9.8用样本估计总体

9.8用样本估计总体课标要求精细考点素养达成1.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特征,并作出合理解释样本数字特征的计算及应用通过学习样本数字特征的计算和频率分布直方图估计总体,提升学生的数据分析、数学运算素养用频率分布直方图估计总体分布2.会用样本的频率分布估计总体分布,用样本的基本数字特征估计总体的数字特征分层抽样的均值与方差通过学习分层抽样的均值与方差,提升学生的数据分析素养1.(概念辨析)(多选)下列说法正确的是().A.如果一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大2.(对接教材)若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数x=5,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数和方差分别为,.

3.(对接教材)一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的第75百分位数为,第86百分位数为.

4.(易错自纠)某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则().A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a5.(真题演练)(2023·新课标全国Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则().A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差样本数字特征的计算及应用典例1(2023·全国乙卷数学)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10).试验结果如下表:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xiyi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.(1)求z,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s2(1)众数、中位数、平均数及方差的意义:①平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述;②平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.(2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论.训练1(1)已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法正确的是().A.这100个数据中最多有75个数小于或等于9.3B.将这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据C.将这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数和第76个数的平均数D.将这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数和第74个数的平均数用频率分布直方图估计总体分布典例2为提倡节约用水,我市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了2021年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求全市家庭月均用水量不低于6t的频率;(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,求全市家庭月均用水量平均数的估计值;(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值(精确到0.01).频率分布直方图中的众数、中位数与平均数(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数.训练2(2023·山东菏泽统考一模)(多选)为了解学生的身体状况,某校随机抽取了100名学生测量体重,经统计,这些学生的体重数据(单位:kg)全部介于45至70之间,将数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则().A.频率分布直方图中a的值为0.04B.这100名学生中体重不低于60kg的人数为20C.这100名学生体重的众数约为52.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25分层抽样的均值与方差典例3甲、乙两支田径队体检结果为:甲队的体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,则甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少?训练3(2023·湖南湘潭统考二模)(多选)为了解某班学生每周课外活动的时间,甲同学调查了10名男生,其平均数为9,方差为11;乙同学调查了10名女生,其平均数为7,方差为8.若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本,则该样本数据的().A.平均数为8.5 B.平均数为8C.方差为10.5D.方差为10用频率分布直方图估计均值方差的计算技巧典例近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛,等级分为1至10分,随机调阅了A,B两校60名学生的成绩,得到样本数据如下:成绩/分12345678910人数/个000912219630B校样本数据统计图(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层随机抽样的方法抽取6人,从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和不小于15分的概率.1.解决统计与概率问题的几点注意:(1)用样本频率可以估计整体的概率;(2)用样本频率分布直方图的面积估计概率;(3)用样本频率分布直方图来估计整体平均值.2.解决与统计图表相结合问题的解题步骤:(1)审题,确定实际问题是哪一种图表,找出图中信息,用频率估计概率;(2)利用平均数、方差、期望等公式计算数据;(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.训练积分商城是激励用户和引导用户的一种渠道,是吸引用户再次购买的一种方法,是增强消费者与商城粘性的一种有效工具,从而达到提升用户体验感和对品牌依赖性的效果.某电商采用会员积分系统,通过线上购买商品可以成为会员,并得到积分(每满100元积1分),会员可以通过积分购买积分商城上的商品,如果会员对商城内的商品不满意,还可以申请积分转化成现金兑换.现从会员中随机抽取100人,按照当前积分进行分组,得到如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计这100名会员的积分的中位数(精确到1)﹔(2)从积分分别在区间[300,400),[400,500),[500,600]的会员中采用分层抽样的方式选出8名会员进行有关积分商城、会员权益方面的网络回访,按照积分在区间[300,400)的会员每人赠送10张积分商城优惠券,积分在区间[400,500)的会员每人赠送20张积分商城优惠券,积分在区间[500,600]的会员每人赠送30张积分商城优惠券,现从这8名会员中随机选取2人,求这2人共有优惠券张数X的分布列及数学期望.一、单选题1.某校高三年级共有600名学生选修地理,某次考试地理成绩均在60~90分之间,分数统计后绘成频率分布直方图如图所示,则成绩在[70,85)分的学生人数为().A.380 B.420 C.450 D.4802.在某校的“迎新年”歌咏比赛中,6位评委给某位参赛选手打分,6个分数的平均分为8.5分,方差为0.5,若去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.5分,则剩下的4个分数满足().A.平均分为8.8分,方差为0.25 B.平均分为8.8分,方差为0.4C.平均分为8.5分,方差为0.25 D.平均分为8.5分,方差为0.43.(2023·山东临沂统考一模)某工厂随机抽取20名工人,对他们某天生产的产品件数进行统计,数据如下表,则该组数据的第75百分位数是().件数7891011人数37541 B.9 D.104.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作,提高工作效率,服务人类生活,扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究某机器人的销售情况,统计了今年2月至7月M,N两店每月该机器人的营业额(单位:万元),得到如图所示的折线图,则下列说法不正确的是().A.N店营业额的平均值是29B.M店营业额的平均值在[34,35]内C.N店营业额总体呈上升趋势D.M店营业额的极差比N店营业额的极差大二、多选题5.下列说法正确的是().A.若用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x11,2x21,…,2x101的标准差为166.(2023·江苏南通二模)已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位:t/hm2)数据为9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙种杂交水稻近五年的产量(单位:t/hm2)数据为9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则().A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差D.甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数三、填空题7.(2023·福建统考一模)以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据:甲组:14,30,37,a,41,52,53,55,58,80;乙组:17,22,32,43,45,49,b,56.若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等,则4ab=.

8.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为,方差为.

四、解答题9.(2023·河北沧州校考模拟预测)随着人民生活水平的提高,人们对环境的保护意识日益增强,质检检测部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查,并作出相应的处理,本次排查了30家企业,共查出510个污染点,其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求这30家企业造成污染点的第80百分位数;(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4,其他20个企业造成污染点的方差为44.7,求这30个企业造成污染点的总体方差.10.(2023·浙江杭州校考期中)某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况,抽样调查了其中的100名学生,统计他们参加社会实践活动的时间(单位:小时),并将统计数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数,中位数,平均数;(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数(结果保留两位小数).11.为了加强学生对保护环境的重视,某大学开展了形式灵活的学习活动.随后组织该校大一学生参加环境保护测试(满分:100分),随机抽取200名学生的测试成绩,这200名学生的成绩都在区间[60,100]内,将其分成5组:[60,68),[68,76),[76,84),[84,92),[92,100],得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图,视频率为概率,同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则().A.该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B.该校