专题10直线与圆圆与圆的位置关系（4个知识点8种题型）

专题10直线与圆、圆与圆的位置关系（4个知识点8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.直线与圆的位置关系的判断【方法二】实例探索法题型1.直线与圆位置关系的判定与应用题型2.直线与圆相切的有关问题圆位置关系的判断【方法三】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.直线与圆的位置关系的判断1．直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜01．圆与圆的位置关系两圆相交有两个公共点两圆相切外切和内切只有一个公共点两圆相离外离和内含没有公共点圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0＜d＜|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇒相交，,Δ＝0⇒内切或外切，,Δ＜0⇒外离或内含.))①外离（4条公切线）：d＞r1+r2②外切（3条公切线）：d＝r1+r2③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|【方法二】实例探索法题型1.直线与圆位置关系的判定与应用【例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2ym为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).(1)当d<2时，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．【规律方法】直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．【变式】已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________．【答案】相交【解析】由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))故直线l过定点A(3,1)．由|AC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．题型2.直线与圆相切的有关问题【例2】(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________．(2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．[思路探究](1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上．(2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程．(1)x＋2y－3＝0[根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)，直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则P在直线l上且MP与直线l垂直．kMP＝eq\f(2－0,－1－－2)＝2，则有－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2)，则有b＝2a，又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0.](2)[解]因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq\r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq\f(15,8).所以切线方程为－eq\f(15,8)x－y＋eq\f(15,2)－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.【规律方法】圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．【变式】若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．【答案】4【解析】因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－beq\r(2)，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为eq\r(a＋12＋b－22)＝eq\r(2a－22＋18)≥3eq\r(2)，所以切线长的最小值为eq\r(3\r(2)2－\r(2)2)＝4.【例3】(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．[思路探究](1)利用交点坐标直接求解．(2)直线l要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解．[解](1)联立直线l与圆C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝0，))所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝eq\r(1－22＋3－02)＝eq\r(10).(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝eq\r(\r(25)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(2))＝3.①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.由点到直线的距离公式，得3＝eq\f(|－k－2＋4k|,\r(1＋k2))，解得k＝－eq\f(5,12)，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.【规律方法】求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))eq\s\up12(2)＋d2＝r2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).【变式】直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．4B．2eq\r(3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)【答案】B【解析】∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为eq\r(5)，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|1×1＋1×2－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，直线m被圆M截得的弦长等于2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2)＝2eq\r(3).故选B.【例4】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[思路探究]先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．[解]以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为eq\f(x,7)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝eq\f(|28|,\r(42＋72))＝eq\f(28,\r(65))，而半径r＝3，因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．【规律方法】直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．【变式】如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为()A．14米 B．15米C．eq\r(51)米 D．2eq\r(51)米【答案】D【解析】以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝eq\r(51)，∴水面宽度|A′B′|＝2eq\r(51)米．圆位置关系的判断【例5】当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，从而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.当1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34时，两圆外切．当|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14时，两圆内切．当|eq\r(50－k)－1|＜5＜1＋eq\r(50－k)，即14＜k＜34时，两圆相交．当eq\r(50－k)＋1|<5，即34＜k＜50时，两圆外离．【规律方法】判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．【变式】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含.【例6】(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________．(2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．[思路探究](1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程来求出m的值．(2)分外切与内切两种情况，与其他条件建立方程组，求出标准方程的三个参数值即可．(1)2或－5[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.](2)[解]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圆与直线y＝0相切、半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2eq\r(10)，故所求圆的方程为(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16.②当圆心为C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2eq\r(6).故所求圆的方程为(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.综上所述，所求圆的方程为(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.【规律方法】处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．【变式】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程．[解]已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由题意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【例7】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．[思路探究](1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程．(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解．[解](1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0①,x2＋y2＋6y－28＝0②))的解．①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．(2)法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq\r(\f(89,2)).故圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－yx2＋y2－x＋7y－32＝0.【规律方法】1．求两圆公共弦长的方法一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．2．过两圆的交点的圆的方程已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．【例8】已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解](1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝eq\r(13)；C2(4，－2)，r2＝eq\r(13).因为|C1C2|＝eq\r(－2－42＋2＋22)＝2eq\r(13)＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2相切．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－5＝0，,x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，))得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝eq\f(4,3).所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋eq\f(4,3)(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－eq\f(20,3)y－9＝0.【规律方法】判断两圆位置关系的两种方法比较(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．【变式】在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.若AB＝eq\f(3\r(7),2)，求CD的长．[解]因为AB＝eq\f(3\r(7),2)，圆O半径为2，所以点O到直线AB的距离为eq\f(1,4)，显然AB，CD都不平行于坐标轴．可知AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.则点O到直线AB的距离d＝eq\f(1,\r(k2＋1))＝eq\f(1,4)，解得k＝±eq\r(15).因为AB⊥CD，所以kCD＝－eq\f(1,k)，所以CD：y＝－eq\f(1,k)x＋1，即x＋ky－k＝0.点M(2,1)到直线CD的距离d′＝eq\f(2,\r(k2＋1))＝eq\f(1,2)，所以CD＝2eq\r(1－d′2)＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(3).【例9】已知圆C：x2＋y2＋2x－7＝0内一点P(－1,2)，直线l过点P且与圆C交于A，B两点．(1)求圆C的圆心坐标和面积；(2)若直线l的斜率为eq\r(3)，求弦AB的长；(3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于eq\r(2)，求直线l的方程．[思路探究](1)化圆的一般式为标准方程，得出圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝2eq\r(2)即可．(2)先求圆心到直线的距离为d，再利用半径r，距离d，半弦长构成直角三角形求解即可．(3)圆上恰有三点到直线l的距离等于eq\r(2)，等价于圆心(－1,0)到直线AB的距离为eq\f(r,2)＝eq\r(2)，利用点到直线的距离公式求解．[解](1)圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝2eq\r(2)，面积为S＝8π.(2)直线l的方程为y－2＝eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x－y＋2＋eq\r(3)＝0，圆心到直线l的距离为d＝eq\f(|－\r(3)＋2＋\r(3)|,\r(\r(3)2＋1))＝1，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2\r(2)2－1)＝2eq\r(7).(3)因圆上恰有三点到直线l的距离等于eq\r(2)，转化为圆心(－1,0)到直线AB的距离为eq\f(r,2)＝eq\r(2)，当直线l垂直于x轴时，显然不合题意；设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0，由d＝eq\f(|－k＋2＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(2,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1，故直线l的方程为x－y＋3＝0，或x＋y－1＝0.【变式】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．[解](1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－20＝0，,－4x＋2y＋20＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))∴已知圆过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.①当两圆外切时，d＝r1＋r2，即2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5)或a＝1－eq\f(\r(5),5)(舍去)；②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍去)．综上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).【方法三】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中学校考阶段练习）已知圆，圆，其中，那么这两个圆的位罝关系不可能为（

）A．外离 B．外切 C．内含 D．内切【答案】C【分析】由两圆的方程分别写出两圆的圆心、半径，计算圆心距的范围即可求得结果.【详解】因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，，，又因为，所以，所以，即，故两圆的位置关系不可能为内含.故选：C.2．（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考阶段练习）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．内切 D．内含【答案】B【分析】首先由两圆的标准方程分别得出圆心坐标和半径，再求出两圆的圆心距，根据圆心距与两圆半径之间的关系即可得出两圆的位置关系．【详解】由圆方程，得圆心为，半径，由圆方程，得圆心为，半径，则两圆的圆心距为，所以圆与圆外切，故选：B．3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）已知圆，该圆被直线所截得弦长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.【详解】由圆的方程可知：圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为.故选：B4．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知a、，圆：与圆交于不同的两点、，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】可转化为，将两点，分别代入两圆方程，点差法化简，联立即得解.【详解】设圆与圆交于不同的两点、，则，．将，分别代入，得①，②，①②得，，．将，分别代入，得③，④，③④得，，即，将代入得，解得.故选：C.5．（2023秋·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（

）A．2 B．6 C．2或6 D．1或3【答案】A【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，求出切点的横坐标即可.【详解】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，已知，则线段的中点坐标为，直线斜率为，线段的垂直平分线方程为，即.所以以线段为弦的圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为，又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，所以，解得或，即切点分别为和，两圆半径分别为.由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，且过点的圆的半径比过的圆的半径大，所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是.故选：A.6．（2023秋·高二课时练习）若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】根据点到直线距离模型，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．因为这个距离之和与x，y无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如图所示，故圆心到直线的距离，解得或，当时，两直线在圆的同侧，不符合题意，所以故选：D．【点睛】关键点睛：本题的关键是根据点到直线距离公式模型确定所求代数式的几何意义.7．（2023秋·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知圆，点是直线上的动点，若圆上总存在不同的两点，使得直线垂直平分，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先讨论直线的斜率不存在和为0时的情况，再根据直线的斜率存在且不为0，表示出直线方程，得出圆心到直线的距离小于半径可求出.【详解】在圆上总存在不同的两点使得垂直平分．若为直线与轴交点，得，此时圆上不存在不同的两点满足条件；若为直线与轴交点，得，此时直线的方程为，满足条件，；若P不为直线l与坐标轴的交点，则直线的斜率存在且不为0时，因为，则，可得，所以直线方程为，化为，由圆心到直线的距离，得，又因为，化为，解得：，且；综上所述：的取值范围为．故选：A.8．（2023·江苏·高二专题练习）已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图象，过点作，垂足为，连接，则有，从而得点D的轨迹方程为²，由向量的加法法则可得，根据圆与圆的位置关系求出即可得答案.【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2，如图，过点作，垂足为，连接，为中点，即，又，，点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，点D的轨迹方程为²，是AB中点，，，所以的最大值为故选：二、多选题9．（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）设为实数，已知圆，直线：，当为（

）时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1.A． B．1 C． D．【答案】AC【分析】由题意得到的圆心到直线距离等于1时满足要求，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由于圆的半径为2，故的圆心到直线距离等于1时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，即，解得.故选：AC10．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知圆，直线．则（

）A．直线恒过定点B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1C．直线与圆有一个交点D．若圆与圆恰有三条公切线，则【答案】AD【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确.【详解】对于A中，因为直线，可得，令，解得，所以直线恒过点点，所以A正确；对于B中，由圆，可得圆心，半径为，要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足，当时，直线，可得圆心到直线的距离为，所以B错误；对于C中，因为直线恒过点点，设为点，可得，所以点在圆内部，所以直线圆圆有两个交点，所以C错误；对于D中，因为圆，可得，要使得圆与圆恰有三条公切线，可得，即，解得，所以D正确.故选：AD.11．（2023秋·山东德州·高二校考阶段练习）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（

）A．的最小值是0 B．的最大值为1C．的最大值为 D．的最小值为【答案】AD【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确.【详解】由圆，可化为，可得圆心坐标为，半径，当时，可看成与原点间的连线的斜率，设，即，所以直线与圆M有交点，由，解得，所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，又由，所以的最大值为，即的最大值为，所以C错误；设，可得，当直线与圆有公共点时，则，解得，所以的最小值为，所以D正确.故选：AD.12．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（

）A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为B．已知点，圆上的动点，则的最小值为C．过点作圆的一条切线，切点为可以为D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点【答案】ABD【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点.【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由，如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；选项B，设点关于直线的对称点，则，解得，即，则，即的最小值为，故B正确；选项C，由切点为，则在中，，当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为，此时最小，最小值为，即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；选项D，设点，切点，可得切线方程为，由点在切线上，得，同理可得，故点都在直线上，即直线的方程为，又由点在直线上，则，代入直线方程整理得，由解得，即直线恒过定点，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中学校考阶段练习）经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为.【答案】【分析】由已知圆心坐标及切点确定圆心在直线，又由圆过两点得圆心在直线上，从而得出圆心坐标和半径，得圆标准方程．【详解】由题意已知圆的标准方程为，圆心为，半径为，所求圆与圆切于原点，则圆心在直线上，设圆心为，又圆过点及原点，所以圆心在直线上，即，，所以圆方程为．故答案为：．14．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知圆及直线，当直线被圆截得弦长最长时，直线的方程为．【答案】【分析】通过题干，当直线过圆心时，所截弦长最长，为直径，将圆心代入直线方程求解即可.【详解】因为圆，圆心，，当直线被圆截得弦长最长时，此时直线过圆心，弦长为，将圆心代入直线方程得，即，所以直线方程为，故答案为：.15．（2023秋·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）写出一个既与轴相切又与直线相切的圆的标准方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】由题设，令圆的标准方程为，联立直线方程求参数关系，写出标准方程，即可得答案.【详解】由题设，令圆的标准方程为，又圆与直线相切，联立圆的方程有，所以，则，所以，可得或，故所求方程形如或即可.综上，满足要求.故答案为：（答案不唯一）16．（2023秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为【答案】4【分析】利用两圆的外切关系先计算，再根据圆上一动点到定直线的距离的最值计算即可.【详解】圆化为标准方程为，可得，其半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆外切，所以，解得，可得圆的半径为，因为圆心到直线的距离为，则点P到直线的距离的最大值为.故答案为：4.四、解答题17．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知圆与圆(1)求经过圆与圆交点的直线方程：(2)求圆与圆的公共弦长．【答案】(1)(2)【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共线所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆即，圆心为，半径为，则，故圆与圆相交；将圆与圆的方程相减，得，即经过圆与圆交点的直线方程为；（2）圆的圆心为，半径为1，到直线的距离为，故圆与圆的公共弦长为.18．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过点和．(1)求圆的标准方程；(2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，根据题意结合圆的定义列式求得，进而可得圆的方程；（2）取圆关于x轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设，由可得，解得，可知圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）取圆关于x轴的对称的圆，即圆心，半径，可知直线与圆相切，若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意；所以直线的斜率存在，设为，则，即，则，整理得，解得或，所以直线