三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022春•上海•七年级专题练习）已知三角形的两边长分别为4和9,则下列数据中，能作为第三边长的

是（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】D

【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值.

【详解】解：设这个三角形的第三边为X.

根据三角形的三边关系定理，得：9-4<x<9+4,

解得5cxV13.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理.掌握构成三角形的条件：两边之和〉第三边，两边之差〈第

三边是解决问题的关键.

2.（2022春・上海•七年级专题练习）若一个三角形的两个内角的度数分别为60。和50°,则这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】B

【分析】根据三角形内角和求出第三个内角，根据三角形的分类确定即可

【详解】解：•三角形的两个内角的度数分别为60。和5（）°

・•・第三个内角为：180。一60。-50。=70。

；•这个三角形是锐角三角形

故选：B

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，理解三角形内角和定理是解题的关键.

3.（2022春•上海•七年级校考期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（）

A.7cm,5cm,10cmB.8cm,6cm,4cm

C.10cm,10cm,5cmD.5cm,5cm,10cm

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边'’进行分析.

【详解】解：A、5+7>1（）,则能构成三角形，不符合题意；

B、4+6>8,则能构成三角形，不符合题意；

C、5+10>10,则能构成三角形，不符合题意；

D、5+5=10,则不能构成三角形，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查的知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数

的和是否大于第三个数即可.

4.(2022春•上海•七年级专题练习)如图，已知AABC中，BD、CE分别是/A8C、/ACB的角平分线，BD

与CE交于点O.如果/BAC=〃。，那么用含〃的代数式表示/BOC()

A.(45+〃)°B.(180-n)°C.(90+n)°D.(90+；〃)°

【答案】D

【分析】根据三角形的内角和等于180。求出NABC+/4C8,再根据角平分线的定义求出NO8C+/OCB,

然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.

【详解】解：：NBAC=〃。，

/A8C+/4CB=180°-NA=180。-n°,

•:BD、CE分别是NA3C、/ACB的平分线，

：.ZOBC+ZOCB=^(ZABC+ZACB)=1x(180°-〃°)=90°-yn°,

在AOBC中，ZBOC=180°-(NOBC+NOCB)=180°-(90°-,〃°)=90°+1n°.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用.

5.(2022秋•上海•七年级专题练习)已知某三角形第一条边长为(2a-〃)cm,第二条边比第一条边长(。+6)

cm,第三条边比第一条边的2倍少(a-b)cm,则这个三角形的周长为()

A.3acmB.(3a-b)cmC.(5a-b)cmD.(8。-26)cm

【答案】D

【分析】先分别求出第二条边和第三条边的长度，再求三角形的周长即可.

【详解】解：第二条边长为：(2a-b)+(a+b)=(3a)cm；

第三条边长为：2C2a-b)-(a-b)=C3a-b)cm；

这个三角形的周长为：(2a-b)+3a+(3a-b)=(8a-26)cm；

故选：D.

【点睛】本题主要考查整式的加减法，根据题意正确列出代数式是解题的关键.

6.(2022春・上海•七年级期末)如图，已知AO平分ND4E,AD=AE,AB=AC,图中全等三角形有().

【答案】D

【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决.

【详解】解：平分/D4E,

AZ1-Z2,

AD=AE

在△40。和AAOE中，=

AO=AO

A/XAOD^/XAOE(SAS),

；.ND=NE,OD=OE；

AC=AB

在AAOC和AAOB中，■Z1=Z2,

AO=AO

^AOC^/XAOB(SAS)；

'ZD=ZE

在ACO。和ABOE中，＜DO=EO,

/.DOC=NEOB

.".△COD^ABOE(ASA)；

AD^AE

在ADAB和AEAC中，■^DAB=ZEAC,

AB=AC

：.^DAB^/\EAC(SAS)；

由上可得，图中全等三角形有4对，

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的

思想解答.

7.(2022春•上海七年级专题练习)如图，已知△ABC和△OE尸中，AB=DE,BC=EF,添加下列哪一个

条件可以得到△ABgADEF()

A.B.NACB=NFC.AC//DFD.AB//DE

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断.

【详解】解：'.,△ABC和ADE△中,AB=DE,BC=EF,

.•.当/A=NQ时，无法判定ZkABCg△£)《下,故选项A不符合题意；

当时，无法判定△ABC丝△£)£/,故选项B不符合题意；

当AC〃。尸时，，ZACB=ZF,无法判定△ABC名△OEF,故选项C不符合题意；

当他〃。£时，/时，可根据SAS判定AABCg△£>£：/,故选项。符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

二、填空题

8.（2022春•上海闵行•七年级上海市闵行区莘松中学校考期末）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AB

与CO不平行，AC、8。相交于点O,写出图中一对面积相等的三角形，它们可以是

（只需写出一对）.

【答案】AABC和ADBC（答案不唯一）

【分析】利用同底等高的两个三角形面积相等即可求解.

【详解】解：；AO〃8C,

.♦.A。与BC之间的距离相等，

.♦.△A8C和AOBC面积相等.

故答案为：&48C和AOBC.（答案不唯一）

【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，掌握平行线之间的距离处处相等是解题的关键.

9.（2022秋•七年级单元测试）如图，AABC平移得到AA'B'C,已知N3=45。，NC'=70。，ZA=

【答案】65°

【分析】根据平移的性质可得NC=NC'=7（）。，利用三角形的内角和即可求解.

【详解】解：；MC平移得到A'8'C,

,NC=NC'=70。，

二ZA=1800-ZB-ZC=65°,

故答案为：65°.

【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应角相等是解题的关键.

10.（2022春•上海.七年级期末）等腰三角形的两条边长分别为3,7,则等腰三角形的周长为

【答案】17

【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时.根据三角形的三边关系，知3,3,7不能组成三角

形，应舍去.

【详解】解：当3是腰时，贝1]3+3<7,不能组成三角形，应舍去；

当7是腰时，则该等腰三角形的周长为3+7x2=17.

故答案为：17.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.此

类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系.

11.（2022春.上海宝山•七年级校考阶段练习）如果三角形的两边长为4和8,那么第三边c的长度的取值范

围是.

【答案】4<c<12

【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边计算即可.

【详解】解：因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

所以8-4<。<8+4即4<c<12

故答案为：4<c<l2.

【点睛】本题考查了三角形三边关系原理，熟练掌握原理是解题的关键.

12.（2022春•上海.七年级校考期中）在..MC中，已知ZA=2/B=3NC,ABC的形状是.

【答案】钝角三角形

【分析】根据关系式，得出/A、和/C的大小，从而判断三角形形状.

【详解】•：ZA=2ZB=3ZC,

A-ZA=ZB,-ZA=ZC,

23

又•:NA+/8+NC=180°,

:.ZA+-ZA+-ZA=180°,

23

解得：NA=（曙）。=98。，

...一ABC的形状是钝角三角形.

故答案为：钝角三角形.

【点睛】本题考查三角形形状的判定，解题关键是利用三角形内角和，得出三角形各个角的大小.

13.（2022春•七年级单元测试）如图，在等腰中，BA=BC,8。是AC边上的中线，AELBC,垂足

为E,交BD于P煎,PE=3cm,则P点到直线A8的距离为.

A

【答案】3cm

【分析】由已知条件，根据等腰三角形三线合一性质可得到NAB力=NOBC,再利用角平分线上的点到角

两边的距离相等得到答案.

【详解】解：过点P作与点R

:BA=BC,BO是AC边上的中线，

NABD=NDBC,即BD为角平分线，

XPFLAB,PELCB,

PF=PE=3cm.

故答案为：3cm.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质.角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

14.（2022春•七年级单元测试）如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4,则与之对应的三个内角度数分

别为.

【答案】100。，60°,20°

【分析】先根据三个外角之比为2：3：4求出三个外角的度数，再根据平角的性质求出与之对应的三个内

角的度数，再求出其比值即可.

【详解】解：：三角形的三个外角之比为2：3：4,

・・・设三个内角的度数分别为2x,3x,4尤

/.2x+3x+4x=360°,

・・・x=40。，2x=80°,3x=120°,4x=160°.

.••与之相对应的三个内角的度数分别为：100°,60°,20°.

故答案为:100°,60°,20°.

【点睛】此题比较简单，考查的是三角形的外角和为360。及平角的性质.

15.（2022春•上海•七年级专题练习）将△ABC沿着。E翻折，使点A落到点4处，A'D,4E分别与BC交

于M、N两点、，且DE〃BC.己知/4NM=27。，则/NEC=.

A

A'

【答案】126°

【分析】利用平行线的性质求出NOEN=27。，再利用翻折不变性得到NAEQ=NL»EN=27。，再根据平角的

性质即可解决问题.

【详解】解：

,ZDEN=NA'NM=2T,

由翻折不变性可知：NAED=NDEN=27。,

：.ZMEC=180°-2x27°=126°,

故答案为126°.

【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

16.（2022春•上海•七年级期末）已知在△ABC中，NA=60。，NB=29°,那么NC=度.

【答案】91

【分析】根据三角形内角和定理解答即可.

【详解】解：：在AABC中，ZA=60°,ZB=29°,

AZC=1800-NA-NB=180°-60°-29。=91。.

故答案为：91.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180。是解题的关

键.

17.（2022春•上海•七年级专题练习）已知：如图，AC=DC,Z1=Z2,请添加一个已知条件：,使

【分析】已知给出了N1=N2,可得三角形中一对应角相等，又有一边对应相等，根据边角边判定定理,

补充BC=AC可得△ABCg，OEC答案可得.

【详解】解：：N1=N2,

.".ZBCA^ZECD,

y.AC=DC,添力HBC=CE,

A.ABC^DEC（SAS）.

故答案为：BC=EC.

D

BC

【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.解题的关键是添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判

定方法选择条件.

18.（2022春♦上海•七年级专题练习）不等边三角形的最长边是9,最短边是4,第三边的边长是奇数，则第

三边的长度是—.

【答案】7

【分析】由题意根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第

三边的长度.

【详解】解：设第三边长是c,则9-4Vc<9+4,

即5<c<13,

又•.•第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9,最短边为4,

.\c—7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，注意掌握已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边

的差，而小于两边的和.

19.（2022春・上海•七年级专题练习）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、3两点在小方格

的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C,连接A&AC、BC,使△ABC的面积为3个平

方单位.则这样的点C共有一个.

B

A

【答案】6

【分析】首先在AB的两侧各找一个点，使得三角形的面积是3.再根据两条平行线间的距离相等，过两侧

的点作的平行线，交了几个格点就有几个点.

【详解】解:如图，

SABC,=SABC,=1x3x2=3,

...符合条件的点有6个.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的面积等于

底边长与高线乘积的一半，即S产;x底x高.（2）平行线间的距离相等.

三、解答题

20.（2022春•上海•七年级专题练习）如图，/1=N2,ND4B=85。，那么的度数是多少，为什么？

【答案】95°,理由见解析

【分析】由已知角度及等量代换可得N2+NBAC=85。，再根据三角形的内角和为180。即可求解.

【详解】解：；N1+/a4C=NZM8=85。，N1=N2,

/.Z2+ZBAC=85°,

ZB+Z2+ZBAC=180°,

.•.NB=180°-85°=95°.

故N2的度数是95。.

【点睛】此题考查了三角形的内角和.解题的关键是掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为180。.

21.（2022春•上海.七年级期末）如图，点8、F、C、E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,AC=DF,说

明AB〃£>E的理由.

【答案】见解析

【分析】先求出BC=EF,再根据“边边边''证明△ABC与AOEF全等，根据全等三角形对应角相等可得NB

=NE,然后根据内错角相等，两直线平行即可得证.

【详解】解：：Bb=EC,

：.BF+FC=EC+CF,

即BC=EF,

在△48（7与4OEF中，

AB=DE

"：<AC=DF,

BC=EF

:./XABgXDEF（SSS）,

:.NB=NE（全等三角形对应角相等），

.,.AB//DE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出8C=EF,得到三角形全等是解题的关

键.

22.（2022春•上海•七年级专题练习）如图，FAYEC,垂足为E,ZF=40°,ZC=20°,求NF8C的度数.

【答案】110°

【分析】根据三角形的内角和可得NA的度数，再利用外角的性质可得NF8C的度数.

【详解】解：在AAEC中,FA±EC,：.ZAEC=9Q°,

：.NA=90°—NC=70°.

■:NFBC是AABF的一个外角，

NFBC=NA+N尸=70°+40°=110°.

【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出NA的度数是解题关键.

23.（2022春・上海・七年级期中）已知：如图，在四边形ABC。中，AO〃BC,点E是边C£＞上一点，且AE

平分/8AO,8E平分/A8C.

求证：（1）AE1BE；

（2）E是线段CZ）的中点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由平行线的性质，可得出ZAE8=9O。，即可得结论；

（2）延长AE,BC交于M,继而证明△"£：四AM应;，得出=后，证明即可得

出结论.

【详解】证明：(1)AD//BC,

/.ZDAB+ZABC=180°9

又NE、BE分别平分N349、ZABC,

/EAB=ZZME=-/BAD,ZABE=/CBE=-ZABC

22

ZEAB+ZAB£=90°,

:.ZAEB=90°

:.AE1BE

(2)如图，延长AE,8C交于M,

ZAEB=/BEM=90。,BE=BE,ZABE=ZCBE

.•.△A8E且AMBE(ASA),

:.AE=ME,

AD//BC

.-.ZD=ZECM,且A£=£M，ZAED=/CEM

..△ADE—△MCE(AAS),

CE=DE,

•••E是线段C£)的中点.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本

题的关键.

24.（2022春•上海•七年级专题练习）如图，在三角形ABC中，已知点。、E、尸分别在边BC、AC.AB±.,

且FD=DE,BF=CD,NFDE=NB,那么与NC相等吗？为什么？

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得再根据NFDE

=NB,证明NOFB=NEOC,然后根据边角边定理证明△OFB与△EQC全等，根据此思路写出相关的理由

与步骤即可.

【详解】解：与/C相等，

理由：vzFDC=ZFDE+ZEDC,

又•/NFDC=NB+NBFD,

：.NFDE+NEDC=ZB+ZBFD,

又：NFDE=NB,

：.ZBFD=匕EDC,

在小BFD和4CDE中

FD=DE

•NBFD=NEDC,

BF=CD

:./\BFDm/\CDE(SAS),

:.NB=NC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思

路是写出理由与步骤的关键.

25.(2022春・上海・七年级期末)如图，已知四边形4BCO中，AB//CD,AD//BC.E为80上一点，且BE

=AD,ZDEF=ZADC,EF交8C的延长线于点尸.

B

(1)4。和8C相等吗？为什么？

(2)BF和3。相等吗？为什么？

【答案】(1)AD=CB,理由见解析；(2)BF=BD,理由见解析.

【分析】(1)由A8〃C。，得/ABD=NCDB,证明△ABOgZ\CO8,证得AO=CB；

(2)由AO=C8,BE=AD,得BC=BE,结合AO〃8C,得NADB=NDBF,进而得到N£F8=NCD8,

证明(AAS)t证得FB=DB.

【详解】(1)AD=CBf

理由如下：•:AB//3,

：./ABD=NCDB,

同理可得，/ADB=NCBD,

在△48。与4CDB中，

ZABD=ZCDB

<BD=DB

NADB=NCDB

:•△ABDQ4CDB(ASA),

:・AD=CB；

(2)BF=BD,

理由

*：AD=CB,BE=AD,

：.BC=BE,

\9AD//BC,

：./ADB=/DBF,

*/ZDEF=NA。。，

J/DEF-/DBF=ZADC-/ADB,

即NEFB=NCD3,

在AEFB与ACD3中，

ZEFB=ZCDB

<NFBE=/DBC,

BC=BE

:•△EFBqACDB(A45),

：.FB=DB.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的证明，熟练使用以上知识是解题的关键.

26.（2022春・上海•七年级专题练习）如图，在A4BC中，点。是边BC的中点，过点C作直线CE,使CE〃A8,

交A£）的延长线于点E.试说明">=££>的理由.

解：因为（已知），

所以ZBAD=（）

因为点。是边8C的中点，

所以________________

在AABQ和一EC。中，

0

<ZADB=ZEDCO

,0

所以AABDsAEC£>（）

所以AD=££>（）

【答案】NE；两直线平行，内错角相等；BD=CD；ZBAD=NE；对顶角相等；BD=CD；A4S：全等

三角形对应边相等

【分析】把每一步的因果关系加以识别，即可运用相关的结论填写解题过程和依据.

【详解】解：因为CE〃AB（已知），

所以NBAD=4（两直线平行，内错角相等）

因为点。是边BC的中点，

所以BD=CD.

在AA8D和..EC£>中,

\ZBAD=ZE）

,NADB=NEDC（对顶角相等）

（BD=CD）

所以A4BO三AEC3（AAS）

所以">=£D（全等三角形的对应边相等）

【点睛】本题考查了平行线的性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识点，熟知上述各

个知识点是解题的基础，根据每一步的因果关系对出现的相关的角或线段加以认真识别，是解题的关键.

【典型】

一、填空题

1.（2018・上海徐汇•七年级阶段练习）_ABC中，ZA=ZB=60°,AB=3,那么BC=.

【答案】3

【分析】由AABC中，ZA=ZB=60°,即可证得△ABC是等边三角形，又由AB=3,即可求得BC的长.

【详解】解：:△ABC中，ZA=ZB=60°

NA=ZB=NC=60°

/.△ABC等边三角形

二.BC=AB=3

故答案为3.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，此题比较简单，解题的关键是等边三角形的判定.

2.（2019春•七年级课时练习）不一定在三角形内部的线段是_（填“角的平分线''或“高线”或“中线”）.

【答案】高

【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解.

【详解】三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有

两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的概念

是解题的关键

3.（2019春•七年级课时练习）如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=5cm,CE=6cm,则

△ABE和^ABC的面积分别为.

【答案】15cm2,30cm2；

【分析】由三角形面积计算方法可知，SABC=^XADXBC,SABE=：*ADXBE,再由由三角形中线的定

理求出BC的长则可求△ABE和小ABC的面积.

【详解】由三角形面积计算方法可知，SABC=^XADXBC,S再由由三角形中线的定理，

BE=CE」BC=6cm,所以BC=12cm.所以S但AO=gx6x5=15cm2,

11

92

S.ARoCc=-2BCMD=2-xl2x5=30cm.

故本题答案为：IScm?与30cm2

【点睛】本题主要考查三角形的高.

4.（2018春•上海•七年级统考期中）如图，AD//BC,80平分/ABC,ZA：NA8D=5：2,贝

度.

【答案】40

【分析】设NABQ=NQBC=2x,则NA=5x,利用两直线平行同旁内角互补构建方程即可解决问题.

【详解】'JAD//BC,

：.NA+NABC=180°

：8。平分乙48（7,

，NABD=NDBC,

设/A8Z）=/。8c=2x,则/A=5x,

.•.2x+2x+5E80°,

：.x=20°,

：./A8£>=2A=40°

故答案为40.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

二、解答题

5.（2019春•七年级课时练习）如图所示，已知IAD,AE分别是AABC的中线、高，且AB=5cm,AC=3cm,

则AABD与AACD的周长之差为多少，AABD与AACD的面积有什么关系.

【答案】(1)2；(2)详见解析.

【分析】(1)与一ACZ)的周长的差=

(2)三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，据此答题即可.

【详解】解：(l)AABD与AACD的周长之差=(AB+BD+AD)—(AD+CD+AC),而BD=CD.所以上式

=AB-AC=5-3=2.

(2)SAABD=yBDAE,SAACD=^CDAE

而BD=CD,所以SAABD=SAACD

【点睛】本题考查了三角形的中线概念和性质.

6.(2019春•上海浦东新•七年级校考期中)按下列要求画图并填空：

(1)用直尺和圆规作出直角AABC的边BC的垂直平分线，分别交边AC,BC于P、E两点,再过点P作边BC的

平行线交边AB于点F(保留作图痕迹)

(2)用直尺和三角尺画图：过点P作边BC的平行线交边AB于点F.

(3)如果BF=3,那么点P到直线BC的距离是

【答案】(1)如图所示；(2)如图所示：(3)3

【分析】(1)作直角AABC的边BC的垂直平分线，分别交边AC,BC于P、E两点，再过点P作边BC的

平行线交边AB于点F即可；

(2)先判断出四边形BEPF是矩形，进而可得出结论.

【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示;

（2）VZB=90°,PF〃BC,；./BFP=90°,

,

VPE1BC,..ZBEP=90°1四边形BEPF是矩形，

.•.PE=FB=3,即P到直线BC的距离是3；故答案为3.

【点睛】本题考查的是作图能力，掌握线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.

7.（2019春・上海长宁•七年级统考期末）如图，已知AZ）是A4BC的一条中线，延长AO至E,使得£史=4）,

连接BE.如果AB=5,AC=7,试求AO的取值范围.

【答案】4。的取值范围是1<AD<6.

【分析】先证明AAOC四得到3E=AC=7,然后根据三角形的三边关系得到AE的取值范围，从而

计算出AD的取值范围.

【详解】解：♦.'AD是A4BC中线，

所以30=8（中线的意义）

在AAOC和AEDB中，

=（已知）

'乙40c=NEL>B（对顶角的意义）

BO=CD（己证）

AADC^^EDB（S45）

:.BE=AC=7（全等三角形对应边相等）

又在AA5E中，BE-AB<AE<BE+AB

：.7-5<2AD<l+5,

：.\<AD<6,

，AO的取值范围是1＜的＞＜6.

【点睛】本题考查了三角形的中线和三边关系.条件中若出现"中点中线"字样，可以考虑把中线延长一倍,

把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形.

8.（2019春•七年级单元测试）如图所示，在△ABC中，ZB=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边的中

点，求证△DEM是等腰三角形.

【答案】详见解析

【分析】根据AB=BC,AM=MC,得出BMJ_AC,且NABM=/CBM=g/ABC=45。，进而得出

△ADM^ABEM,即可得出DM=EM.

【详解】证明：连接BM,

BEC

VAB=BC,AM=MC,

ABM±AC,且NABM=NCBM=INABC=45°,

，NA=NABM,所以AM=BM,

VBD=CE,AB=BC,

.•.AB-BD=BC-CE,即AD=BE,

'AD=BE,

在4ADM和小BEM中，,NA=NEBM=45°,

AM=BM,

/.△ADM^ABEM(SAS),

ADM=EM,

...△DEM是等腰三角形.

【点睛】此题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于得出BMLAC.

9.（2018・上海•七年级阶段练习）如图，已知AABC和ACDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上,

AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG〃BE的理由.

【答案】见解析

【分析】运用SAS证得△ACD丝AACE,得至ljNCAE=/CBD,NBCD=NACE;由公共部分NACD,利用角

和差可确定NBCF=/DCF,结合BC=AC,判定△BCF^aACG,可得NACD=NBAC=6(T,CF=CG;可以发

现△CFG也是等边三角形，则NCFG=60。,即/CFG=/BCA=60。，利用平行线判定定理，即可判定平行.

【详解】解：理由如下：

,/已知△ABC和乙CDE都是等边三角形

二AC=AB,CD=CE,ZBAC=/ABC=/BCA=/DCE=ZCED=ZEDC=60°

NACB+NACD=/DCE+/ACD,即ZBCD=ZACE

在^ACD和^ACE中

BC=AC

"NBCD=ZACE

CD=CE

/.△ACD^AACE(SAS)

AZCAE=ZCBD,ZBCD=ZACE

二ZBCD-ZACD=ZACE-ZACD即NACD=NBCA=60°；

在小BCFffAACG中

ZCAE=Z.CBD

AC=BC

ZACD=ZBCA

.,.△BCF^AACG(ASA)

；.CF=CG

...△CFG是等边三角形

，ZCFG=60°

，ZCFG=ZBCA=60°

，FG〃BE（内错角相等，两直线平行）

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中全等三角形的

判定是解题的关键.

【易错】

选择题（共2小题）

1.（2020春•金山区期末）某等腰三角形的两条边长分别为3CTH和6cm,则它的周长为（）

A.9cmB.\2cmC.\5cmD.12cmsK15cm

【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案.

【解答】解：（1）当3cm为腰时，因为3+3=6c〃?，不能构成三角形，故舍去；

（2）当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长=6+6+3=15C777.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形三边关系与周长的求解.

2.（2022春•闵行区校级月考）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）

A.含60°角的两个直角三角形

B.腰对应相等的两个等腰三角形

C.边长均为5厘米的两个等边三角形

D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形

【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS,ASA.44s.SSS,对各个选项逐一分析即可.

【解答】解：A、含60°角的两个直角三角形的边不一定对应相等，不符合直角三角形全等的判定定理,

故本选项错误；

8、腰对应相等的两个等腰三角形的顶角不一定相等，不符合全等三角形的判定定理SAS,故本选项错误;

C、边长为5厘米的两个等边三角形，各个边长相等，符合全等三角形的判定定理SSS,故本选项正确；

。、一个钝角对应相等的两个等腰三角形的腰长不一定相等，所以不符合全等三角形的判定定理SAS,故

本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.A4S、

HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边

一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

二.填空题（共3小题）

3.（2022春•徐汇区校级期末）若三角形三个内角NA,NB,/C的关系满足/A>3/B,NCV2NB,则

该三角形按角分类为钝角三角形.

【分析】在△ABC中，若NA>3/8,可以得出再根据和/C的关系，可得出NC和

3

NA的关系.根据三角形内角和定理为180°,可以得出NA的范围为大于90°.即可判断出AABC为

钝角三角形.

【解答】解：根据题意NA>3NB,即有NB〈工NA,

3

又NC〈2NB<2NA,

3

所以NA+NB+NC<ZA+^ZA+^-ZA=2ZA,

33

故有180°V2/A,

得NA>90°,

即得aABC为钝角三角形.

故答案为：钝角.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理.解题的关键是能够找出三角形的三个角之间的大小关系，利

用三角形的内角和为180°进行求解.

4.（2022春•徐汇区校级期末）如图，AC=BC,DC=EC,NACB=NECQ=90°,且NEB£>=42°,则/

AEB=132°

【分析】先证明△BOC丝△AEC,进而得到角的关系，再由NE8。的度数进行转化，最后利用三角形的

内角和即可得到答案.

【解答】解："：ZACB=ZECD=90°,

：.ZBCD=ZACE,

在△8Z）C和△AEC中，

fAC=BC

，ZBCD=ZACE，

DC=EC

.♦.△BOC丝△4EC（SAS）,

NDBC=ZEAC,

•：NEBD=NDBC+NEBC=42°,

：.ZEAC+ZEBC^42Q,

；./ABE+/EAB=90°-42°=48°,

.•.NAE8=180°-（NABE+NEAB）=180°-48°=132°.

【点评】考查了全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解.

5.（2022春•徐汇区校级期末）已知aABC中，AB=BC^AC,作与aABC只有一条公共边，且与AABC

全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个.

【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底

为公共边时有一个，答案可得.

【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，

所以一共能作出7个.

故答案为：7.

【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进

行讨论是解决本题的关键.

三.解答题（共1小题）

6.（2022春•嘉定区校级期末）在△ABC中，/B=NC,点。在BC边上，ZBAD=50°（如图1）.

（1）若E在△ABC的AC边上，且NA£）E=NB,求NEOC的度数：

（2）若N8=30°,E在△ABC的AC边上，△AOE是等腰三角形，求/EQC的度数；（简写主要解答

过程即可）;

（3）若AD将4ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求NB的度数.（直接写出答案）.

备用图

【分析】(1)由三角形的内角和和三角形的外角的性质可直接得出结论；

(2)由等腰三角形的性质可得，ZBAC=120°.所以ND4C=NBAC-NBA£>=70°,由三角形的外

角的性质可知，ZADC=ZB+ZBAD=80°,由等腰三角形的性质可知，需要分类讨论，当AE=L>E时,

当AD=DE时两种情况，再利用等腰三角形的性质可得出结论；

(3)若△48。为等腰三角形，则只能40=8。，所以NB=N8AD=50°.若△AC。为等腰三角形，则

只能AZ)=C。或AC=QC,根据等腰三角形的性质可得出结论.

【解答】解：(1)；NAQC是△ABZ)的外角，

NADC=NB+NBAD,

VZADC^ZADE+ZEDC,且ZBAD=50°,

:.NEDC=NBAD=50°.

即NEDC的度数为50°；

(2)VZB=CC=30°,

AZBAC=180°-(ZB+ZC)=120°.

；NBAD=50°,

4DAC=ABAC-NBAD=10°,

,//AOC是△480的外角，

...NAOC=/B+/54O=80°,

•••△ADE是等腰三角形，

若AE=DE,则NACE=N£)AC=70°,

AZEDC^ZADC-ZADE=10°.

若A£)=OE,则

AZAD£=180°-2ND4c=40°,

NEDC=ZADC-ZADE=40°.

AD=AE,则/AOE=NAE£>=（180°-70°）+2=55°,

/.ZEDC=80°-55°=25°.

即NEDC的度数为10°或40°或25°；

（3）若△ABQ为等腰三角形，则只能A£>=B£>,

:.NB=NBAD=50°.

若△AC。为等腰三角形，则只能AD=CD或AC=OC,

.•./8=/C=/C4£>=13°、一/1疝=（型力°或/B=/C=l*°°-2/BAD=（世）

3333

二/8的度数为50°或（侬.）°或（殁）0.

33

备用图

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想

等内容，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.

【压轴】

一、填空题

1.（2019春•上海浦东新•七年级统考期末）如图，BF平分/ABD,CE平分/AC。，BF与CE交于G,若

NBDC=nf,ZBGC=n°,则NA的度数为.（用加，〃表示）

【答案】2n0-m°

【分析】连接BC,根据三角形内角和定理可求得/DBC+NDCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角

形角平分线的定义可求得NABC+NACB的度数，从而不难求得/A的度数.

【详解】连接BC.

NBDC=m。，

/.ZDBC+ZDCB=180°-m°,

ZBGC=n°,

ZGBC+ZGCB=180°-n°,

ZGBD+ZGCD=(180°-n°)-(l80°-m°)=m°-n°,

•.•BF是/ABD的平分线，CE是NACD的平分线，

AZABD+ZACD=2ZGBD+2ZGCD=2m°-2n°,

，ZABC+ZACB=2m°-2n°+l80°-m0=180o+m°-2n°,

/.ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-(l80°+m°-2n°)=2n°-m°,

故答案为2n°-m°.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键.

2.（2019春•上海浦东新•七年级统考阶段练习）在AABC中，AB=AC,把AABC折叠，使点8与点A重合,

且折痕交边A8于点M,交边于点N.如果AC4N是以CN为腰的等腰三角形，则的度数是.

【答案】45。或36°

【分析】是A8的中垂线，则AABN是等腰三角形，且=即可得到ZB=N3AN=NC.然后对

ZVWC中的边进行讨论，然后在AABC中，利用三角形内角和定理即可求得N3的度数.

【详解】解：把AABC折叠，使点5与点A重合，折痕交A8于点交8c于点N,

.,.MV是A8的中垂线.

:.NB=NA.

:.ZB=ZBAN,

AB=AC,

:.NB=NC.

设N3=x°,则NC=Nfi4N=x0.

1）当/W=NC时，ZCAN=ZC=x°.

则在AABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180,

解得：乂=45。则/3=45。；

1QA_y

2）当C4=CN时，4NAC=4ANC=---------.

2

1QA_丫

在AA8C中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+±1」=180,

解得：x=36°.

故的度数为45。或36。.

故答案为45。或36。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，正确对A4NC的边进行讨论是解题的关键.

3.（2021春•上海徐汇•七年级上海市民办华育中学校考期末）如图工O〃8C,AB1.BC,CDA.DE,CD=ED,

AD^2,BC=3,则△AOE的面积为一.

【答案】1

【分析】过点D作BC的垂线交BC于点G,过E作AD的垂线交AD的延长线于F,证得RtAEDF丝RsCDG,

求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形面积公式得解.

如图，过点D作BC的垂线交BC于点G,过E作AD的垂线交AD的延长线于F,

ZEDF+ZFDC=90°

ZGDC+ZFDC=90°

AZEDF=ZGDC

在RtAEDF和RtACDG中

ZF=4DGC

,ZEDF=ZGDC

DE=DC

：.RtAEDF^RtACDG

AEF=CG=BC-BG=BC-AD=3-2=1

•*-5MD£=(/IDx£F)x1=(2x1)x1=1

故答案为1

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键.

4.(2021春•上海普陀•七年级校考期中)如图，已知△/1£)(7的面积为4,AO平分NB4C,且49/即于

点D,那么/WC的面积为.

【答案】8

【分析】延长BD交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形，则SZUBD=SZSADE,SABDC=SACDE,可得出

SAADC=|SAABC.即可求出答案.

【详解】解：如图，延长BD交AC于点E,

：AD平分/BAE,AD±BD,

，NBAD=/EAD,ZADB=ZADE,

在^ABD和AAED中,

/BAD=ZEAD

-AD=AD,

ZBDA=ZEDA

AAABD^AAED(ASA),

.♦.BD=DE,

SAABD=SAADE>SABDC=SACDE,

S△ABD+S△BDC=S△ADE+SAcDE-SAADC,

，SAADC=；SAABC，

••=2x4=8；

故答案为：8.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE得到

SAABD=SAADE,SABDC=S"DE是解题的关键.

二、解答题

5.(2020春•上海.七年级校考期末)如图，已知，AABC和AADE都是等边三角形，连接BD、CE.

(1)说明3O=CE的理由；

(2)延长BD,交CE于点F,求NBFC的度数.

【答案】(1)见解析；(2)60。.

【分析】(1)证明△ABD且ZiACE即可得到结论；

(2)由△ABD丝Z\ACE得到/ABD=/ACE,根据/ABC=/ACB=60。推出

ZFBC+ZACB+ZACF=ZAB