人教版高中数学全册教案-09-直线、平面、简单几何体

两个平面垂直的判定和性质（二）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1.两个平面垂直的性质定理.

2.异面直线上两点间的距离公式.

（二）能力训练点

1.弄清反证法与同一法之间的关系，并会应用同一法证题，进一步培养学

生的逻辑思维能力.

2.掌握两个平面垂直的性质定理，理解面面垂直问题可能化为线面垂直的

问题.

3.异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值，还可以证明两条

异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的.另外，还可解决分别在二面

角的面内两点的距离问题.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：掌握两个平面垂直的性质；会运用异面直线上两点间的距离

公式.

2.教学难点：异面直线上两点间距离公式的应用.

3.教学疑点：

⑴弄清反证法与同一法的联系与区别.

⑵正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式：EF=

+/±2|>!0886中的点式或可点心或4'）的同，异问题.

三、课时安排

本课题安排2课时.本节课为第二课时，主要讲解两个平面垂直的性质及异

面直线上两点间的距离公式.

四、教与学的过程设计

（一）复习两个平面垂直的定义，判定

师：什么是两个平面互相垂直？

生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

师：如何判定两个平面互相垂直？

生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根

据判定定理，判定其中•个平面内有一条直线垂直于另一个平面.

（二）两个平面垂直的性质

师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质.

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的

直线垂直于另一个平面.

已知：平面a±p,anp=CD,ABUa且AB±CD于B.

求证：AB±P.

图1-134

证明：在平面B内引直线BEJ_CD,则NABE是二面角a-CD-B的平面角.

ValP,AAB1BE.

XVAB±CD,/.AB±3.

师：从性质定理可以得出，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题.

例1如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二

个平面的直线，在第一个平面内.

图1-135

已知：a_L6,pea,PGa,alB.

求证：aUa.

师提示:要证明aUa，-一般用反证法，即否定结论■*推出矛盾f肯定结论.下

面请同学们写出它的证明过程.

证明（反证法），假设aea,网在平面（I内，过点琲直线blc,

其中C为a与B的交线.

•/a±0,/.b±P.

又"6a,PWa,alB,

这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾.

.'.aUa.

师：现在我们来看课本P.44的证明，这种方法叫同-法.什么是同一法呢？

（幻灯显示）

一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯•的，那么原命题和它的逆命题中,

只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则.在符合同一法则的前提下,

代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法.

同一法的一般步骤是什么？（幻灯显示）

1.不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；

2.证明所作的图形的特性，与已知条件符合；

3.因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图

形与已知条件要求的是一个东西，由此断定原命题成立.

证明（同一法）：设aAB=c,过点P在平面a内作直线b_Lc,根据上面的

定理有b_LB.

因为经过一点只能有一条直线与平面B垂直，所以直线a应与直线b重合.

即aUa.

师：比较反证法与同一法，我们可以知道：凡可用同一法证明的命题也可用反证法来

证；反证法可适用于各种命题，同一法只适用于符合同一法则的命题.

另外，例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质，可直接应用.

下面请同学们一齐完成例2.

（三）异而直线上两点间的距离

例2已知两条异面直线a、b所成的角为0,它们的公垂线段AA'的长度

为d.在直线a、b上分别取点E、F,设，A'E=m,AF=n,求EF.

图1-136

解：设经过b与a平行的平面为a,经过a和AA'的平面为B,aCB=c,

则©〃2,因而b、c所成的角等于。，且AA'LC.

又•.•AA'1b,

:.AN±a.

根据两个平面垂直的判定定理，B_La,在平面B内作EGLC,则EG=AA'.并且

根据两个平面垂直的性质定理，EG1a.连结FG,则EGJ_FG.在Rt^FEG中.

EF2=EG2+FG2

VAG=m,

.•.在aAFG中.

FG2=m2+n2-2mncos0.

又；EG2=d2

EF2=dw+m2+n2-2mncos0.

如果点F（或E）在点A（或A'）的另一侧,则EF2=d2+m2+n2+2mncos。.

因此.EF=Jd"+m'+n'±2mncosq.

师：例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式，还解决了下面的

三个问题：

⑴证明了两条异面直线公垂线的存在性.

⑵证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的.

VAA'=EG,且AA',EG是平面a的垂线,而EF是斜线，

.•.AA'<EF.

如在实际中，两条交叉的高压电线如果放电时，火花正是通过它们的最短距离.

（3）也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题，请看下面练习.

（四）练习

在60°二面角的枝上，有两个点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个

面内垂直于AB的线段.已知：AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,利用异面直线上两

点距离公式求CD.（P.45中练习3）

KiA£P,BDCP,AOBD,

...AC与BD是异面直线.

：AB_LAC交于点A,ABJ_BD交于点B,

.•.AB是AC、BD的公垂线,AC、BC所成角是60°.

已知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm.

CD=VACa*ABa-ZAC•BDOMOT

*8a-2*6*8*1

・病・2师cm）

a

B

图1-137

师点评：根据二面角的平面角来求异面直线上两点间的距离时;