江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题2

省前中2024届高三第一学期期初考试数学试卷一、单选题（5分*8）1.已知幂函数的图象经过点（4，2），则f（9）的值为（）A.3 B.3 C.9 D.92.已知平面向量，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（）（素数即质数，，计算结果取整数）A.2172 B.4343 C.869 D.86865.已知，，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.6.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（）A. B. C. D.7.设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a50x50，则a3的值是（）A. B.2 C. D.8.已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意当时，都有，则不等式的解集为（）A B. C. D.二、多选题（5分*4，漏选得2分）9.下列命题中，真命题有（）A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是B.若随机变量，则C.若事件A，B满足且，则A与B独立D.若随机变量，，则10.如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（）A B.平面C.线段BN长度的最大值为 D.三棱锥体积不变11.已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（）A.函数关于直线对称B.4是函数的周期C.D.方程恰有4不同的根12.已知，则满足的关系是（）A. B.C. D.三、填空题（5分*4）13.的展开式的常数项是_______14.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．15.已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为________．16.在三棱锥中，.若三棱锥所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.四、解答题17.已知，全集，集合，函数的定义域为.（1）当时，求；（2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.18.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为，其中，是常数.（1）当时，判断并证明的奇偶性；（2）当时，若的最小值为，求的最小值.19.如图，在三棱柱，，，，.（1）证明：⊥平面；（2）若，求二面角的正弦值.20.已知函数且．（1）当时，求的单调增区间；（2）是否存在，，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．21.某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数X数学期望.22已知函数.（1